1612726855-66ce2678ed92310585f0bb1a36623206 (828576), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Из (23)имеем, что f ( xˆ ) = f ( x* ) , то есть x̂ – оптимальное решение задачи P . ▄916.2 Метод внутренних штрафов или метод барьерных функцийОсновной недостаток предыдущего метода заключается в том, что оптимум x* аппроксимируется снаружи, то есть приближения x1 , x 2 ,…, xl , полученные при коэффициентах штрафа k1 , k2 ,…, kl , не принадлежат множеству допустимых решений задачи, что и послужило причиной создания других методов штрафа, в которых оптимум аппроксимируется изнутри. Этимобосновывается их название – методы внутренних штрафов.Определение 2.
Функция B(x) называется барьерной функцией для Q ,если B(x) определена и конечна на Int Q , B( x ) ³ 0 и lim B( x ) = ¥ .x ® ¶QmПримеры барьерных функций: - å (ji ( x)) -1 ,i =1mmi =1i =1å | ji ( x) |-1 , å | ji ( x) |- 2 .Определим штрафную функцию Pk ( x ) = ak B( x) , где ak – коэффициентштрафа или барьерный коэффициент. Тогда решение задачи (1)-(3) сводитсяк решению последовательности задач минимизации видаFk ( x) = f ( x) + ak B( x) ® min , k = 1,2,K .xÎR n(24)Предполагается, что ak ® 0 при k ® ¥ . Как и выше, считаем, что существует метод нахождения оптимального решения задачи (24).
Пустьx k = x(k ) – оптимальное решение задачи (24) со значением барьерного коэффициента ak .На практике для решения задачи (24) можно использовать метод градиен-тов. При этом, если Int Q ¹ Æ и начальное приближение x 0 Î Int Q , то можно гарантировать, что все последующие приближения будут принадлежатьInt Q .Действительно,рассмотримитерационнуюформулу+1x k=x k - a k f ¢( x k ) , a k ³ 0 ,=k 1,2,K . Если в ней текущее приближениеx k Î Int Q , то при достаточно малой длине шага a k новое приближениеx k +1 Î Int Q .Рассмотрим итерационный алгоритм. Пусть x k Î Int Q – решение задачи(24) на шаге k .Шаг k + 1 . Находим решение задачи (24) со значением барьерного коэффициента ak +1 < ak .
Текущее решение x k используется в качестве начального приближения. Если ak +1B( x k +1 ) £ e , то алгоритм завершает работу. Иначеперейти на следующий шаг.92С практической точки зрения важно, чтобы приближения, которые генерируются в процессе работы алгоритма, сходились к оптимальному решениюзадачи. Как и в предыдущем случае, возьмем e = 0 . Тогда алгоритм порождает бесконечную последовательность приближений.
Оказывается, что придостаточно простых предположениях можно гарантировать сходимость этойпоследовательности к оптимуму.Предположим, что задача (24) при любом k Î N достигает минимума наQ и для его вычисления используется один из итерационных методов безусловной оптимизации. Тогда, если начальное приближение x 0 Î Int Q , то изсвойств барьерной функции следует, что данный алгоритм будет сходится кнекоторому значению из множества Int Q .При доказательстве теоремы 6 предполагаем, что множество допустимыхрешений замкнуто, Int Q ¹ Æ , f Î C 0 ( R n ) , B Î C 0 ( Int Q ) , B( x ) ³ 0 , x Î Int Qи, наконец, для любого элемента x Î Q существует последовательность{ y k }kÎN , yk Î Int Q , такая, что lim yk = x .k ®¥Теорема 6.
Пусть выполняется одно из условий:a) f ( xk ) ® +¥ при k ® ¥ для любой последовательности {x k }kÎN Î Qтакой, что || xk ||® ¥ при k ® ¥ ,б) множество Q ограничено.Тогда1) последовательность {x k }kÎN имеет хотя бы одну предельную точку илюбая предельная точка этой последовательности является оптимальным решением,2) a k B ( x k ) ® 0 при k ® ¥ .Доказательство. Как и в случае теоремы 5, из условий а) и б) следует, чтосуществует оптимальное решение задачи x* Î Q . Для любого k Î N справедливоf ( x* ) £ f ( x k ) £ f ( x k ) + ak B( x k ) = Fk ( x k ) .(25)Из введенных выше соглашений следует, что для любого e > 0 существуxe ) £ f ( x * ) + e .
Учитывая, что x k – минимум Fk ,ет ~xe Î Int Q такое, что f ( ~получимF ( xk ) £ f ( ~x ) + a B( ~x ) £ f ( x* ) + e + a B ( ~x ).(26)kekИз определения величин x , xkk +1ekeи условия ak > ak +1 следует93Fk ( x k ) = f ( x k ) + ak B ( x k ) > f ( x k ) + ak +1B( x k ) ³³ f ( x k +1 ) + ak +1B ( x k +1 ) = Fk +1( x k +1) .То есть последовательность {Fk ( x k )}k ÎN является монотонно убывающей. Всилу (25) она ограничена снизу и, следовательно, существует ее предел. Учитывая, что приa k B( ~xe ) ® 0 , из (26) получим, чтоk ®¥lim Fk ( x k ) £ f ( x* ) + e , Так как e > 0 – произвольное и выполняется нера-k ®¥венство (25), имеем lim Fk ( x k ) = f ( x * ) , lim f ( x k ) = f ( x* ) .k ®¥k ®¥Из условий теоремы следует, что последовательность {x k }kÎN содержится в ограниченном множестве.
Следовательно, существует подпоследовательность {x k i }iÎN , сходящаяся к некоторому x̂ . Так как f непрерывна, тоf ( xˆ ) = f ( x* ) , а замкнутость Q гарантирует, что xˆ Î Q и, следовательно, x̂есть оптимальное решение задачи.▄94ГЛАВА 5ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯВариационное исчисление возникло при исследовании некоторых прикладных задач.
Напомним постановку классической изопериметрической задачи, в которой требуется среди замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую наибольшую площадь. В одной из работЛагранжа, посвященной постановкам подобных задач, было предложено«варьировать» кривую, подозреваемую на экстремум, и выделять из приращений функционалов главные части, которые он назвал вариациями. Со временем весь раздел математики, в котором использовался метод Лагранжа,стал называться вариационным исчислением.Для того чтобы более четко очертить границы данного класса задач, воспользуемся их постановками на языке функционального анализа.
Задачи вариационного исчисления – это задачи поиска экстремума функционала илиотображения, которое переводит вектор-функции из некоторого подмножества функционального пространства в числа. Таким образом, особенность задачвариационного исчисления состоит в том, что неизвестными являются функции. Множество допустимых решений задачи представляет собой подмножество некоторого функционального пространства. Допустимые решения удовлетворяют общим требованиям для элементов пространства, например, непрерывности, дифференцируемости и т.д., а также ограничениям и связяммежду неизвестными.§ 1. Постановка задачи классического вариационного исчисленияОбщая постановка:J ( x(×), u(×)) ® inf(sup),G1 (t , x (t ), x& (t ), u(t )) = 0, G2 (t , x (t ), x& (t ), u(t )) £ 0 ,(1)(2)u (t ) Î U (t ) Î R r ,(3)(t0 , x ( t0 ), t1, x (t1 )) Î G ,(4)охватывает большинство задач оптимального управления и вариационногоисчисления [4].Переменные x = ( x1 ,K, x n ) называют фазовыми переменными, аu = (u1 , K, u r ) – управлениями.Функционал J может быть функционалом одного из следующих трех типов.
Интегральный функционал имеет следующую форму:J 1 ( x (×), u(×)) =t1ò f (t , x(t ), x& (t ), u(t ))dt ,где функция f : R ´ R n ´ R n ´ R r ® Rt095называется интегрантом. Функционалы вида J 2 ( x (×)) = y ( t0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) ,где y : R ´ R n ´ R ´ R n ® R , называются терминальными. Если функционалпредставим в виде суммы интегрального и терминального функционалов, тоон называется функционалом смешанного типа.Ограничения вида (2), где Gi : R ´ R n ´ R n ´ R r ® R k i , i = 1, 2 , называютсяфункциональными, а ограничения вида (3) – нефункциональными.Граничные условия задаются выделением в пространстве R ´ R n ´ R ´ R nподмножества G , которому должны принадлежать концы траектории, тоесть точка (t0 , x ( t0 ), t1 , x ( t1 )) .
Как правило, рассматриваются следующие граничные условия:– закрепленные, когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [t0 , t1 ] , при этом сам отрезок предполагается фиксированным:x (t0 ) = x0 , x (t1 ) = x1 ;– свободный правый или левый конец, когда соответствующий конец отрезка[t0 , t1 ] предполагается фиксированным, но на нем нет условия на фазовуютраекторию;– периодические, когда отрезок [t0 , t1 ] фиксирован и фазовая траекторияпринимает равные значения на концах.Отрезок [t0 , t1 ] не предполагается закрепленным. Если же он фиксируется,то соответствующую задачу называют задачей с закрепленным временем.Если функционал (1) является интегральным, то задача (1) – (4) называется задачей Лагранжа; если функционал терминальный, то она называетсязадачей Майера и, наконец, если функционал смешанный, то соответствующая задача называется задачей Больца.Все три постановки являются в значительной мере равносильными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
