1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Направим ось х по перпендикуляру к стенке. Пусть и„ вЂ” число молекул со скоростью та в одном кубическом сантиметре. Тогда за бесконечно малое время пг на квадратный сантиметр поверхности могут упасть те молекулы, которые к моменту времени, предшествующему Ф, оказались внутри наклонного цилиндра с образующей ес(г, опирающегося на выделенный элемент поверхности как на основание (фиг. 1). Поскольку высота цилиндра есть $Ф, объем Гя.
1, лтииетивеския теория сарае его также равен $Ж, а число рассматриваемых молекул в нем а,фЖ. За единицу времени элемент поверхности исйытывает л з соударений с молекулами, обладающими скоростью Ф. Если уподобить молекулы биллиардным шарам, то легко понять, что перпендикулярная стенке составляющая их импульса меняется при ударе на 2уп$, а параллельная его составляющая остается неизменной (фиг, 2). Поэтому вклад рассматриваемых молекул в общее давление р будет равен Ф н г. 2.
Днаграмма импульсов дли упругого столкновении молекулы со стенкой сосуда. зверева. аасолкмваа великане вмаулоса к есо параллело ваа стевке саатеелаавааа ве менвлмсв ирв столкиивевив. Олмнсо иераеалнкуларваа стенке ссстаалакииаа вмаулосв менает скак. Понтону стенке иерелаетса кмвулес Лмэ 2пт$ел,. Просуммируем сначала такие вклады при фиксированном значении о по всем направлениям падения, т. е. по полусфере.
В данном случае эта сумма окажется равной половине суммы по всей сфере, так что 1 е яс 2УУаХРло = 2т 2 Рп, = — оеао, ГДЕ Пв — ЧИСЛО МОЛЕКУЛ С абСОЛЮтНЫМ ЗиаЧЕНИЕМ СКОРОСтн Ф в одном кубическом сантиметре. Если еше просуммировать это выражение по всем значениям скорости, то получим для полного давления Р = — Юв%Р = — ВТР, Пусть 1~ — объем, занимаемый газом, а М вЂ” число молекул в этом объеме. Тогда, умножая предыдущее уравнение на й и вспоминая, что уаУ=тМо=М, найдем лс — 2 ур=м иу - мц 3 3 где мы положили яа сл ='то 2 Очевидно, что У вЂ” это средняя кинетическая энергия одного моля газа, которая в случае одноатомных газов совпадает с 4 4. Темвврагура авва полной энергией всех молекул в моле.
Для многоатомных газов формулы усложняются в связи с учетом вращения молекул как целого и колебаний атомов внутри молекулы. Можно показать, однако, что вышеприведенная формула для давления останется в силе и в этом случае, Величина У, как и раньше. будет кинетической энергией поступательного движения молекул; однако ее уже нельзя будет отождествить с полной энер. гней. ф 4.
Температура ааз43 На основе кинетической теории газов, не зная даже закона распределения молекул по скоростям (т. е. вида зависимости числа в от и), мы нашли, что произведение объема на давление есть функция только от средней кинетической энергии газа. Но существует также эмпирический закон Бойля — Мариотта: при постоянной температуре произведение объема на давление для идеального газа есть постоянная величина. Отсюда следует сделать вывод, что У вЂ” средняя кинетическая энергия одного моля газа †завис только от его температуры.
Первоначально понятие температуры является посторонним для кинетической теории, поскольку фактически каждая отдельная молекула характеризуется только своей скоростью. Но совершенно естественно определить абсолютную температуру газа Т через среднюю кинетическую энергию. Обычно это делается в соответствии с уравнением — Р— —,т, где слева стоит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы вдоль оси х, а й называется носшоанной Больцмана. Для всей кинетической энергии движения центра инерции молекулы мы имеем поэтому гиФ 3 = — йт, а в расчете на один моль гво~ 3 ~='"е — 0- у ~у.
Здесь мы положили Фей=Я. Оправданием такого определения температуры служит тот факт, что, подставляя последнее выражение в полученную ранее формулу для газового давления, мы приходим формально к соотношению, объединяющему закон Бойла — Мариотта Гм. Г. Кинепе«еекая теория «гасе с галопами Гей-Люссака и Шарля: р е ч(с Т. Константу ес называют универсальной газовой постоянной; ее можно без труда найти, измерив одновременно значения р, У и Т. Она равна Я 8,313 ° 10тэрг ° град ' ° геоль-1= 1,986 кал ° град-' ° моль '.
Мы не можем здесь подробно обсуждать определение темпе- ратуры с термодинамической и аксиоматической точек зрения (полное рассмотрение для случая обобщенной статистики, ос- нованной на квантовой теории, приводится в приложении 35). Ограничимся лишь кратким замечанием о единицах намерения температуры, Мы используем понятие «идеального газа». Это газ, для которого при постоянной температуре произведение объема на давление точно постоянно; при малых давлениях это имеет место для любого газа. Отклонения от идеального поведения наблюдаются тогда, когда плотность газа настолько велика, что среднее расстояние между соседними молекулами сравнимо с их диаметрами.
Если идеальный газ использовать в качестве термометриче- ского вещества, то шкала Цельсия определяется следующим образом: пусть (рУ), есть значение р'г', когда газ приведен в соприкосновение с тающим льдом, а (рУ)„— с кипящей во- дой '). Тогда при произвольном значении РУ температура в сто- градусной шкале определяется равенством 100 ~ (Р Ют (Р к (Р ) Сразу видно, что при таком определении температура тающего льда будет равна 0'С, а температура кипящей воды 100'С. Переход от температуры в шкале Цельсия к абсолютной тем- пературе (Кельвин, 1854 г.), которую мы уже обозначили выше символом Т, осуществляется следующим путем.
Как показал эксперимент, при повышении температуры на 1'С объем иде- ального газа увеличивается на 1/273 часть его объема при 0'С, если давление остается неизменным. Так, например, <рьян, = Т, =1+ '.гуТ=Чуз ' (ри~, т„ню Зтг Если сохранить единицу шкалы Цельсия и для абсолютной ы т~~ер ур, Т, Т, д ~ дру >з ° !т Д Ф. Твалееяисьать друга на 100 С. Отсюда следует, что тающий лед (Г 0'С) имеет абсолютную темяературу Т,=273, а кипящая вода (1=100'С) — температуру Т„373'. Поэтому нуль абсолютной шкалы температуры лежит при — 273'С, Отметим, что абсолютную температурную шкалу часто называют иасалой Кельвина и для отличия от обычной стоградусной шкалы Цельсия обозначают буквой К.
ф о. Тем ьоелгкоапэ Теалоемкость вещества (отнесенная к ! молю) — это энергия, которую необходимо сообщить граммолекуле вещества, чтобы повысить его температуру на 1'. Из этого определения сразу следует, что для одноатомного газа тенлоемкость ири постоянном объеме равна аи з С„=-тм — — — Р. Если газу сообщать тепловую энергию, но постоянным поддер- живать не объем, а давление, то газ будет расширяться и, сле- довательно, совершать работу против внешнего давления (ко- торое, разумеется, в случае равновесия равно и направлено противоположно давлению газа). Работа, производимая газом, при этом составляет рй)~=7т 8Т, т. е. равна м для ЬТ Г.
Таким образом, Я вЂ” это та часть теп- лоемкости, которая соответствует работе, затраченной на рас- ширение. Прибавив к ней теплоемкость прн постоянном объеме а~ь я, найдем полную теплоемкость при постоянном давлении 5 ее=~Я. Отношение ст/с, принято обозначать символом у. Итак, для одноатомного газа имеем (Клаузиус, 1857 г.) е, 5 т= — =-й =1,667, с„ что хорошо согласуется с опытом, особенно для инертных га- зов. Многоатомные молекулы обладают, кроме трех поступа- тельных, еще и вращательными и колебательными степенями свободы, к которым также переходит некоторая доля энергии, сообщаемой газу. Существует общая теорема, называемая тео- ремой равнораспределения (Клаузиус, !857 г.; Максвелл, 1860 г.), которая утверждает, что теплоемность равна произ- 18 Га.
К Кинатичагкая тгарая ааааа ведению числа степеней свободы на й/2 (если расчет относить к одной молекуле) или на Я/2 (если рассматривать 1 моль вещества). Например, если считать двухатомную молекулу жесткой гантелью, то она будет обладать в конечном счете двумя вращательными степенями свободы; вращением молекулы вокруг линии, соединяющей два атома, при определении числа степеней свободы пренебрегают. Для идеализированных точечных атомов это, очевидно, пфавомерно; учет же пространственной протяженности атомов приводит к принципиальной трудности, которая устраняется только квантовой теорией (см.
гл, У111, $2). Итак, в нашем случае имеем а, а/а Я, ст=т/т Я и, следовательно, у-сэ/с,=~/,=1,4. Эти значения были действительно подтверждены наблюдениями, например на молекулярном кислороде. ф 6. Згзгао» ргзсмредаггвнгая яо энерзияла и екороатям В качестве следующего шага в построении кинетической теории газов мы рассмотрим закон распределения по энергиям и скоростям, в частности вид зависимости введенного выше числа л, от скорости.
До сих пор мы для достижения своих целей нуждались лишь в небольшом числе простых идей, но теперь нам придется всерьез обратиться к помощи статистических методов теории вероятностей. Чтобы начать с простого примера, рассмотрим, не заботясь о скорости, вопрос о том, сколько вообще молекул можно в среднем обнаружить е определенном элементе объема та. Точный подсчет этого числа в тот или иной мочеит времени, даже если не говорить о том, что он принципиально невозможен. был бы бесполезен, так как это число беспрерывно изменяется вследствие движения молекул.
Поэтому речь может идти только о среднем его значении. Мы найдем это среднее значение следующим образом. Представим, что весь объем содержащего газ сосуда разделен на отдельные ячейки объемом вь ю„..., м, (для наглядности его можно изобразить на плоскости, фиг. 3), и наугад «бросим» молекулы, считая их как бы маленькими шариками, в эту систему ячеек. Мы обнаружим, что п, шариков попали в первую ячейку, пт — во вторую и т.
д. При повторном испытании числа шариков в различных ячейках окажутся, вернее всего, другими. Повторяя этот опыт очень большое число раз, мы установим, что любое данное распределение, характеризующееся числами пь ла, ..., а„встречается не единожды, а многократно. В случае, если имеются настоящие шарики и настоящий сосуд с настоящими ячейками, частоту повторения заданного распределения можно найти, про- Э 6. Закон раслредеяения ло энергиям а скоростям 19 ведя большую серию испытаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
