1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ÒîãäàAy (t) =δe iν0 t z02kz0 k= iν 0, z0-⇒íåò àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Åñëè ó ìàòðèöûAåñòü õîòÿ áû îäíî ÷èñòî ìíèìîå ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå τ0 = iν0 ñ íåîäíîìåðíîé æîðäàíîâîé êëåòêîé, òîíóëåâîå ðåøåíèå çàâåäîìî íåóñòîé÷èâî.Az0 = τ0 z0Az1 = τ0 z1 + z0 .Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóÒîãäày (t) =δ2kz1 k eτ0 t z1+δ2kz1 k teky (0)k =ky (t)k ≥τ0 t z - ðåøåíèå è0δ2< δ,δ2kz1 k (tkz0 k − kz1 k) → ∞ ïðè t → ∞ ∀δ (ìûâîñïîëüçîâàëèñü çäåñü íåðàâåíñòâîì ka + bk ≥ kak − kbk).íîÏóñòü ó ìàòðèöûìíèìûå (ñAµ = 0),åñòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñµ<0è ÷èñòîïðè÷åì æîðäàíîâû êëåòêè, îòâå÷àþùèå÷èñòî ìíèìûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îäíîìåðíû.
Òîãäàíóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2) óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.−1G10W , detW 6= 0, ãäå ìàòðèöûG0G1,0 ïîðÿäêîâ N1 , N0 : N1 + N0 = N , ïðè÷åì τj (G1 ) òàêîâû, ÷òîReτj (G1 ) ≤ −σ (σ > 0), àÈçâåñòíî, ÷òîA=W0iν1 . . ...G0 = 00.....iνN0Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóÒîãäàetA=W−1e tG100e tG0=WW = tGe 1−10W+00...000...e tiν1+ W −1 0 . . .0 ...È ïðè000.....00.......e tiνN0t>0ke tA k ≤ kW −1 k · kW k{ke tG1 k + ke tG0 k} ≤≤ kW −1 · kW k{M(σkG1 k, N 1 ) · e − 2 t + 1} ≤δ≤ kW −1 k · kW k{M + 1} = M̂.Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóW.Ñëåäîâàòåëüíî,ky (t)k ≤ ke tA k · ky (0)k ≤ M̂ky (0)k ∀t > 0.Ïóñòüky (0)k < δ =εM̂⇒óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó.Òàêèì îáðàçîì:≤ −σ (σ > 0), j = 1,...,N ;≤ −σ j = 1,...,N1 ;Reτj (A) = 0, j = N1 +1,...,N ;I) Reτj (A)II) Reτj (A)÷èñòî ìíèìûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îòâå÷àþò îäíîðîäíûåæîðäàíîâû êëåòêè;III) Reτj (A) ≤ −σ j = 1,...,N1 ;Reτj (A) = 0, j = N1 +1,...,Nè ÷èñòî ìíèìûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îòâå÷àþòíåîäíîðîäíûå æîðäàíîâû êëåòêè;IV)∃τj (A)ñ Reτj (A)> 0.Óñòîé÷èâîñòü ïî ËÿïóíîâóIIIIIIIVíóëåâîåíóëåâîåíóëåâîåíóëåâîåðåøåíèåðåøåíèåðåøåíèåðåøåíèå(2)(2)(2)(2)àñèìïòîò.àñèìïòîò.íåíåóñòîé÷èâîíå óñòîé÷èâîÿâëÿåòñÿÿâëÿåòñÿíóëåâîåðåøåíèåóñòîéóñòîéóñòîé÷èâîïî Ëÿïóíîâó÷èâûì÷èâûì19.
Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÏóñòüTèìååò âèäTτ1a20=0τ200a3...............τ N −1000 = (Tkj ),aN τN, = 1,...,Nk jñ êîìïëåêñíûìè, âîîáùå ãîâîðÿ, ýëåìåíòàìè:kj = τk δkj + aj δj −1,k .Tàññìîòðèì óðàâíåíèå:XTD= (dkj )+ T ∗ X = −D ,- ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà.Èç (1) ñëåäóåò, ÷òîNXk =1(xik Tkj + T̄ki xkj ) = −dij .Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà(1)Ñ ó÷åòîì îðìóëû äëÿ ýëåìåíòîâT,ïîëó÷àåì:ij τj + xij τ̄i + aj xi ,j −1 + āi xi −1,j = −dijxèëè òî÷íååÏóñòü(τj + τ̄i )xij + aj xi ,j −1 + āi xi −1,j = −dij i , j ≥ 2;(τ̄1 + τj )x1j + aj x1,j −1 = −d1j , i = 1, j ≥ 2;(τ̄ + τ1 )xi 1 + āi xi −1,1 = −di 1 , j = 1, i ≥ 2; i(τ1 + τ̄1 )x11 = −d11 .∀i , j τi + τ̄j 6= 0.(2)Òîãäà (1) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî.  ñàîì ìäåëå, èç (2) ñëåäóåò,÷òîx11x1j =−i =−x 11τ̄1 + τj1τ̄i + τ1=−d11τ1 + τ̄1,{d1j + aj x1,j −1 },j≥ 2,{di 1 + āi xi −1,1 },i≥ 2.Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÇàòåìx22=−1τ2 + τ̄2{d22 + a2 x21 + ā2 x12 },îïðåäåëÿåìx2j =−1τ̄2 + τji =−x 2è òàê äàëåå.Åñëè{d2j + aj x2,j −1 },j≥ 3,{di 2 + āi xi −1,2 },i≥31τ̄i + τ2ij = 0, òî xij = 0.= W −1 TW , detW 6= 0, τi + τ̄j 6= 0dÏóñòüAäëÿ ëþáûõ,i j.àññìîòèì óðàâíåíèåHAãäåC+ A∗ H = − C ,′(1 )- ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà.′Äîìíîæèì (1)ñëåâà íà(W −1 )∗è ñïðàâà íàW−1è ïîëó÷èìóðàâíåíèåXT+ T ∗ X = −D ,Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà= (W −1 )∗ HW −1 , D = (W −1 )∗ CW −1 .
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå′îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî, òî åñòü ∃! H , óäîâëåòâîðÿþùåå (1 ).ãäåXÏîñêîëüêó âñÿêàÿ ìàòðèöàA= W −1 TW ,Aãäåτ1 , ..., τN 6= 0.ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäóñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿA, a2, ..., aN- ëèáî 0, ëèáî1, detWÑïðàâåäëèâà Òåîðåìà Ëÿïóíîâà.Åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿτj (A)óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìτi + τ̄j 6= 0 ∀i , j ,′òî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (1íàçûâàåòñÿ)îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìîìàòðè÷íûì óðàâíåíèåì Ëÿïóíîâà.Çàìå÷àíèå 1.ÅñëèA, C- âåùåñòâåííûå, òîH+ A∗ H = − C∗H̄ A + A H̄ = −CHA- âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà:⇒H′∀C .
(1 )= H̄ .Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÇàìå÷àíèå 2.ÅñëèC= C ∗,òîH= H∗- ýðìèòîâà:+ A∗ H = −C∗∗ ∗H A + A H = −CHAÇàìå÷àíèå 3.ÅñëèA, C- âåùåñòâåííû èC= CT⇒H= H ∗.- ñèììåòðè÷íà, òîH= HT- ñèììåòðè÷íà è âåùåñòâåííà.Òåîðåìà 1.Åñëè Reτj (A)∀C =< 0, j = 1,...N ,′òî (1)îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî∗ è åãî ðåøåíèåì áóäåò ýðìèòîâà ìàòðèöàCH= H ∗.Òåîðåìà 2.ÏóñòüC= C∗ > 0è Reτj (A)< 0.ÒîãäàH= H ∗ > 0. ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ñèñòåìóy( ) = e tA y (0)y tÄàëååè′= Ayky (t )k ≤ Me − 2 t ky (0)k.σ(Cy , y ) ≤ kC k · ky k2 ≤ M 2 kC ke −σt ky (0)k2 .Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÑ äðóãîé ñòîðîíû,(Cy , y ) =CetA y (0), e tA y (0) =etA∗ Ce tA y (0), y (0) ≤ M 2 kC ke −σt ky (0Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò èíòåãðàë:Z∞ZCy (t ), y (t ) dt =0Z= [∞e0òî åñòü ìàòðèöà∞e0tA∗ Ce tA y (0), y (0) dt =tA∗ Ce tA dt ]y (0), y (0) ≤Ĥ=Z∞eM2kC kky (0)k2 ,σtA∗ Ce tA dt0îïðåäåëåíà è ýðìèòîâà:Ïîêàæåì, ÷òîÒàê êàêCĤ> 0,H= Ĥ ∗ .> 0.òî( ), y (t ) ≥ γky k2Cy t(γ > 0).Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÏîýòîìóetA∗ Ce tA y (0), y (0) =CetA y (0), e tA y (0) ≥≥ γke tA y (0)k2 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû(0) = e −tA y (t ) èky (0)k ≤ e t kAk ky (t )k, òî åñòüky (t )k ≥ e −t kAk ky (0)k.yÒîãäàetA∗ Ce tA y (0), y (0) ≥ γke tA y (0)k2 ≥ γ e −σt kAk ky (0)k2 .Èíòåãðèðóÿ åãî, ïîëó÷àåì:Ĥ yòî åñòüĤ> 0.(0), y (0) ≥γky (0)k2 ,2kAkÌàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÄàëåå,Ĥ e△A=(0), e △A y (0) =yZ∞e△ A∗e0=Z∞ee△A∗Ĥ e=òî åñòü(△+t )A∗e∞eA△A∗Ĥ ey(0), y (0) =tA∗ Ce t △ e △A y (0), y (0)dt =Ce(△+t )Ay0Z△A(0), y (0) dt =tA∗ Ce tA y (0), y (0)dt ,△A=Z∞eAÏðîäèåðåíöèðóåì îáå ÷àñòè ïîtA∗ Ce tA dt .△è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè△ → 0.∗ △A∗A eĤ e△A+ e △A∗Ĥ Ae△A= −e △A∗Ce△A,òî åñòüĤ A+ A∗ Ĥ = −C ,Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâàñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîîðåìû Ëÿïóíîâà, ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííîå ðåøåíèå= ĤH′ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (1)è îíîïðåäñòàâèìî â âèäå:H=Z∞etA∗ Ce tA dt ,H= H ∗ > 0.0Ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå:Òåîðåìà 3.′> 0 ñâÿçàíû óðàâíåíèåì (1 ), òîâñå τj (A) òàêîâû, ÷òî Reτj (A) ≤ −σ (σ > 0), òî åñòü íóëåâîå′ðåøåíèå ñèñòåìû y = Ay àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Åñëè ýðìèòîâû ìàòðèöû,H CÄîêàçàòåëüñòâî.Èç,H C>0ñëåäóåò′ρ (y , y ) ≥ (Hy , y ) ≥ ρ(y , y ),′γ (y , y ) ≥ (Cy , y ) ≥ γ(y , y ),′′ρ, ρ , γ, γ > 0.Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâààññìîòðèì óíêöèþ( )=h t( )y t- ðåøåíèåy′( ), y (t ) ,Hy t= Ay .Òîãäà( )dh tdt′′= (Hy , y ) + (Hy , y ) = (HAy , y ) + (Hy , Ay ) == ([HA + A∗ H ]y , y ) = −(Cy , y ) ≤ −γ(y , y ) ≤≤−Òàê êàêγγ′ (Hy , y ) = − ′ h (t ).ρρky (t )k ≥ e −t kAk ky (0)k,òî∀t ≥ 0, ky (0)k =6 0⇒( ) > 0.h tÏîýòîìó ïðèky (0)k =6 0:dln h(t )dt=1hh′γ≤− ,ρÌàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ëÿïóíîâàòî åñòü( ) ≤ h(0)e − ρ t .γh t( ) = e tA y (0),y tçíà÷èò( ), y (t ) ≤Hy t(åñëèy(0) = 0,òî( )≡0Hy − γ′ t(0), y (0) e ρ .è íåðàâåíñòâî òîæå âûïîëíåíî).y tÄàëåå,( ), y (t ) ≤y t1ρ≤( ), y (t ) ≤Hy tρρ′− γ′e ρky (t )k ≤∀ε > 0âîçüìåìδ=12qky (t )k ≤′tsy1ρHy(0), y (0)⇒ρ′ − 2γρ′ tky (0)k.·eρρρ ε.
Òîãäà, åñëès − γ′ t(0), y (0) e ρ ≤ky (0)k ≤ δ,ερ′ − 2γρ′ tky (0)k ≤ ≤ ε.·eρ2òîÌàòðè÷íîå óðàâíåíèå ËÿïóíîâàÊðîìå òîãî, ïðèt→ ∞ ky (t )k → 0,òî åñòü àñèìïòîòè÷åñêàÿóñòîé÷èâîñòü.Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿïîëóïëîñêîñòè.Aëåæàò ñòðîãî â ëåâîé20. Ôóíêöèè ËÿïóíîâàÏðè èçó÷åíèè âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿy ′ = f (y ) (àâòîíîìíîéñèñòåìû) øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ òàê íàçûâàåìûå óíêöèèËÿïóíîâà (ñ êîòîðûìè ìû óæå âêðàòöå ïîçíàêîìèëèñü â 11).Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 1.ÔóíêöèÿH (′y ) íàçûâàåòñÿ óíêöèåé Ëÿïóíîâà äëÿ âåêòîðíîãîy = f (y ), èìåþùåãî òî÷êó ðàâíîâåñèÿ y = 0, åñëèóðàâíåíèÿîíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:Ë.1H (y ) îïðåäåëåíà ïðè ky k ≤ Rè ÿâëÿåòñÿ â ýòîé îáëàñòèíåïðåðûâíîé óíêöèåé, èìåþùåé íåïðåðûâíûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå∂H (y ),∂ yjH (y ) ≥ 0< ky k ≤ R .Ë.20âky k ≤ R ,ïðè÷åìj = 1,...,N .H (0) = 0, H (y ) > 0 ïðèÔóíêöèè ËÿïóíîâàË.3 Íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿJ (y ) = −NXi =1J (y ), îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîìfi (y )∂H (y ) = −(f , Hy ),∂ yiòî åñòü ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó ñèñòåìû îò óíêöèèñî çíàêîì−H (y )óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóJ (y ) ≥ 0ïðèky k ≤ R .′Ë.3 Óñèëåííûé âàðèàíò Ë.3:J (y ) > 0ïðè 0< ky k ≤ R .Ëÿïóíîâûì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Òåîðåìà Ëÿïóíîâà.Åñëè äëÿ âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿóíêöèÿ Ëÿïóíîâày ′ = f (y ), f (0) = 0 ñóùåñòâóåòH (y ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ Ë.1,2,3, òîy0 (t ) ≡ 0 óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.′òðèâèàëüíîå ðåøåíèåæå óíêöèÿÅñëèH (y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Ë.1,2,3 , òîy0 (t ) ≡ 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.òðèâèàëüíîå ðåøåíèåÔóíêöèè ËÿïóíîâàÏðèìåð 1.àññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèéy′= Ay .Îïðåäåëèì êâàäðàòè÷íóþ îðìóH (y ) ÷åðåç ìàòðèöó H :(Hy , y ) = H (y )è îðìóJ (y ):ãäå ìàòðèöûHèCCy , y ) = J (y ),ñâÿçàíû ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåì Ëÿïóíîâà:CÍàïîìíèì, ÷òî ìàòðèöàÏîíÿòíî, ÷òî= −[HA + A∗ H ].H- ýðìèòîâà, åñëèdHdt= −J .CÔóíêöèè Ëÿïóíîâàýðìèòîâà.(Hy , y ) > 0, (Cy , y ) > 0, òî óíêöèè H (y ) = (Hy , y ),óñëîâèÿì Ë.1,2,3.
Åñëè æåJ (y ) = (Cy , y ) óäîâëåòâîðÿþò′(Cy , y ) > 0, òî è Ë.3 âåðíî.ÅñëèÏðè ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòüíóëåâîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ∀τj (A)A) < 0.Reτj (y ′ = Ay , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîËÿïóíîâ èñïîëüçîâàë íåêîòîðóþ âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþK (y ) äëÿ òîãî, ÷òîáû ñ åå ïîìîùüþ äîêàçàòü ïðè íåêîòîðûõïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî f (y ) íåóñòîé÷èâîñòü′òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ y = 0 óðàâíåíèÿ y = f (y ).Ïóñòü K (y ) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:Í.1 K (y ) îïðåäåëåíà, íåïðåðûâíà, èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå∂K (y )∂ yjèK (0) = 0.H.2 Äëÿ ëþáîãîδ(0< δ ≤ R)ïðèky k ≤ Rñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîðÔóíêöèè Ëÿïóíîâày = ŷ [δ](0< kŷ [δ] k < δ),÷òîK (ŷ [δ] ) ≥ 00≤ ky k ≤ R .H.3 Íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿF (y ) = −λK (y ) +NXi =1fi (y )∂K (y )∂ yióäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâóF (y ) > 0ïðè 0< ky k ≤ R ,K (y ) ≥ 0.Ëÿïóíîâûì äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î íåóñòîé÷èâîñòèòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ:Òåîðåìà.Åñëè äëÿ âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿóíêöèÿy ′ = f (y ), f (0) = 0, ñóùåñòâóåòK (y ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè íåêîòîðîì λ > 0óñëîâèÿì Í.1,2,3, òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìûíåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.Ôóíêöèè Ëÿïóíîâàλ = 0.y = Ay + ϕ(y ) (A åñëè äëÿ âñåõ ky k ≤ Y òåîðåìå Í..
×åòàåâà â óñëîâèè Í.3Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèéïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà)ïî÷òè ëèíåéíà,kϕ(y )k ≤ q ky k1+ω ,(q , ω > 0).Ëÿïóíîâûì äîêàçàíî, ÷òî åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöûA ëåæàò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìûy ′ = Ay + ϕ(y ) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, à åñëè ñðåäè âñåõñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé A ñóùåñòâóåò τ0 (A) òàêîå, ÷òîReτ0 (A) > 0, òî íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.Ïóñòü âñå Reτj (A) < 0.
Òîãäà ïî ìàòðèöå C = C ∗ > 0(íàïðèìåð C = IN ) íàéäåì H = H ∗ > 0 êàê ðåøåíèåHA + A∗ H = −C .Îáîçíà÷èì ÷åðåçH (y ) = (Hy, y ).′Ïîêàæåì, ÷òî äëÿH (y )âûïîëíåíû óñëîâèÿ Ë.1,2,3 .′Âûïîëíåíèå óñëîâèé Ë.1,2 î÷åâèäíî. Ïðîâåðèì óñëîâèå Ë.3 .Ôóíêöèè ËÿïóíîâàÂäîëü íåêîòîðîãî ðåøåíèÿy = y (t ) èìååì:d(Hy , y ) = −(H [Ay + ϕ(y )], y )−dt−(Hy , [Ay + ϕ(y )]) = −(HAy , y ) − (Hy , Ay )−−(H ϕ(y ), y ) − Hy , ϕ(y ) = −([HA + A∗ H ]y , y )−−(ϕ(y ), Hy ) − Hy , ϕ(y ) = (Cy , y ) + △(y ),J = −(f , Hy ) = −ãäå△(y ) = −(ϕ(y ), Hy ) −Hy , ϕ(y )Äàëåå,|△(y )| ≤ 2|Hy , ϕ(y )p|≤2= −2Re(Hy , Hy ) ·qγky k2 ≤ (Cy , y ) ≤ γ ky k2 ,′Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà.ϕ(y ), ϕ(y ) ≤≤ 2αky k · kϕ(y )k ≤ 2αq ky k2 +ω .Òàê êàêHy , ϕ(y )òî|△(y )| ≤ 2αq [ω2αq(Cy , y ) 2+ω] 2 = 2+ω (Cy , y )1+ 2 .γγ 2Ñëåäîâàòåëüíî,q2αJ (y ) = (Cy , y ) + △(y ) ≥ (Cy , y ) −= (Cy , y )[1 −≥ (Cy , y )[1 −Âûáåðåìè ïðèq2αγq2αγR = min{Y , (ky k ≤ R :1−q2αγ1+ ω21+ ω21+ ω2ω(Cy , y )1+ 2 =ωω(Cy , y ) ] ≥2(γ ) 2 ky kω ].′ωγ 1γ 12)ω }′) ·(γ4αq(γ ) 2 ky kω ≥ 1 −′γ1+ ω2q2αγ1+ ω21(γ ) 2 R ω ≥ .′ωÔóíêöèè Ëÿïóíîâà2J (y ) ≥ 12 (Cy , y ), òî åñòü óñëîâèå Ë.3′ âûïîëíåíî.Ïóñòü ó ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò êîðåíü τ0 ñ Reτ0 > 0.λλÌàòðèöà A − 2 I èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ τj − 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
