1612726855-66ce2678ed92310585f0bb1a36623206 (828576), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Предположим, чтоих бесконечно много. Возьмем на грани U две соседние вершины u1 и u2 .Рассмотрим вектор w = u1 - u2 , тогда P( t ) Bw = 0 . Из свойства аналитическихфункций P( t ) Bw º 0 на отрезке, что противоречит условию общности положения.Так как точек второго рода конечное число, то, отрезок [ t0 ,t1 ] делитсяэтими точками на конечное число отрезков. Рассмотрим открытый промежуток J между двумя точками второго рода. Пусть u(t1 ) = e1 , u(t 2 ) = e 2 ¹ e1 .Рассмотрим график функции P( t ) Be1 .
Пусть y (t ) = max1 P (t ) Be . При этомe ¹e111212P( t ) Be > y (t ) , P( t ) Be < y (t ). Если для всех t Î (t1, t 2 ) выполняетсяP( t ) Be1 = y (t ) , то t – точка на грани. Но по построению (t1 , t 2 ) не содержитточек второго рода. Значит, u(t ) изменяется только в точках второго рода. ▄Теорема 5. Пусть U = {u : a b £ u b £ b b , b = 1,K, r} , собственные значения матрицы A – вещественные. Тогда в оптимальном управленииu(t ) = ( u1 ( t ),K, u r (t )) каждая функция u b (t ) кусочно-постоянна, принимаетлишь значения a b , b b и имеет не более ( n - 1 ) точек переключения.Доказательство.r é nrù bé na ùu b .max p(t ) Bu = max å ê å pa (t ) B aumaxp(t)B=ååúêabbúbbbuuÎU b = 1 ëa = 1b = 1 a £ u £ b ëa = 1ûû118Пусть y b (t ) =nåa =1pa (t ) Bab .
Докажем, что функция y b имеет на отрезке[ t0 , t ] не более, чем ( n - 1) нулей. Пусть l1 ,K, ls – различные собственныезначенияAкратностиk1 ,K, k s .Тогдаpa (t )имеетвид:c1 (t )e l1 t + K + c s (t )e l s t , где ci (t ) – полином степени ( ki - 1) . Значит, y b (t )имеет такой же вид. Если бы y b º 0 , то максимум достигался бы на целомребре, что противоречит условию общности положения. Обозначим через d1сумму степеней полиномов, через d 2 – число слагаемых: d1 + d 2 = n . Будемдоказывать утверждение индукцией по n .База индукции очевидна, так как функция c1 (t )e l1t имеет те же корни, чтои полином c1 (t ) .Шаг индукции: d1 + d 2 = n , предположим противное, то есть функцияe l1t [c1 (t ) + K + c s (t )e ( ls -l1 )t ] имеет не менее n нулей.
Следовательно, и[c1(t ) + K + cs (t )e ( ls - l1 )t ] имеет не менее n нулей. Так как между нулямиданнойфункциивсегдалежитнольеепроизводной( l s - l1 ) t[c1¢ (t ) + K + c ¢s ( t ) e] , то последняя имеет не менее (n - 1) нулей. Действительно, для производной сумма степеней полиномов и числа слагаемых непревосходит величины n - 1 . А по предположению индукции имеется не более ( n - 1) - 1 = n - 2 нулей. Получили противоречие с предположением индукции. ▄Таким образом, в управлении не более (n - 1) r точек переключения, гдеn – порядок системы уравнений, определяющих движение фазовой точки.119ПРИЛОЖЕНИЕЗдесь приводятся наиболее употребительные общематематические обозначения, а также часто используемые в пособии сведения из математического анализа и линейной алгебры.x Î X – элемент x принадлежит множеству X .x Ï X – элемент x не принадлежит множеству X .X Í Y – множество X содержится в множестве Y , что не исключает случаяX =Y .X È Y , È X i – объединение множеств.iÎIX Ç Y , Ç X i – пересечение множеств.iÎIX \ Y – теоретико-множественная разность множеств.X ´ Y – декартово произведение множеств.Æ – пустое множество.{x, y, z} – множество, состоящее из элементов x , y , z .| X | – число элементов конечного множества X .ët û – целая часть числа t , то есть наибольшее целое число, меньшее или равное t .ét ù – наименьшее целое число, большее или равное t .R – числовая прямая, множество действительных чисел.R+ – множество неотрицательных действительных чисел.R n – n -мерное координатное пространство.{}R+n , R³n = x Î R n | x ³ 0 – неотрицательный ортант в R n .x = ( x1 , K x n ) – стандартное обозначение элементов из R n , для обозначениякоординат данного элемента всегда используется тот же символ с индексомвнизу.
Элементы из R n называются также точками или векторами. За исключением специально оговоренных мест для нас несущественно, как записывается вектор, а именно: в виде строки или в виде столбца.0 = (0, K,0) – нулевой элемент в R n .jje j – j -ый единичный орт в R n , то есть e j = 1 и ei = 0 при всех i ¹ j ,i Î {1, K, n} .x + y = ( x1 + y1 , K, x n + y n ) – сумма элементов x и y из R n .lx = ( lx1 ,K, lxn ) – произведение элемента x на число l .{X ± Y = z Î R n | z = x ± y, x Î X , y Î Y}–множеств X и Y из R n .120алгебраические сумма и разностьlin X – линейная оболочка множества X с R n , то есть пересечение всех линейных подпространств пространства R n , содержащих X .( x , y ) = x, y =nåxjyj– скалярное произведение элементов x и y , эти эле-j =1менты называются ортогональными, если ( x , y ) = 0 .x =x , x – евклидова норма элемента x.x ¥ = max x – норма максимума элемента x .i =1,K,nДля любых элементовxиyсправедливо неравенство Коши-Буняковского: x, y £ x × y .Для элементов x и y из R n пишем: x ³ y и x > y , если, соответственно,x j ³ y j и x j > y j при всех j Î {1, K, n}.Если дана матрица A размера m ´ n (с m строками и n столбцами), то ai– ее i -я строка, A j – j -й столбец, aij – элемент на пересечении i -й строки иj -гo столбца.AT – матрица, транспонированная к матрице A .A-1 – матрица, обратная к квадратной матрице A .A º det( A) – определитель квадратной матрицы A .rang ( A) – ранг матрицы A , то есть максимальное число ее линейно независимых строк или столбцов.A = max Ax – норма матрицы A ; очевидно, что Ax £ A × x при всех x .x =1E – единичная матрица (на диагонали стоят единицы, остальные элементы –нули).Если даны матрица A размера m ´ n , векторы x Î R n и y Î R n , то:Ax – вектор из R n с координатами ( Ax ) i = ai , x =nå aij x j , i = 1,K, m ,j =1myA – вектор из R n с координатами ( yA) j = y , A j =å yi aij ,j = 1, K, n .i =1В литературе часто используется обозначение y T A , подчеркивающее, чтовектор, умножаемый на матрицу слева, является строкой, а умножаемыйсправа – столбцом.
Там, где не возникает сомнения в однозначности прочтения формулы, символ T опускается.Главным угловым минором k -го порядка некоторой матрицы называетсяопределитель матрицы, составленной из первых k строк и первых k столб121цов исходной матрицы.Критерий Сильвестра. Симметричная матрица является:а) положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главныеугловые миноры положительны;б) отрицательно определенной, когда все ее главные угловые миноры нечетного порядка отрицательны, четного – положительны;в) неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда все миноры,образованные строками и столбцами исходной матрицы с одинаковыми номерами, неотрицательны;г) неположительно определенной, когда все миноры, образованные строками и столбцами исходной матрицы с одинаковыми номерами, нечетногопорядка неположительны, а четного – неотрицательны.{B = Ue (a ) = x Î R n | x - a £ e}–шар радиуса e > 0 с центром в точкеa Î Rn .{x k }kÎN – последовательность точек x1 , x 2 ,K .Говорят, что точка a является пределом последовательности {x k }kÎN ,если для любого числа e > 0 существует число K ³ 1 такое, что x k Î U e (a )для всех натуральных k ³ K , при этом пишут a = lim x k или x k ® a приk ®¥k ® ¥.f : X ® Y – функция (отображение) с областью определения X и областьюзначений Y .Говорят, что a Î R m является пределом (предельным значением) функцииf : X ® Y ( X Ì R n , Y Ì R m ) в точке x0 Î X , если для любого числа e > 0существует число d > 0 такое, что f ( x ) Î U e ( a ) для всех x Î U d ( x0 ) Ç X ;при этом пишут: a = lim f ( x ) или f ( x ) ® a при x ® x0 .x® x0Функция f : X ® Y называется непрерывной в точке x0 Î X , еслиlim f ( x ) = f ( x0 ) и непрерывной на множестве A Ì X , если это равенствоx ® x0справедливо при всех x 0 Î A .inf f ( x ) , sup f ( x ) – точные нижняя и верхняя грани числовой функции fxÎXxÎXна множестве X .min f ( x ) , max f ( x ) – минимальное и максимальное значения числовойxÎXxÎXфункции f на множестве X , то есть это величины inf f ( x ) и sup f ( x ) вxÎXxÎXпредположении, что они достигаются на некоторых элементах из X .int X = {x Î R n | $e > 0 U e ( x ) Ì X } – внутренность множества122X Ì Rn ;элементы из int X называются внутренними точками множества X ; множество X называется открытым, если X = int X .X = {x Î R n | "e > 0 U e ( x ) Ç X ¹ Æ } – замыкание множества X Ì R n ; элементы из X называются предельными точками множества X ; множество Xназывается замкнутым, если X = X .¶X = X \ int X – граница множества X ; элементы из ¶X называются граничными точками множества X .Окрестностью точки x (множества X ) называется любое множество, содержащее x (соответственно, X ) в своей внутренности.Множество X называется ограниченным, если существует число R > 0такое, что x < R при всех x Î X .Множество X Ì R n называется компактом, если оно замкнуто и ограничено.Множество S называется всюду плотным в топологическом пространствеC , если в каждом открытом множестве C содержится хотя бы одна точка изS.Ниже, говоря о дифференциальных характеристиках функции f в точкеx * , подразумеваем, что x * Î R n и f – числовая функция, определенная внекоторой окрестности точки x * .¶ff ( x * + ae j ) - f ( x * )( x * ) = lim– частная производная функции f в¶x jaa ®0точке x * по аргументу x j .öæ ¶f¶ff ' ( x * ) = çç( x * ), K,( x * ) ÷÷ – градиент (вектор частных производных)¶x nøè ¶x1функции f в точке x * .Функция f называется дифференцируемой в точке x * , если градиентf ¢(x ) существует и при всех достаточно малых h Î R n справедлива формулаf ( x * + h ) = f ( x * ) + f ¢( x * ), h + o( h ) .Здесь, как и всюду далее, o( h ) – некоторая числовая функция числовогоo(a )= 0.a ®0 aФункция f называется непрерывно дифференцируемой в точке x * , еслиаргумента, удовлетворяющая условию limградиент f ¢(x ) существует в некоторой окрестности точки x * и непрерывенв самой точке x * .Говорят, что функция f дифференцируема (непрерывно дифференцируе123ма) на множестве X Ì R n , если она дифференцируема (непрерывно дифференцируема) в каждой точке из X .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
