1611690922-47a9f3074fd2261807ac036c52de6010 (826955), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определить величину и направление магнитного поля в центре тора (точке O). Радиус тора равен R, сечение тора – круг радиуса r (r ! R). Соленоид заполненмагнетиком с магнитной проницаемостью µ, магнитная проницаемость окружающей среды равна 1 (5 б).362011/2012 Контрольная работа 2Задача 6Один из лауреатов Нобелевской премии по физике 2010 года (за открытие графена) Андрей Гейм является также лауреатом Анти-Нобелевской премии за опыты по левитации лягушки.В его опытах лягушка висела в поле тяжести g над магнитнойкатушкой. Связано это с тем, что живые организмы являютсяслабыми диамагнетиками, так как в основном состоят из воды, аµводы ´ 1 « ´10´5 . Оценить, какое магнитное поле должно быть вцентре катушки радиуса 5 см (длину катушки считать много большей радиуса), чтобы лягушка висела вблизи торца вертикальностоящей катушки.
Оценку обосновать. Устойчиво ли положениелягушки?Указание: лягушку рассмотреть как маленький шар с плотностью ρ “ 1 г{см3 , для нахождения поля на оси катушки воспользоваться задачей 4.1 из сборника [1] (5 б).Контрольная работа 2Задача 1Эллиптически поляризованный свет падает на пластину идеального поляроида по нормали к ее поверхности. Вектор электрического поля задан в виде Epr, tq “ pE0x ex ` iE0y ey q eipkz´ωtq .
Осьпропускания поляроида составляет с осью x угол ϕ. Определить,какая доля интенсивности волны пройдет через поляроид (3 б).Задача 2Сигнал Eptq зависит от времени следующим образом: E “ 0при t ă 0; E “ 1 при 0 ď t ď τ; E “ ´1 при 2τ ď t ď 3τ; E “ 0при t ą 3τ. Найти модуль спектральной мощности |Epωq| (3 б).Задача 3На вход пустого волновода с идеально проводящими стенкамипрямоугольного сечения a ˆ b pb ă a2 q подается сигнал длительностью τ и частотой ω˚ “ 2ω0 , где ω0 – минимальная частота37Условия задачH10 волны. Этот сигнал формирует в волноводе волновой пакет,состоящий из H10 волн. Оценить: а) начальную протяженностьволнового пакета l0 (2 б); б) за какой промежуток времени T " τпротяженность пакета удвоится? (3 б)Задача 4Поверхность елочного шарасодержит зеркальные и матовыеучастки. В одном из зеркальныхучастков человек видит свое отражение.
На каком минимальномрасстоянии d от шара должен находиться человек, чтобы видеть себя в полный рост? Считать, чтов этих условиях положение зеркального участка на сфере таково, что изображение, попадающее в поле зрения человека, точноукладывается по высоте в зеркальную область, без зазоров с ееграницами (это не так на схематическом рисунке). Рост человекаH, радиус шара R, размер зеркального участка l (l ! R).
(4 б)Задача 5На плоский экран с параллельными щелями, расстояние между которыми равно d, падает по нормалиплоская волна длиной λ. Интерференционная картина наблюдается наэкране, перпендикулярном экрану со щелями, расположенном нарасстоянии d от ближней к нему щели. Найти расстояние междумаксимумами на этом экране ∆xm как функцию порядка максимума m на больших по сравнению с d расстояниях от щелей (4 б).Задача 6Найти видность и оценить размер интерференционной картины в схеме Юнга с точечным источником, обладающим частотI0 γdI“ πppω´ωным спектром в виде лоренцевского контура: dω22 ,0 q `γ q382011/2012 Экзаменационная работа 2где γ ! ω0 .
Расстояние от источника до экрана со щелями a,расстояние от экрана со щелями до экрана, на котором наблюдается интерференция, L, расстояние между щелями 2d (схема, какв задаче 3.1 [1]) (5 б).Экзаменационная работа 2Задача 1Плоская волна с амплитудой E0 и волновым векторомk падает по нормали на экран,состоящий из двух непрозрачных полудисков (см. рисунок).Радиус меньшего полудиска R.
В приближении дифракции Френеля найти, при каком минимальном радиусе большего полудискаx амплитуда волны обратится в 0 на расстоянии b (b " R " λ) понормали от центра полудисков (4 б).Задача 2К решетке с периодом d приставили прозрачный клин с углом α ! 1 и показателемпреломления n. Найти, при каком значенииугла α для плоской волны (длина волны λ), падающей на решетку сверху по нормали, максимум первого порядка наблюдается внаправлении падающего пучка (3 б).Задача 3Антенна, показанная на рисунке, состоит изтрех одинаковых диполей, расположенных наодной прямой. Дипольные моменты направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Крайние диполи (1 и 3) запитаны синфазно, а колебания среднего (2)сдвинуты относительно них на фазу φ.
Расстояние между соседними диполями 2λ{3. Подобрать такую фазу φ, чтобы угловое39Условия задачраспределение интенсивности излучения dI{dΩ имело максимумпо переменной φ в направлении θ “ 30˝ в плоскости рисунка.Найти, чему равна интенсивность излучения антенны в данномнаправлении, если для одного диполя она равна I0 (3 б).Задача 4Два маленьких металлических шарика радиуса a закреплены на оси x на расстоянии s друг отдруга (s " a). На шарики вдоль оси z падает плоская монохроматическая световая волна с длинойλ " s, линейно поляризованная по оси x. Измеряется интенсивность света, рассеянная шариками в направлении,противоположном оси z.
Во сколько раз изменится ее величина,если шарики электрически соединить тонким проводником? (5 б)Задача 5Бесконечному цилиндру, равномерно заряженному с линейной плотностью κ 1 , придали скорость u, направленную вдоль его оси. В том женаправлении на расстоянии r от оси цилиндра движется со скоростью v частица зарядом q. Найти силу F, действующую на частицу в лабораторной системе отсчета.
Скорости u и v считатьрелятивистскими (4 б).Задача 6Ультрарелятивистская частица (заряд e,масса m, скорость β « 1) пролетает вдольоси x через магнитное поле, создаваемоедвумя одинаковыми круговыми витками радиуса r0 с током I0 . Центры витков расположены в точках x “ 0, z “ ˘a (a " r0 ),нормали к виткам направлены вдоль оси z. Найти энергию ∆E,излученную зарядом при его движении от x “ ´8 до `8, считая∆E ! γmc2 .402011/2012 Экзаменационная работа 2Указание: значение интеграла8ş´8dξp1`ξ2 qnдля целых n опре-деляется точно с помощью вычета или замены переменной либоприближенно с помощью оценки (6 б).41Решения2007/2008 учебный годКонтрольная работа 1Решение задачи 1Электрическое поле в точке срадиус-вектором r:Eprq “żσpθqpr ´ r1 q 1dS ,|r ´ r1 |3где r1 – радиус-вектор элементаплощади dS 1 . Из симметрии задачи в точке O:ExO “ EyO “ 0,EzO “ ´ş σ0 sin θ cos θR2R2 sin θdθdφ “ ´2πσ0ˇ3 ˇθ“π{20“ ´2πσ0 sin3 θ ˇ“ ´ 2πσ3 .θ“042π{2şθ“0sin2 θd sin θ “2007/2008 Контрольная работа 10Ответ: Ex “ Ey “ 0; Ez “ ´ 2πσ3 .Решение задачи 2Заряд системы q.Дипольный момент равен 0.
Тензор квадрупольного момента:ż´ 1 1¯Di,j “ ρpr1 q ¨ 3xi xj ´ r12 δi,j dV,Dz,z ““ttq12πa δpzqδprq12πa δpzqδpr`˘´ aq ¨ 3z 2 ´ x2 ´ y 2 ´ z 2 dV “`˘´ aq ¨ 2z 2 ´ r 12 r 1 dr 1 dzdφ “ ´qa2 .Переменные V , x, y, z по своему смыслу являются штрихованными, как и r 1 , но в интеграле мы опустили знак штриха, чтобы незагромождать записи.Dx,x ` Dy,y ` Dz,z “ 0. С другой стороны, из симметрии задачи2Dx,x “ Dy,y . Тогда Dx,x “ qa2 .Если бы не было диэлектриков, то потенциал на больших расстояниях был бы с точностью до первых двух ненулевых членов:xi xjq 1` Di,j 5 .r 2rПри наличии диэлектриков предположим, что потенциал вверхнем полупространстве будет ϕu “ α ¨ ϕ0 , а в нижнем ϕd “β ¨ ϕ0 . Поскольку на границе диэлектриков потенциалы должныбыть равны, получаем α “ β.В случае без диэлектриков интеграл по сфере радиуса R "a вдвое превышает интеграл по полусфере и по теореме Гауссаравен¿¿¿(1)D0 dS “ p´ grad ϕ0 q dS “ ´2 grad ϕ0 dS “ 4πq,ϕ0 “lXl43Решенияа при наличии диэлектриков для сферы радиуса R:űűűűDu dS ` Dd dS “ ´ ε1 α grad ϕ0 dS ´ ε2 β grad ϕ0 dS “ 4πq.XYXYИспользуя выражение (1) и учитывая, что α “ β, находим:α“2.ε1 ` ε2Найденные потенциалы ϕu и ϕd удовлетворяют граничнымусловиям и уранению Лапласа, поэтому по теореме о единственности они и являются решением задачи.Значит, потенциал системы на больших расстояниях, с точностью до первых двух ненулевых членов, равен`q 1xi xj ˘2`D“ϕ “ ϕu ` ϕd “ ε1 `εi,jr2r52“Ответ: ϕ “2ε1 `ε22ε1 `ε2´qr´´qr´qa24r 3qa24r 3¯¨ p3 cos2 θ ´ 1q .¯¨ p3 cos2 θ ´ 1q .Решение задачи 3Будем искать решение в области 2 в видеϕ2 px, yq “ C pa ´ yq x.
Решение в таком видеудовлетворяет условию ϕ2 “ 0 на стенках трубы в области 2 и уравнению ∆ϕ “ 0.Поскольку на границе диэлектриков ϕ1 “ ϕ2(граница задается уравнением y “ x), получаем:ϕ0ϕ0pa ´ xq x “ ϕ2 “ C pa ´ xq x ñ C “ 2 .2aaЭлектрическое поле в области 1:¯´ϕϕ00y;´pa´xq;0,E1 “ ´ grad pϕ1 q “a2a2ϕ1 “442007/2008 Контрольная работа 1а в области 2:¯´ ϕϕ00E2 “ ´ grad pϕ2 q “ ´ 2 pa ´ yq ; 2 x; 0 .aaВектор нормали к границе диэлектриков:ˆ ? ?˙22n“ ´;;0 .2 2Поверхностную плотность свободных зарядов на границе диэлектриков найдем из граничного условия для векторов D:?ˇε2 pn ¨ E2 q ´ ε1 pn ¨ E1 q ˇˇ2ϕ0D2n ´ D1n““pε1 ` ε2 q .σсвоб “ˇ4π4π8πay“xОтвет: ϕ2 px, yq “ϕ0a2pa ´ yq x; σсвоб “?2ϕ08πapε1 ` ε2 q.Решение задачи 4Так как в конденсаторе нет свободных зарядов, тоdiv D “ 0 ñBDx“ 0 ñ Dx “ const .BxПадение напряжения между пластинами конденсатора равноşddşdU “ ´ Edℓ “ ´ D1x dx ´0d2d“ ´ D1x2 ´D2xαε0`ln 1 `αd2˘ş20D2xε0 p1`αxq dx“.Так как вектора D постоянны в первой и второй областях,а на границе D1x “ D2x , то из выражения D “ εE получаемэлектрическое поле для области d2 ď x ď d:E1x pxq “ ´Ud2`45lnp1` αd2 qαε0,Решенияа для области 0 ă x ă d2 :E2x pxq “ ´Ответ: Ex pxq “$’´’’&ε0 p1 ` αxq ¨ε0 p1`αxq¨˜Ud2ln 1` αd2d`2αε0U’,´’’% d ` lnp1` αd2 q2pUˆαε0`qlnp1` αd2 qαε0¸,˙.0 ă x ă d2 ;d2ď x ď d.Решение задачи 5Назовем объем пространства, гдедействует заданное стороннее поле,областью 1, а оставшийся объем вконденсаторе – областью 2.
Далеедля правильного понимания физикирассматриваемого явления необходимо уточнить смысл стороннего поля.Поскольку заданная сторонняя сила, действующая на носителитока, не зависит от распределения заряда в пространстве, то соответствующее ей стороннее поле Eстр не описывается уравнениямиМаксвелла, то есть по своему смыслу не является электростатическим.
Фактическое электростатическое поле (E1 в области 1 иE2 в области 2) формируется зарядами, собранными на пластинахконденсатора (в общем случае - еще и объемным зарядом в среде с проводимостью σ, но мы покажем ниже, что в нашей задачеобъем остается нейтральным). В силу указанной особенности поля Eстр , добавление его к полю E1 в области 1 было бы невернымприменением принципа суперпозиции. По той же причине Eстр невходит в граничное условие на тангенциальные компоненты поляна границе областей 1 и 2.Хотя поле Eстр не является электростатическим, оно влияетна движение зарядов и поэтому входит наряду с E1 в выражение462007/2008 Контрольная работа 1для объемной плотности тока в области 1:j1 “ σpE1 ` Eстр q.В области 2:j2 “ σE2 .Покажем, что объемная плотность заряда в нашей задаче равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
