1612727555-6fc31085a3944f13decc70088e95e1c7 (828470), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Здесь будет описан,.один из наиболее простых, случай так называемой магнитной г о амики. Магнитная гидродинамика изучает движение жидкости в магнит'- НОМ ПОЛЕ В ПО КОТОРОЙ ИДЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОКе Эта НаУКа ИМЕЕТ дело со скоростями движения вещества, много меньпжми скорости света. Поэтому ее уравнения строятся в так называемом нереля- тивистском приближении, когда. время и пространство считаются абсолютными, как это принято в механике Ньютона.
Основными характеристиками электромагнитных свойств среды в магнитной гидродинамике являются напряженность электрического полн Г, напряженность магнитного поляУ и плотность тока~ Электромагнитные свойства среды описываются фундаментальными законами. Фарадея и Ампера. Здесь они формулируются в упрощен- ной формулировке, в магнитоги о амическОм иближении, ког- да пренебрегают эффектами поляризации, намагничивания и некото- рыии другана. Беконы Фарадея и винера приводят к тр~ыенеоти максвелла дЛ М~.Е =- — - 2ЫЯ= юг йи.Я=О, 3г'~ =о, которые дополняются законом Ома для движущейся среды ~=в~х ~ й), где абсолютнан постоянная~Ч=4ЮЮ ~в системе-МИЛ), а У- про- водимостьи характеризующая среду.
При форМулировке иитегральных законов сохранения в магнитной гидродинамике необходимо учитывать .новую массовую силу — так на- зываемую си Ло е а с объемной плотностью. Ясли ограничиться моделью несзимаемой жидкости, то дифференци- альные уравнения собственно гидродинамики сведутся, как и в модели И5, к уравнению неразрывности и дополненному уравнению Навье-Стокса ~~ =- йу~с+~ 1~4 Р+~ )~К~~~ На самом деле, в этом приближении электрическое поле.Е и ток у можно из уравнений исключить и тогда останется система уравнений, описывающая взаимодействие полей д и,Н . Поэтому зта нодвль и солучила навванив нвгннтной гндродинаннки. В случае оивнавной орвдв ~газа) сунвотивнни такив внвргвти.
ческие эффекты, на которых наиболее важно объемное выделение лева тепла ~ Х . Это приводит к тому, что магнитогазодинамнческие процессы оказываются диссипативньпа~ даже и том случае, когда газ рассматриваетм .как идеальная среда. ~1.16.
На плоскости с координатами ~,у задано контравариант- ное векторное поле » х; ~~. Найти такую систему координат, . в которой зто поле принимает вид ~4,0~. . 1.17" .Цвесть бр,~~ и~~~~- ковариантные и контравариантные компоненты дискриминантного тензора »; , определенного формулой »,"~о.,ф, с ~ =й,.»ф(~~. Доказать тождество ~ Ж вЂ” ~~у~ Р ~ ю ;1.18, Используя тождество задачи 1.17, вывести формулы 8,~.».' =д, К~-~;,.",~;,', ~,,~д-'~=~~,. 1.19. Вектор Рпредставлен в виде линейной комбинации трех линейно независимых векторов а, Г, с: о = са.+р6+~с« ' Показать, что е(у:7 с> ((О;с,О~ Г(0;а,6) б(Ю,8, (>' ~ Г(й 6(> ' ~ ~(К;6 Еъ где»'.
— дискриминантный тензор. 1.20. Доказать формулы: . го~ ~ ГР,) = б, сто-(м-Ь О) = О, 1.21, Доказать формулу байи( — ) =Ч(Й~ЯУ~ . д,~: 1, 22.,: Доказать Формулу С1а'О ~рА~ М~3а''ОА+А (.. Ч»~> Найти компоненты ускорения в зйлеровых переменных. '~ 2.3. Дан закон движения среды .~ ~- 8 ~у' ~8-1.~, .ж =~. ф ~6-8 ~, .ж'= ~=. ,$ Я .Ф ~ ~'- .у Я Показать, чтсФИфЕфД и~и определить компоненты векто-. ра перемОщения В эйлеровых переменных.
2.4. Доказать, что при установившемся движении среды (дб~д~-О) линии тока и траектории совпадают. 2Л. Доказать, что ири движении среды, и котором ~"= фЦ3 а.', линии тока и траектории совпадают. ~2.6. При движении абсолютно твердого тела с неподвижной точкой поле скоростей имеет вии аъРжл:. Доказать,. что для такого движения з;аон сохранейия момента импульса принимает вид — ~'Усй),~ =М, %9 где.Иь,~> = Я'~Р~~М/йь-4-~2:арф — тензор моментов .Я -еинерции объема О, занятого средой, М - полйый момент всех сил, действуьхцих на объем Я ;, 2.7. Доказать, что нри движении среды с полем скоростей Ф' ам с Ж йэС9) кйнетическая знергияК ореды, заключенной в объеме й, выражается формулой: Я ДЙР'~<(Ю 3 где 7 - тензор моментов инерции объема Я .
. 2.8. Доказать формулу Эйлера '~см. $ 2 ) :.,: 2.У 2. 10. Доказать формулу аЧ сЖ~ Д,„-Е„- 'О р с~~б Ц ~ — '+~7 3~в.1х- — сл~> -,йМ' а~ — — .сФ вЂ” . — до. да~ где д~- поверхность объема соЯ~, состоящего из одних и тех же частиц. Записать интегральные законы сохранении массы, импульса и энергии для объема, 4иксированного в переменных Эйлера.
Вывести интегральные законы сохранения массы и энергии В случае одномерных движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами. ~ 3.1. ъ' 3~.2е 3.3. :,~' 3.4. Ш, Напряжения в точке. Тензор напряжений. Круги Мора. Специальные случаи напряженного состояния Доказать' что тензор напряжений можно представить в виде суммы аарового тензора и девиатора и притом единственным образом ° В некоторой точке..задан тензор напряжений с Х 8 ~Р~= 1 .Р Х Ь 1 б причем величина Я~яне указана. Определить Р,„~ так, чтобы вектор напряжений на некоторой площадке в этой точка обращался в нуль.
Найти единичную нормаль к этой свободной от напряжений площадке. Показать, что сумма квадратов модулей' трех векторов напряжений на трех взаимно ортогональных площадках имеет постоянное значение, не зависящее от выбора. площадок. Пусть ~9~ и Д - векторы напряиейий на площадках с нормлями я~ и 7Е~.
Как направлен вектор напряжения на. Площадке, лезйщей В плоскости векторов ~~» и я~7 3..5. Построить разложение РЮ~ыр д~.р~, если ~Р~ ~~ р ~ ~о» о и ю =~,~4Ц(в ортонормнрованном базисе), 3,6. В прймоугольной декартовой:системе координат тензор напряжений Р имеет компоненты Рхх=~». ~Ъ=~л~ ~Ъ=:~' Й~=Раь=~аз=О. . Найти компоненты тензора.напряжений в системе. координат, поверйутой вокруг оси а: на угол с .
. 3.7, Напряженное состояние в любой точке сплошной среды в де- картовой системе координрт~л;,.~~ д.,~задано матрицей '~ж» л~ ' Хх'.,р ' О Я(У~ж Жж,р 0,8х~ ~и:, Определить вектор напряжения в точкеф,У ~фна площадке, касательной в 'этой. точке к цилиндрической, поверхности 8. Я~ 3.18. Записать уравнения равновесия сплоиной сред~ в цилиндрйческих и сФерических координатах, испельзуя физические компоненты,текзора напряжений и вектора плотности массо.
вых сил- 1У. Леформация. цензоры деформации и скоростей деформаций. Условия совместности. Линейная теория упругости. 4.1. Вектор аереаеаеааа ата аекартоаой окотше кое~какао задан в переменных Лагранжа выражением М'=4~ ~~+р ~~~ +ф,ф .Г,.где ~8;.~ - базисные векторы. Определить смещанное положение частйци,первоначально иаходивпвйся в точке .Х= 8 +8Гр .
4.2. В ортогональной декартовой лагранжевой системе координат 4ф. ф,„,,~» ~ задано поле вектора перемещений. я~~-.—.—..АфД ~-~ф ф~, ~~~=0, где А — константа. Определить компоненты ~егора перемещений в цилиндрической зйлеровой системе. координат ~з, ~р, ~~~, если обе системы имевт общее начало. 4.3. Найти выражения для Физических компснент тензора де$орма; ций через физические компоненты вектора перемещения '(ли-.. нейиая теория) в цилиндрической и сферической системах .
коердинат. 4.4. Перемещение среды,~~ ~ ~-~ ~~ у,.у~ задано уоавневими х=ф ~, ~=~-, Г= ~ . Влислить лагранжев ~ и эйлеров 8 тензоры да$ормации и найти в обоих 'случаях главные на- правления и удлинения. ;; 4.5. Кручение упругой среды задается Формулами ю=ф~~са.~ С, у=~+ у,р, .~ ~ -у ~ ~=~Фм~~;. Найти лагранжев тензор де4ормации Д, главные направления и удлинения. 4.,6. Дано поле перемещений ж = ф +Щ,,д.'л-ф„-Я~з,.х~-ф-ф~ф Найти эйлеров тензор деФормеции 4,и главйые удиииеиия!- .: 4.7. В некоторой точке задан тензор деФормации ~4 ~~) — -5 .- У -~4 ~4 -Ю 4-: Определить относительное удлинение в направлении 61 4.16.
Показать„что система уравнений;-: ',: ! Д~Р Я °: — е — — ~Р ~Я. =-сю/ы8 ~ ~~ ° ~~„,, Я )' ~Ю относительно скалярной функции ~~а; ...,х~является вполне интегрируемой» Н~йт~ р~шен~е зтой систе~~, удовлетворякщее начакьному условию ~С~.',...,.4 =~.'. 4.17. Тензор второго рангаЮопределен формулой Й~= 79' Й~~ где ~Ф- СкЗлярнея Функция, зависяцея в декартовой системе координат от координат,ж~, л~ .
Найти условие, цри котором тензорЯЗ может рассматриваться как тензор скоростей дефОрмации, 4.18.,Пля плоского движения существует только одно соотношение соВместнОсти между Отличными От нуля комнонентами тензс ра скоростей деформации. Вывести зто соотношение без обращи1ия к общему условиБ совместности. 4.19.
Какими должны быть функции / , у , 4 для того, чтобы система уравнений Относительно Функции Фбх Ж вЂ” =~~у~+ату~ф ~-,ж"4'~у, — ~ — =~2 +Ю,Л'+ С.Ж: Д~ У где а , Ф , с — постоянные, имела решение? : 4.20. В рамках линейной теории выяснить, можно ли тензор ~,', ОАг» ФХ~~ ф~= .ж,,ж„ '~вЖ~ <Д»'~ »3 42 ~ .ж~ рассматривать как тензор деформации некоторого- перемещения» 4.21.. Для каких гладких скаирных функций ~ф~~ шаровой тензор ~ = ~ф~~Хможет быть тензором деформации (линейная теория)? ~' 4.22. Найти вектор перемещения тля тензора деформации из зада- чи 4.21. 4,23~ Доказать, что шаровой тензор Д= у~®сможет рассматриваться как лагранжев тензор конечных деформаций в том и только в том случае, если скалярная функция ~~~~ алеет следукщий "вид' :.33.
В условиях предыдущей задачи показать, что векторы ~Р„,, °: д Рлпараллельны плоскости В = О, У. Жидкости и газы. Простейшие модели 5.4. . Написать уравнения движения идеальной несжииаемои жидкости в цилиндрической и сферической системах коорди-., нат, используя физические компоненты векторов. . Лдя идеальной несжимаемой жидкости вывести уравнение неразрывности и уравнения движения в переменных Лаграниа1 . Найти распределение давления в весомой покожцейся несжимаемой жидкости, занимающей область О~ ~< Х, на свободной поверхности У=О которой действует атмосферное давление ~, .
Показать, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости ~закон Архимеда). Найти давление в центре жидкого. шара радиуса а , постоянной плотности р , если жидкость покоится, а силн взаимодействия определяются законом Ньютона: Яа (,~, ~ ~з ('7,-7в3 где л~~и т;. взаимодействующйе массы, расположенные в то пи~.х и .ж~, ~" — грави~апионная постоянная ~давление на поверхности равно нулю). 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
