1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для молекул газа такой опыт практически невыполним; вместо этого следует обратиться к математическому рассуждению частично арифметического хаРактеРа 1касательно чисел пь и,, ..., тг,), частично геометРи ческого (касательно размеров ячеек сеь сег, ..., ез,). Таким пу тем мы найдем математическую вероятность данного распределения. Среди всех возможных различных распределений найдется одно, вероятность которого окажется болыпе, чем вероятность других, — максимально вероятное распределение.

Вследствие очень большого числа молекул в кубическом сантиметре этот максимум будет чрезвычайно острым, так что вероятность любого распределения, заметно отличающегося от Фиг. 3. разделение на ячейки с целью определения наиболее яероятиого распределения молекул газа наиболее вероятного, будет пренебрежимо мала. Поэтому естественно ожидать, что наиболее вероятное распределение характеризует состояние газа в среднем.

Здесь, однако, нужно остановиться на одном принципиальном вопросе. Возникает следующая трудность. Если бы в определенный момент были точно известны положение и скорость каждой молекулы газа, то дальнейшее их движение было бы полностью предопределено, так как в таком случае поведение газа строго детерминировано законами механики и с самого начала как будто бы не подвержено действию никаких вероятностных закономерностей.

Предположив, что в момент времени 1* 0 положения и скорости молекул распределены соответственно какому-либо статистическому закону, мы еще не получаем достаточных оснований считать, что в любой последующий момент г состояние газа будет определяться только игрой вероятностей независимо от выбранного начального состояния.

Вполне можно было бы представить себе, что при как-то выбранном начальном состоянии все молекулы, следуя законам механики, соберутся в момент 1 в определенном углу ящика. Чтобы статистический подход вообще был возможен, должна с необходимостью отсутствовать взаимосвязь между состояниями в различные моменты времени. Именно, мы должны предположить, что обусловленные законами механики соударения Гл Х Кинетическая теория завов между молекулами благодаря своему огромному числу полностью стирают «память» о начальном состоянии уже за (макроскопически) короткий промежуток времени. Далее следует отдавать себе отчет в том, что измерение длится какой-то период времени; то, что мы получаем в результатеиэмерения,представляет собой отнюдь не микросостояние в момент Г, но некоторое среднее по значительному промежутку времени. Считают, что найденные таким образом средние по времени не зависят ог выбора промежутка времени и совпадают со средними, полученными на основании вероятностных соображений, нз определенного выше наиболее вероятного состояния.

Хотя эта так называемая квазиэргодическая гипотеза весьма правдоподобна, ее строгое доказательство наталкивается на огромные трудности. Математики фон Нейман и Биркгоф доказали (1932 г.) теорему, практически эквивалентную квазиэргодической. Правда, согласно новейшим представлениям теоретической физики, проблема строгого доказательства эргодической гипотезы потеряла свое значение, поскольку, как будет выяснено ниже, теперь вообще не имеет смысла говорить о точном положении отдельных молекул'). Повторяем, гипотеза утверждает, что, даже когда начальное состояние произвольно, столкновения молекул друг с другом и со стенкой приводят с течением времени к стапионарному состоянию и что это состояние совпадает с определенным выше наиболее вероятным состоянием. Предполагается, что стенки ящика «шероховаты»„ так что они не отражают идеально. Вернемся теперь к вопросу о наиболее вероятном распределении молекул по отдельным ячейкам ящика.

Всякое конкретное распределение определяется заданием чисел заполнения во всех различных ячейках пь п„..., п„сумма этих чисел, конечно, должна равняться числу молекулгаза в ящике и, + пя+ ... +-пе=п. Обозначим отношение объема шь ячейки ко всему объему ящика ш через йь. е'ь й'а = Э тогда ') Это утверждение слишком решнтельно. Хотя для кнантоаомеханнческой системы н нельзя точно задать начальное состоянае заданнен коордн. нат н нмнульсоа всех частап. можно тем не менее точно задать его аолнояую фуякннв.

Работы фон Неймана по зргоднческой теореме з квантовой механике подробно изложены а его книге «Математнческне основы каантоаой механика» (М.„196е г.], Прим, ред, У 6. Запоя роопредеяяяая по яняряияя и сяоаоегяя л Как часто будет осуществляться одно конкретное распределение? Сразу ясно, что то же самое распределение получится, если поменять местами отдельные молекулы; число таких перестановок равно и!.

Однако сюда войдут н те случаи, когда меняются местами молекулы внутри одной ячейки. Поскольку такие перестановки не приводят к новым способам реализации рассматриваемого распределения, мы должны разделить и! на число п~! перестановок в первой ячейке, число Щ перестановок во второй н т.

д. Таким образом, мы получаем, что всякое рас» пределение можно реализовать и! Й~тяг;.: ът различными способами. Чтобы получить его вероятность, не обходнмо еще умножить это число на априорную вероятность распределения, равную у,Щ ...й",, так как априорная вероятность того, что частица попадет в первую ячейку, равна яь а для а~ частиц — соответственно д, и т. д.

Таким образом, вероятность распределения, заданного числами пь пь ..., оказывается равной Дабы убедиться, что в наших выкладках действительно учтены все возможные способы реализации распределения, нужно найти сумму вероятностей всех возможных распределений; эта сумма, конечно, должна равняться единице, так как одно нз распределений осуществляется наверняка. Поэтому образуем сумму по всем распределениям пь пь ..., для которых и,+и,+... п.

Сумма легко вычисляется по известной формуле для степени полинома, и мы получаем Х и,!и,! ... п,! 8'1%*'" й*'=Ж+йэ+" +'й.) =1. а„ля ... Преобразуем полученное выше выражение для вероятностм избранного распределения, воспользовавшись формулой Стирлинга, которая для больших п дает !и л1 = и (!и и — 1). Тогда, логарифмируя выражение для !э", получаем !п%'=сопя!+п,!п ~' +п,!п ~'-+ .... п~ пд Чтобы найти наиболее вероятное распределение, необходимо вычислить максимум величины 1п Й7 по переменным ам цз, ...

Гл. Г Каната«в«вал творыа газов при дополнительном условии и,+па+ ... -+п,=п. Так как п„пт, ... очень велики, с ними можно обращаться как с не- прерывными величинами. Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, получим уравнения о!п и' — ~ — =1п — ' — 1-1., — =1и ул — 1=л, ..., а!вп а~ олг а, определяющие искомый максимум; здесь Х вЂ” постоянная, ко- торая находится из условия и,+.и,.+ ... =и.

Отсюда сле- дует, что — = ... =е"+'=сопз1 «1 аг а, а, Е! юг п, = пу! = и †. и, = пд, = и —, Ф Я Значит, числа молекул п„пь ... в отдельных ячейках пропорциональны размерам ячеек, и, следовательно, мы получили во всем ящике однородное распределение молекул, причем разме« ры ячеек вообще не играют никакой роли. В то время как в случае распределения плотности молекул с самого начала было ясно, что мы получим именно такой ответ, тот же самый метод, примененный к распределению молекул по скоростям, приводит к существенно новому результату.

Вычисления в этом случае полностью аналогичны проведенным выше. Мы образуем «пространство скоростей», сопоставив векторам скорости отдельных молекул отрезки прямых, проведенных из некоторой точки как из начала; скорость молекулы будет определяться длиной и направлением отрезка. Будем изу чать распределение концов этих отрезков. Как и прежде, про.

ведем разбиение на ячейки и определим число векторов, оканчивающихся в некоторой ячейке. Однако здесь имеется одно существенное отличие от предыдущего случая: появляются два дополпительиых условия, именно, кроме условия и!+.па-)- ... ~-пг=п для полного числа частиц, имеется еще условие п,е, -!- пае, ~- ... ~- п,а г = Е для полной энергии газа Е, где з! обозначает энергию молекулы, вектор скорости которой оканчивается в ячейке 1.

Учтя эти два дополнительных условия, получим для максимума веро. ятности уравнение (Х и 1! — два лагранжевых множителя) "— =!и-к'- — 1=1.+ра, (1=1, 2, -., е). оа! л! Э б. Ваком ааоаределомая аа амераиям и скоростям ж которое приводит к закону распределения Больцмона (1896 г.): пл = йле-з-л-Сел у А-йкю Здесь А и р — постоянные, определяемые из двух дополнительных условий.

Итак, выражение для числа п„соответствующего ячейке (, существенным образом зависит как от размеров ячей ки уь так и от энергии, связанной с этой ячейкой, причем эта последняя зависимость такова, что среди ячеек одинакового размера менее заполнена та ячейка, чья энергия больше; уменьшение величины пг при возрастании энергии происходит по экспоненте (фиг. 4). игл Фиг. 4. Раслрааояьиве Боаьямаай. Если раамерм ячеек олииаиоим, то ячейка с исламей аиергией меиее ааиолиеиа, чем ачейка, еиергия кото.

рой аяксе. Применим теперь распределение Больцмана к частному случаю одноатоллного газа. Здесь энергия дается выражением = — '= — (Р+Ча+-ь'). 2 2 Положение атома в пространстве скоростей однозначно определяется тремя компонентами скорости $, т1, ь. По смыслу самого определения наши ячейки у конечны. Но с макроскопической точки зрения их можно считать бесконечно малыми; обозначим их объем через а3 де1 сЦ.

Тогда при образовании средних значений можно будет заменить суммы интегралами ;)~й "-. ~~ ~ ~Цс(ис(ь,, где пределами каждого интеграла будут — аа и +аа. В дальнейшем мы будем интересоваться только средними значениями величин о, иа, ... Я, е1 и Ь исчезают, что ясно из соображений симметРии, а Д туг, ькй='/зУ), поэтомУ поДЫНтеГРальиые выражения в каждом вычисляемом интеграле будут зависеть только от о, что побуждает нас ввести сферические координаты в пространстве скоростей, приняв э за радиус. Интегрирование по углам проводится сразу и дает множитель 4п — поверхность Га.

т, Киивгиавскаи теории гавое единичной сферы. Поэтому ОЭ ~~~ Цвчк ...=4 )т етао .... е Полное число молекул п получают нз распределения Больцмана, вычисляя интеграл а=4яА ) оае-Зтс "'птг, е а полную энергню — вычисляя интеграл Е=4пА ~ -~-осе-~Йт о*сго. о Этн два уравнения однозначно определяют две постоянные А Фнг. 5. Максаеааово распределение но екороствм. уксааки каааоаса асроаткаа ско.

рость (о ), срсаааа скорость (о1 к сроаааа коаарвтачааа иссрость р от. н Р, которые доснх пор оставались неизвестными. Интегралы легко берутся (см. приложение 1) н приводят к соотношениям = ~'Ж)' 1 =Ф) З /йс з и зи Е=алгАУ' ьт Т ь з р ' Но мы уже видели ($4 этой главы), что в среднем кннетнческая энергия молекулы (соответственно наличию у нее трех поступательных степеней свободы) составляет 5а йТ; поскольку отсюда следует, что кинетическая энергия всего газа равна а1а плТ, то мы полУчаем 1 В= у.

Характеристики

Список файлов книги