1612726855-66ce2678ed92310585f0bb1a36623206 (828576), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если,например, задан интегральный функционал, то, введя новую координатуx n +1 и пополнив систему (2) уравнением x& n +1 - f = 0 с граничным условиемx n +1 ( t0 ) = 0 , задача о минимизации функционалаJ1 =t1ò f dtt0сводится к задаче минимизации терминального функционалаJ 2 = x n+1 (t1 ) .Наоборот, если требуется минимизировать терминальный функционалJ 2 = y (t1 , x (t1 )) при фиксированных значениях t0 и x(t0 ) , то, предполагая,что функция y дифференцируема, положимf (t , x , x& ) =¶y ( t , x ) æ ¶y ( t , x ) ö+ç, x& ÷ ,¶tè ¶xø96откуда получим, чтоJ 2 = y (t1 , x (t1 )) = J 1 .Особенности задач классического вариационного исчисления состоят вследующем.
Во-первых, в задачах классического вариационного исчислениявсе функции, входящие в описание задачи, предполагаются гладкими, поменьшей мере непрерывно дифференцируемыми. С другой стороны, в нихотсутствуют нефункциональные ограничения вида (3). В задачах оптимального управления нефункциональные ограничения играют весьма существенную роль. Само по себе множество U (t ) , задающее ограничение (3), можетиметь самую разнообразную природу, например, оно может быть дискретныммножеством. Это делает неестественным рассмотрение в задачах оптимального управления гладких и даже непрерывных управлений, а вместе с этим идопущение о гладкости отображений G1 , G2 в (2) по управлению u . Так чтостандартные допущения в задачах вариационного исчисления – непрерывнаядифференцируемость по всем переменным, а в задачах оптимального управления – непрерывность по совокупности переменных и гладкость по переменным t и x .Приведем несколько примеров частных задач, укладывающихся в общуюсхему.Простейшей векторной задачей называется задача следующего вида:t1üJ ( x (×)) = ò L( t, x (t ), x& ( t )) ® inf, ïï(5)ýt0ïïþ( x ( t0 ), x (t1 )) Î G .В (5) отрезок [t0 , t1 ] предполагается фиксированным, функция L – определенной и непрерывно дифференцируемой в некоторой области пространства R ´ R n ´ R n ; множество G , задающее граничные условия, предполагаетсяпроизвольным подмножеством пространства R n ´ R n .
Если n = 1 , то задачу(5) называется простейшей задачей.Задачей Лагранжа с ограничениями в разрешенной форме и фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств называют следующую задачу:J ( x (×)) =t1ò f (t , x(t ), u(t )) dt ® inf,(6)t0x& = j (t , x , u ) ,g1 (t , x (t )) = 0 , g 2 (t , x (t )) £ 0 ,(7)(8)h0 ( t0 , x (t0 )) = 0 , h1 (t1, x (t1 )) = 0 ,(9)(10)u ÎU .Здесь интегральный функционал не зависит от x& .
Ограничения разделенына разрешенные – (7) и фазовые – (8). Граничные условия описываются соотношениями (9). В такой форме можно задать не все встречающиеся в прило-97жениях граничные условия. Например, периодические условия таким путемописать нельзя. Но вместе с тем, соотношения (9) дают возможность выразить достаточно широкий класс граничных условий.При рассмотрении задачи Лагранжа в рамках классического вариационного исчисления будем предполагать, что отрезок [t0 , t1 ] является фиксированным и ограничение (10) отсутствует.Задача (6) – (10) называется автономной, если во всех входящих в ее определение функциях и отображениях отсутствует явная зависимость отвремени.Линейными задачами оптимального управления будем называть задачи сзакрепленным временем следующего вида:t1ò ((a (t ), x(t ) ) + (b(t ), u (t ))) dt ® inf ,t0x& = A(t ) x + B( t )u ,(g i ( y ), x(t )) £ a i (t ) , i = 1,K , m ,hkj , x ( tk ) = b kj , k = 0,1, j = 1,K, sk , u Î U .()Иногда требование о закрепленности времени при определении линейныхзадач опускают.§ 2.
Сильный и слабый экстремум в задачах классического вариационного исчисленияПоставленные выше задачи обладают все еще неопределенностью, так какне описан класс допустимых элементов. Задача Лагранжа (6) – (9) с фиксированным временем в рамках классического вариационного исчисления будетисследоваться в банаховых пространствахC1n ([t0 , t1 ]) ´ C r ([t0 , t1 ]) , гдеC1n ([t0 , t1 ]) – пространство непрерывно дифференцируемых вектор-функций,а C r ([t0 , t1 ]) – пространство непрерывных вектор-функций.
Норму в пространстве C1 обозначим как × 1 , норму в пространстве C , если мы хотим сопоставить ее с нормой в пространстве C1 , иногда будем обозначать × 0 . Исследование простейших задач проводится в банаховых пространствахC1n ([t0 , t1 ]) .Локальный минимум в пространстве C1n ´ C r в случае задачи Лагранжа,или в пространстве C1n в случае простейших задач, называется слабым. Иначе говоря, пара ( x* (×), u* (×)) доставляет слабый локальный минимум функ-98ционалу J ( x (×), u(×)) в задаче (6) – (9), если найдется такое число e > 0 , чтодля любой допустимой пары ( x (×), u (×)) Î C1n ´ C r такой, чтоx (×) - x* (×) 1 < e , u(×) - u* (×) 0 < e ,выполняется неравенствоJ ( x (×), u(×)) ³ J ( x* (×), u* (×)) .При этом пара называется допустимой в задаче, если она удовлетворяетограничениям (7) и (8) и граничным условиям (9).
Совершенно аналогичноопределяется слабый минимум для простейшей векторной задачи (5).Локальный экстремум по x в топологии пространства C1n называетсясильным. Иначе говоря, допустимая пара ( x* (×), u* (×)) дает сильный локальный минимум функционалу J в задаче (6) – (9), если найдется такое числоe > 0 , что для любой допустимой пары ( x (×), u(×)) , для которойx (×) - x* (×) 0 < e ,выполняется неравенствоJ ( x (×), u(×)) ³ J ( x* (×), u* (×)) .Аналогичным образом определяется сильный минимум для простейшей векторной задачи (5).Далее в термин «сильный экстремум» будет вкладываться несколько расширенное толкование, которое свойственно этому понятию в задачах оптимального управления. Об этом речь пойдет в следующем параграфе.§ 3. Допустимые управления и управляемые процессы в задачах оптимального управления.
Оптимальные процессыУже упоминалось, что требование непрерывности управлений во многихслучаях не является естественным. Нередко из самой постановки задачи вытекает необходимость рассматривать более широкий класс допустимыхуправлений. Иногда в качестве такого берут класс кусочно-непрерывныхуправлений. В дальнейшем в качестве допустимых управлений будут рассматриваться произвольные ограниченные измеримые функции, принимающие значения из множества U (t ) .При таком выборе допустимых управлений требуется уточнить понятиеуправляемого процесса. Процесс ( x (t ), u(t )) называется управляемым на отрезке [t0 , t1 ] , если на этом отрезке функция u(t ) – допустимое управление,x (t ) – абсолютно непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая почтивсюду уравнению (7).В понятие допустимого управляемого процесса включается и отрезок времени, на котором этот процесс рассматривается.
Таким образом, управляемый процесс, допустимый в задаче (6) – (10), это тройка ( x (t ), u(t ), [t0 ,t1]) та99кая, что вектор-функции x (t ) и u(t ) образуют управляемый процесс на отрезке [t0 , t1 ] , и при этом фазовые переменные x (t ) удовлетворяют фазовымограничениям (8) и граничным условиям (9).Допустимый процесс ( x* (t ), u* ( t ), [t0* ,t1*]) назовем оптимальным, еслинайдется e > 0 такое, что для всякого другого допустимого процесса( x (t ), u(t ), [t0 ,t1]) , для которого при всех t Î [t0 , t1 ] I [t0* , t1* ] )выполняютсяусловия t0 - t0* < e , t1 - t1* < e и x (t ) - x* ( t ) < e , имеет место неравенствоJ ( x (×), u(×)) ³ J ( x* (×), u* (×)) .В описанной ситуации говорят еще, что процесс ( x* (t ), u* ( t ), [t0* ,t1*]) доставляет сильный минимум в задаче (6) – (10).Таким образом, возвращаясь к задачам классического вариационного исчисления, в расширенное понимание сильного минимума вкладывается следующий смысл.
Проиллюстрируем его на векторной задаче классическоговариационного исчисления.Будем говорить, что вектор-функция x* (t ) доставляет сильный минимум взадаче (5), если существует e > 0 такое, что для всякой функцииx (t ) ÎW¥n,1 ([t0 , t1 ]) , удовлетворяющей граничным условиям и неравенствуx (×) - x* (×) 0 < e ,имеет место неравенствоJ ( x (×)) ³ J ( x* (×)) .§ 4.
Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисленияВ этом параграфе дается вывод необходимых условий Эйлера. Дальнейшиерассуждения всюду основаны на непосредственном применении метода вариаций.Начнем с простейшей задачи вариационного исчисления с закрепленнымиконцами:t1üJ ( x (×)) = ò L( t, x (t ), x& ( t )) dt ® inf, ïï(11)ýt0ïïþx (t0 ) = x0 , x (t1 ) = x1.Предположим, что функция L(t , x , y ) непрерывно дифференцируема в некоторой области U пространства R 3 . Задачу (11) будем исследовать на слабый экстремум, то есть в пространстве C1 ([t0 , t1 ]) .Вывод уравнения Эйлера состоит из трех этапов.100Первый этап состоит в доказательстве того, что функционал J обладаетпервой вариацией в любой точке x* (×) такой, что точки (t , x* (t ), x&* (t )) ,t Î [t0 , t1 ] , принадлежат области U , и в получении необходимого условия втерминах первой вариации.
Рассмотрим функцию одной переменнойt1t1t0t0j (l ) = J ( x* (×) + lx (×)) = òy (t , l ) dt = ò L(t , x* (t ) + lx ( t ), x&* ( t ) + lx& ( t )) dt , (12)порожденную вариацией x (t , l ) = x* (t ) + lx (t ) точки x* (×) по направлениюточки x (×) . При наших допущениях относительно L , x* (×) и x (×) функцияy (t , l ) является дифференцируемой по l при достаточно малых l , и при¶y¶y (t , l )непрерывна, так как= Lx ( t , x* ( t ) + lx ( t ),¶l¶lx&* ( t ) + lx& ( t )) x (t ) + L x& ( t, x* (t ) + lx (t ), x&* (t ) + lx& (t )) x& (t ) .Следовательно, допустимо дифференцирование в (12) под знаком интеграла и при этомэтом производнаяt1j ¢(0) = dJ ( x* (×), x (×)) = ò ( q(t ) x (t ) + p(t ) x& (t )) dt ,t0гдеq(t ) = Lx (t , x* (t ), x&* (t )) , p(t ) = Lx& (t , x* ( t ), x&* (t )) .Так как исследуемая функция x* (t ) допустима, то для любой функцииx (t ) , принадлежащей подпространству L0 = {x (t ) Î C1 ([t0 , t1 ])x (t0 ) = x ( t1 )= 0} , функция x* (t ) + lx ( t ) будет проходить через те же граничные точки,что и функция x* (t ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
