1612727555-6fc31085a3944f13decc70088e95e1c7 (828470), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти 4ункции должны определяться из эксперимениов, а в мо- зования:, аналогичные тем, которые были проделаны при выводе уравнений М4 и М~, приводят к следуацей системе урюи»ений моде. ли М~ ой те о ости: Э Ю, . -е- ~ —, =-~'Ю+ ~Л+~ф~ У~ йФМ;)+ К6Ф-+ ~,~, дф 3. — =,К,6 6- я — ~йо. м~ д~ У ' где К .».;4 С - коэффициент температуропроводности и введен коХо 8 э$4ициент =ад /р ф . Здесь операции й6, 9' и й вынолнявтси во. ввзвВыН пеРе~евюи'~ (зедеКс~ для Краткости Оаущен). Через основные величины й и О тензор деформаций 8 вычисляется по Формуле (см. 6(7)) ~;зР" Эйли ~ д~ дф (13) тензор напряжений — по формуле (12), а плотность среды - по линейному .приближению формулы (1), имеющему вид у = у ( 1- аЬ йР) = р ~ у- ~~ (ф) ~дц~ Уравнения М~ вместе с формулами (12), (13)- и (14) называются авнениями лине ой те о гости.
$11. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1. Существенную трудность при решении задач линейной термоупругости Вызывает то обстоятельство, что уравнения М9 требуется рассматривать совместно: 'напряжения (и перемещения) зависят от температуры и обратно. Как показывает опыт, в тех случаях, ~~~д~ нагружение упругого тела происходит дос~ат~~~о медленной влияние температуры на напряжения оказывается малым, так как за Время перехода а ОЯ4температура успевает Выравняться и придти в равновесие с окружакщей средой.'Предположение о независимости напряжений От тийпературы широко используется на практике и приводит к модели классической теории упругости. Итак, в основу линейной теории упругости кладется модель ~ и дополнительная з,ксиома Т4 н~зав~~имост~ От темпе ат Т4.
Тензор напряжений .Р не зависит от температуры В . ' Принятие этой аксиомы" означает, что в форщйле 10(12)'-следует половить у'= О , в результате чего она принимет вид Р = Л.'7~ ( б) х'+ лр ~. (1) Эта Форма линейной связи напряжений с деформациями, упругого тела называется законом а. 2. Вместе с ~ обращается в нуль такие и б . Бо если ~= в=Ой то уравнения М9 становятся независимыми друг от друга, т.е. механические и тепловые ПРоцессы ОказывамРГОЯ Разделеннымие ПРи атом для 8 получается уже:известное уравнение теплопроводности 9(2). Единственное оставшееся уравнение и образует, вместе с раиеисеиами ~1) и 10(13), молль И~о илассичесиой линейной еео ии ~' — = ~.~+ 4г) Ч~Й~О ~ ~~М ЛЛВ+~ ~ - М Уравнение М1О называется авнением Ламе.
Жсодящие сюда величины Я и ~ называются постоянными Ламе. 3. Физический смысл постоянных Ламе выясняется путем их выражения через легко измеряемые величины. Ллн одноосного напряженного состояния, при котором матрицы тензоров У и б в главных осях имеют вид Отсюда получается следукщее выражение тензора деформаций д через тензор напряжений Р,' й = — Р— — У ГР.)х. 1+6 6 у я' Х (~) 5. Одной из основных задач механики упругого тела является з ача о авновесии. Пусть тело находилось в "естественном" состоянии в положении Я„.- Пусть к етому телу приложена не зави- ая от времени нагрузка в виде некоторого поля массовых сил ~~3 и каких либо поверхностных сил на поверхности тела дЯ„ Если приложенные силы находятся в равновесии-, то,, как показывает опыт, по прошествии некоторого времени это тело перейдет в положение Я , которое не будет меняться со временем. Это новое положение и будет положением равновесия нагруженного упру-.
гого тела. Задача о равновесии упругого тела есть задача об отыскании положения Я , т. е. поля перемещений при переходеЯ Р , и поля напряжений, действукщих в теле в положении Я . В зависимости от характера дополнительной информации, которая задается в виде так называемых г х словий, эта задача может решаться либо в перемещениях, либо в напряжениях.
Так как в положении равновесия вектор перемещения йтот времени не.зависит, то он удовлетворяет ст она но авненив Лзмб О+~и~ Р(сйи-й9+рд и7 =-у, /, (7) решение которого и~= ю~'~~ требуется найти в области Яд . При решении задачи в перемещениях требуется, чтобы векторУ'был задан на всей границе дй . Если эта пе вая к аевая з ча теории упругости решена, то тензор деформаций вычисляется по формуле 10(13),'а тензор напряжений - по Формуле (5). 6. Сложнее обстоит дело во вто ой аевой з аче теории уп-- ругости, когда на границе дД заданы напряжения.
В этом случае задачу надо ре~~~ь в напряжениях. Равносильное уравнениш (7) уравнение в напряжениях есть уравнение импульсов 10(9) йЫР= — ~~ ~. (8) 23 ч щил аьм . чсма. и,у рилэичсисю, пмръэч яиьч зич щам ииучрцмиамьииь ~мса~эч~г л так как оно является. векторным и состоит из трех скиляр ных уравнений, в то время как симметричный тензор напряжений Р имеет шесть неизвестных компонент. Недостахцие уравнения дает условие совместности. Если предположить, что тензор Р найден, то, в силу (6), будет известен и тензор 4 .
Построение перемещения И Я тогда сведется к задаче об отыскании поля перемещений й'по тензору деформаций Д . Эта задача была рассмотрена в лекции 7, где было выяснено, что' она разрешима тогда и только тогда, когда тензор Д удовлетворяет условию совместности Сен-Венана 7Ш ). Если ввести в рассмотрение '"тензор несовместимости" 4Г /Р' И У ~м' «а,8,а,а~=д~д «с аЬ+д;,«а,6>-4' «4~ь-й~~«а,с>, то условие совместности запишется в виде ~~~ «~~54 ~~' (9) Подстановка сюда выражения (6) дает словце совместности для тен о а яжений Р М~ <а.,В С,сЬ=.— ~~а В~Я~ОУ «С,се+~С с~~ 7~~Р~ а,4>-(~'С) ~+ ф .
В -Са а~~, (Р3 ~4Ф>-<'К а9Л СР3 <а.,с)~-.~ Итак, тензор напряжений должен удовлетворять как уравнению (8), так и уравнению (1О). Система, состоящая из этих уравнений,нереопределена: в ней девять скалярных уравнений для шести искомых функций. Тем не менее, как устанавливается в теории упругости, вторая краевая задача для системы (8), ЛО) поставлена корректно. $ Ы.
СИЛЬВИ РЛЭРЦВ 1. Ло сих пор рассматривались движения сплоиных сред, не, прерыввые в смысле определения 3.2. Для непрерывных движений дифференциальные уравнения М~ равносильны интегральнш законам сохранения М~, которые могут быть переписаны и виде —,', ПЬ~" = . й~ ЫП~~~ -Ир = ~ -Н/гй"; ЙР~ и) — Шр ~~~к щ 3~д -Д~х *Руэгг)~с~(~+Я р ~Я„у1~~~ ' йф 340~ сд~ РЯД(~ ~~1+У)Ны ЯРР1й>~Ф-Ясу'йа~~~Я/рР ~Ысг.
"' й~, дй~~ дй2~ ЙР~ Все Эти уравнения мОжнО считать конкретизи~иями однОГО и тОгО же абстрактного. закона сохранения, имеющего кщ '~ ф~й =Я ~~лс~~фх 1. (~) 2. Использоваще того 4акта, что закон сохранения ~2) выполняется для любого движущегося объема а?~,позволяет преобразовать его к такому виду, в котором отоутотвуж какие-либо производные 4ующий Г, ф'. для непрерывного движения справедливы равенства, первое из которых получается с помощью.формулы 3(2) и замечания, что Ж+~Жд р-- '~~ +~Си ~.Р~Р), а второе - по теореме Гаусса-ОотМ б6 роградс кого ~ Яив- Я('~.л; (гь)ы, 1(ты - Ц!аввы, д;6 ~ .
~~ ..д~ дЮ~ аф В силу зтих равенств уравнение (3) равносильно следуищецу; УЯ вЂ” ~ Аи(гк-фей~.- фх Аи. Р1 В $2 отоища были получейы ди$$ереищиыьные уравнении непреР~зного движения,' образуицие молль И2. ' ления величин о, р, а также начальные и граничные условия. К математической модели предъявляются некоторые общие требования, вытекающие из основанного на опыте представления о свойствах класса моделируемых явлений.
Обычно это представление связано с тем, что явление (а) наблюдаемо (величины набораХ могут быть измерены), (б) протекает детерминированным образом (при данных Х и ЮвеличиныЯ получаются вполне определенными) и (в) надежно воспроизводится от опыта к опыту (величины.Х слабо зависят от всегда имеющих место в опыте малых флуктуаций данныхК и Я)). В соответствии с зтим представлением первое требование к математической модели.М~Ь;Х, Х ,9~, выражающее необходимое свойство ее адакватности явлению, состоит в том„ что решение .л', уравнений .Е должно (а) существовать, (б) быть единственным и (в) непрерывно зависеть от.данных,К , Я .
Математическая модель, удовлетворяющая атому требованию, называется коппектной. Второе требование -наотатсчнан сонность математической модели, охват по 'возможности наиболее широкого класса физических явлений. Ииу необходимо удовлетворить для того, чтобы с помощью математической модели можно было прослеживать взаимосвязи конкретных явлений данного класса и решать вопросы управления зтими явлениями. Наконец, третье требонение - нростота мелели. Коли молель слишком сложна, то трудно надеяться, что ее уравнения удается продуктивно решать. КРоме того, сложность модели может проистекать из-за ее перегруженности информацией о некоторых чертах явления, которые могут быть несущественными.
Конечно, понятие простоты относительно, оно зависит как от глубины проникновения в суть описываемых явлений, так и от имеющихся технических средств решения задач: развитых математических методов, вычислительной техники, возможности подготовки дополнительной экспериментальной информацйи дкя проведения конкретных расчетов и т.п. Обычно конкретные решенияХ уравнения Х моделей сплошных сред отыскиваются в некоторой области определения Я с= ~? искомых функций при некоторых начэльных и аничных словияхе Задача об отыскании решения в заданной области при заданных начальных и граничных условиях называется к аевой за чей. Начальные условия заключаются в задании при некотором 1=~. тех из величин Х , от которых в Е входят производные по времени далее надо растянуть единицы измерения, перейдя к единицам 8' =а 8 и вычислить размерности.~ г'~,~и~7в новых единицах. Тогда получатся формулы, выражакщие новые размерности через ис- ХОДНЫЕ ,К ~~'1 = Бж'7~,'...а~,", /и."7=/а ~~ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
