1612727555-6fc31085a3944f13decc70088e95e1c7 (828470), страница 3
Текст из файла (страница 3)
а,„'. Эти формулы точно с~~падаю~ с ~7), и анало~ия Оч~вид~а. В силу етой аналогии можно сказать,что инварианты Я/Я— это "безразмерные" величины, образованные из ю' и М . упомянутое в теореме 2 дополнительное условие в данном случае сводится к требованию, чтобы величины Ж были "независимыми".
Тогда система .Е /Я будет связывать только "безразмерные" величины. Соответствующие инвариантные Я -решения системы Л называются автомо ельными (в узком смысле). 6, Для механики сплошных сред фундаментальное значение имеет тот факт, что ее уравнения инвариантны Относительно гцптБ Гввидтн.
Фактически вто свойство следовало бы о4орыулироввть и кнчвотвт одной ив иконок ысхвнвкв склонных сред. Твк икв иивчв, эту инвариантность теперь можно просто проверить для уже построенных моделей. В качестве пространства, в котором действует группа Галилея, Р берется пространство Я, где координатами точки являются время тРИ КООРДИНатЫ РаДИУС ВЕКтОРа.ы2; ~'т„", Д" Ж ~и тРИ КООРДИНа ,к Я ю ты виктори скорости й ~ ы, тт, хх ) (в ортонорыироввнноы свинов~к;~). Группа Галилея 6 порождается следующими десятью независимыми непрерывными преобразованиями и, одним дискретным (явно выписаны только Фактически преобразуемые величины; остальные остаются неизменными) . Перенос по времени Т: 1=~+а. ~ Переносы по координатам Т'-: т:"=а.'~а'(.~=У,8,3); Галилеевы переносн Г:.ж"=.ж' ~'~, у '=у-'+~' ~ ~=У8,д ); 4 Вращения Оу~: л: '= б~~ (.х>, ~7'= 0;(и) ( б = У, Я, ~ ) ~ Отражение Я: .х '=-.ж, Р'=- Р.
Здесь й'- , й'-', Р , б' - параметры группы, а О ,.-вращение вокруг ~ -той оси на угол О'. Совокупность всех вращений вместе с отражением Е образует группу 0~ ортогональных преобразонаний пространства Я Инвариантность некоторой системы дифференпцацьнйх уравнений ОИНОСИтЕЛЬНО КажДОГО ИЗ ЗтИХ ПрЕООуаесюаццвв ~жаамврт т;лж~дующее. T": в Я явно не входит время ~; инвариантные Т -решения называются ст она ными. Т'.
в.Е явно не входит переменная .т'; инвариантные Т'- реиеивя иаеиваптся плсскопа еллаивиими ~в чаотиооти - плоскими). Г: урелиеиия Е ие меняется при перекопе в систему координат, движущуюся поступательно о постоянной скоростью в направлении Г,-; инвариантные Г'-решения можно назвать галилеево-о НОВОДНЫМИ. ® е ЕСЛИ ВЕПЕР6йти К ЦИЛИНЩЗИЧЕСКИМ КООРДИНатзм С ОСЬЮ Г;, то -угловая. Координата* Ю в преобразованные уравнения не войдет; инвариантные Ю -решения называются ател о-симметрд.п1нми, (в частпооти - осеовтавет куками).
Другие субмодели получаются при использовании подгрупп Яс=б~, с двумя или тремя параметрами. Ясли символом. Я~А,Я. обозначить подгруппу, порожденную однопараметрическими подгруппами А,.8,..., то можно отметить следующие. Подгруппа,Ч~Т„ Т 3 порождает класс о оме ных нест она— 8 з ных решений: подгруппа Л~ Т, Т 3 — класс плоских ст она ных о ° а~ 8- решений; нодгруппа О =НЯМ Ы, Ы Е) класс с е ически имметич нест она х решений.
Конечно, упомянутыми субмоделями далеко не исчерпываются все возможности точного субмоделированиа, основанного на свойстве инвариантности уравнений относительно группы преобразований. Для исчерпывающего анализа зтих возможностей применительно к данной системе уравненийЕ надо решить две задачи: найти наи-. более широкую, так называемую основ ю б, допускаемую системой .Е , и класси рвать по Яс=Ы . Эти и другие, сопутствующие, зедачи изучает групновой анализ ди44еренциальных уравнений.
5 15. ЯИОЖН2ННЫЕ МОДЕАИ . 1. В предыдущих парагра4ах били описаны лишь простейшие, классические, математические модели сплошных сред. Однако в - практических вопросах часто приходится иметь дело с такими сплошными средами, поведение которых .не укладывается в раияи классических моделей. В таких случаях выражаЦБЯ Основных Опор ных законов сохранения массы, импульса и энергии приходится видоизменять за счет Отказа От некоторых аксиом А1-А1О и замены их другими, более полно и адекватно отражалцими новые черты поведения среды.
Проблемы построения и изучения таких моделей весьма актуальны, Они составляют значительную часть научного содержания современной механики сплошных сред. Здесь будет дано лишь общее представление о некоторых усложненных моделях. 2. Мно зные с е .Т6рмином "многофазние" или"многокомпонентные" среды обозначаются среды,представляющие собой "смеси" нескольких сред с разными физическими свойствами, каждая из которых удовлетворяет условиям оплошности и деформируемости.
Это— пылевые и дождевые облака, продукты сгорания топлив, насыщенные пузырьками газа жидкости, смеси химически реагирующих веществ и т.п. Наиболее ясной моделью многофазной среды является так называемая модель взаимо оник их с е , которая далее описывается на примере зной с е Рассматриваются дае сплошные среды, среда ".» " и среда ",$", заполняющие одну и ту же область Я~Я ф~.
Смесь этих двух сред также есть единая сплошная среда "» Я ". Сперме величины для этих сред определяются следующим образом, Пусть среда "'," имеет уст ю плотность ~» , а среда "Я" - ~,, Если в объеме 7~ 42 среда '7" занимает объем 7~ и,имеет массу ю», а среда "Я" занимает объем 7, и имеет массу щ~, то м =р ~ и щ, = фУ', Тогда среда " У+Я " в том же объеме Ъ' имеет массум= 777~ Ф7, и среднюю плотность ~=в~/У . Если ввести объемные концентрации составляющих сред л' = ~~/Уи л~ — — ~~/К..то будут Справедливы ра; венства ~» + М~ - 1, к~ ~» ~ Хр ~~~ = ~. Лвижение в области Я может рассматриваться как движение, каждой из этих сред.
Соответственно этому вноднтся три средние скорости Р~, д~ и Р . Так как скорости определяются через импульс, то из равенства ю д- ~т,б =юТслец~ет равенство ды средних Х,~~~ И,-+К~Я,р Р~ =~Ф- Аналогичное соотношение справедливо для плотностей внутренней энергии каждой из сред 3Щ~ Ц + х~~Од Я~= ~б и вообще для массовой плотности любой адцитивной функции множества. ' Пусть У- тензор напряжений и ~ — вектор потока тепла в среде "у+Я". Тогда для этой среды можно считать справедливыми уравнения интегральных законов сохранения со следующим добавлением.
При взаимспроникающем движении сред "1". и "~»." в среде "у" дей-. ствует в т внняа массовая сила с объемной плотностью у~ , обусловленная сопротивлением прониканию этой среды через среду "д". Эта сила еаьиоит от относительной снооости й' -ф, а тенин от других характеристик обеих сред. Аналогичная сила щ, действует в среде Я и причем» из условия равновесия» ~~ ть щ О.' Поэтому в.уравнение импульсов эти силы нв войдут.
Однако они: совершают работу в каждой из сред, которая дает приток энергии в среду УФЯ р й Лл-~4) ~~,.Э от пр ток до *вн б ь у тен в закс 4 г' не сохранения энергии. При написании- интегральных законов сохранения для среды "' надо также учесть, что поверхностная сила, действующая через площадку сЫ с нормалью ~~на эту среду, будет равна не ~„~Ю, а х,-~о Ы5 .
Аналогично, количество тепла, переносимое через такую же площадку и воспринятое средой "~'"» будет равно .К. с~,~сй' Полученные таким путем системы интегральных законов сохране ння для каждой из сред "~", 'д" и "у.сд" надо "замыкать" путем добавления термодинамичвских уравнений, включавших температуры б; и энтронии ~; (~ =18) сред "~" и "д", а такие уравнений состояния, связыважщих тенэор нанряжвний с тензорами деформации или скорости . двФормации обеих ссставляхцих сред.
,,3. Анизот в с е, Этим термином называются такие сплошные среды, которые обладают различными свойствами в разных направлениях..Анизотропными мокнут бытьькак деформируемыв твердые тела (кристаллы, полимеры), так'и жидкости (растворы полимеров', "жидкие при постоянной внешней нагрузке деформированный материал не остается в состоянии покоя, как зто было бы с упругой средой, а как бы "ползет", т. е. за длительное время претерпевает изменяющуюся со временем деформацию.
Явление релаксации заключается в том, что напряженное состояние материала при фиксированной внешней деформированной конфигурации не остается стационарным, как это было бы в случае упругой среды, а как бы постепенно "снима-, ется", релаксирует, т.е. напряжения в теле за длительное время выравниваются и, вообще говоря, ослабевают. Эти два явления тесно связаны между собой,и релаксацию можно рассматривать как не, которую "внутреннюю" ползучесть. Б математическую модель свойства вязкоупругости вносятся через уравнение состояния, связывающее тензор напряжений .Р с тензором деформаций б .
Однако в эти связи, в отличие от классической теории упругости, входят не только сами тензоры 6 и Р , но' также и их производные по времени. В линейной теории ~наиболее разработанной в настоящее вреия) уравнение состояния задается в виде линейной зависимости между производными по времени от тензоров Р и д с коэффициентами., зависнщими от температуры и определяемыми опытным путем,'.
Классическими Примерами вязкоупругих связей между напряжением 6'~'~~ и деформацией б Щ (при.одноосном нагружении) являются элемент Максвелла д(: 1 дб — — „~ ф Ж Я д~ и элемент Фойгта Ф 6=.ЕЕ р д6 в которых .Е- модуль упругости, а ~ — релаксационный параметр. В ~~вр~менн~й теории эти с~яз~ принято ~~давать в общей интегральной аК = ~а~юа~+К~ К ай~ =~ею а~~-~уМ; где пс тливость ;ЯЯ и моддь ь9Я~ — экспериментально определяемые характеристики среды. Эти уравнения означают, что реакция среды в момент времени + зависит не только от воздействия на нее в этот момент, но от всей предыстории воздействия, причем влия- ние этои предыстории со временем уменьшается, 5.
Элект омагнитные с е . Так можно назвать сплошные сре- ды, на движение которых влияют электромагнитные свойства веще- ства. К ним относятся потоки заряженных частиц, плазма, среда околоземного пространства и т.п. уже эти. примеры показывают, насколько актуально изучение таких сред. Особенностью этих сред является то, что В них действуют изменяющиеся в пространстве и во времени электрические и магнитные поля. В механичес- ком отношении эти среды вепут себя, с надлежащими поправками, как жидкости или газы. Поведение электромагнитных сред отлича- ется больш~й сложность~ и изу~а~тся в ряде самостоятельных на- учных дисциплин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
