1611689539-01d5654eb35be51e243b1c26d7dc69cd (826829)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинары по «Основы функционального анализа». Осенний семестр.Семинар № 1: Разложение 2π-периодических функций в ряд Фурье.Разложение только по синусам или только по косинусамНарисуйте графики и найдите ряды Фурье следующих функций, предполагая, что они имеют период 2π:−1, если −π < x < −π/2,1. f (x) = 0,если −π/2 < x < π/2,1,если π/2 < x < π.2. f (x) = x2 ,если − π < x < π.(1,если −π/2 < x < π/2,3.

f (x) =−1, если π/2 < x < 3π/2.4. Найдите период, нарисуйте график и разложите в ряд Фурье функцию f (x) = ln | sin(x/2)|, где −∞ < x < +∞.5. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию, заданную в интервале 0 < x < π формулой f (x) = cos x. Говорят, что полученный ряд Фурьезадаёт «разложение косинуса по синусам кратных дуг». Нарисуйте график суммы полученного ряда Фурье.6. Пусть функция f задана на промежутке 0 < x < π формулойf (x) = eax . Разложите функцию f(а) в ряд Фурье по косинусам кратных дуг;(б) в ряд Фурье по синусам кратных дуг.Нарисуйте графики сумм найденных рядов Фурье.7. Докажите, что если функция f : R → R для всех x ∈ R удовлетворяет условию f (x + π) = f (x) и интегралZπf (x) dx−πсходится, то a2n−1 = b2n−1 = 0 для всех n > 1.8.

Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [0, π/2]функцию на промежуток [−π, π], чтобы её ряд Фурье имел вид∞Xb2n−1 sin(2n − 1)x ?n=11Семинар № 2: Разложение в ряд Фурье функций с произвольнымпериодом. Комплексная форма ряда Фурье. Разложение в ряд Фурьеsin xфункций вида 1−2aa cosx+a21.

Разложите в ряд Фурье функцию f (x) = ex на интервале (0, ln 2).Ответ:∞X2(−1)n − 11πnx+ 2 ln 2.cos222ln 2ln 2ln 2 + n πn=12. Разложите в ряд Фурье в комплексной форме 2π-периодическуюфункцию, заданную условиями f (x) = ex , если x ∈ (−π, π), и f (π) = ch π.Ответ:∞sh π X (−1)n inxe .π −∞ 1 − in3. Докажите, что если 2π-периодическая функция f представлена∞Pсвоим рядом Фурье f (x) =cn einx , то для сдвинутой и комплексноn=−∞сопряжённой функций справедливы равенства∞Xf (x + a) =(cn eina )einx ,a ∈ R,и f¯(x) =−∞∞Xc−n einx .−∞Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от sin x и cos x, удаётся иногда получить с помощью формул Эйлераeix + e−ix= cos x,2eix − e−ix= sin x.2i(∗)Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения (∗) и получившуюся функцию от z = eix разложить в рядпо степеням z, а затем вернуться к переменной с помощью формулы eix =cos x + i sin x.

В результате получится искомое разложение.Пример. Разложим в ряд Фурье функциюf (x) =a sin x,1 − 2a cos x + a2|a| < 1,−π 6 x 6 π.Решение. Согласно формулам Эйлера (∗), имеемcos x =z2 + 1,2zsin x =2z2 − 1,2izгде z = eix . Подставим эти выражения в f (x) и преобразуем получившуюсярациональную функцию переменной z следующим образом:a sin xa(z 2 − 1)111f (x) ==.=−1 − 2a cos x + a22i(1 − az)(z − a)2i 1 − az 1 − a/zПоскольку |az| = |aeix | = |a| < 1 и |a/z| = |ae−ix | = |a| < 1, то дроби11 − az11 − a/zиявляются суммами бесконечных геометрических прогрессий и, в частности,разлагаются в хорошо известные степенные ряды (тут вся суть!). В результатеполучаем ряд Фурье функции f в комплексной форме:∞∞ X∞∞1 X n n X an1 X n inx−inxf (x) =a z −=ae−e=an sin nx.2izn2in=0n=0n=1n=14. Используя комплексную форму ряда Фурье разложите следующиефункции в ряд Фурье, считая, что |a| < 1:(а) f (x) =1 − a2,1 − 2a cos x + a2Ответ: (а) 1 + 2∞P(б) f (x) =∞Pan cos nx; (б) 2n=11 − a cos x.1 − 2a cos x + a2an cos nx.n=05.

Используя комплексную форму ряда Фурье разложите в ряд Фурьефункции (а) f (x) = ln | sin(x/2)|; (б) f (x) = ln | tg(x/2)|.Ответ:(а)− ln 2 −∞Xcos nxn=1(б)−2n,∞Xcos(2n + 1)xn=02n + 1,x 6= 2πk,k ∈ Z;x 6= πk,k ∈ Z.6. Докажите принцип локализации, утверждающий, что если f1 и f2— две 2π-периодические кусочно-гладкие функции, совпадающие в некоторой окрестности точки x0 ∈ R, то ряды Фурье функций f1 и f2 вточке x0 сходятся или расходятся одновременно и притом к одной итой же сумме.3Семинар № 3: Равенство Ляпунова.Суммирование числовых рядов с помощью рядов Фурье1. Докажите принцип локализации, утверждающий, что если f1 и f2— две 2π-периодические кусочно-гладкие функции, совпадающие в некоторой окрестности точки x0 ∈ R, то ряды Фурье функций f1 и f2 вточке x0 сходятся или расходятся одновременно и притом к одной итой же сумме.2. Разложите в ряд Фурье 2π-периодическую функцию f , заданнуюна интервале 0 6 x < 2π формулой f (x) = (π − x)/2.

Используя эторазложение и равенство Ляпунова найдите сумму ряда∞X1.2nn=1Ответ:f (x) =∞Xsin nxnn=1∞X1π2=.2n6n=1, если 0 < x < 2π;3. Используя равенство Ляпунова для функции(1, если |x| < α;f (x) =0, если α < |x| < π,найдите суммы рядовS1 =∞Xsin2 nαn=1n2и S2 =∞Xcos2 nαn=1n22.α(π − α)π − 3πα + 3α2Ответ:S1 =; S2 =.264. Пусть кусочно-гладкая функция f непрерывна на промежутке [0, π].Докажите, что при выполнении условияZπf (x) dx = 00имеет место неравенствоZπ2f (x) dx 6Zπ0042f 0 (x) dx,называемое неравенством Стеклова, и убедитесь что равенство в нёмимеет место лишь для функций вида f (x) = A cos x.5. Пусть кусочно-гладкая функция f непрерывна на промежутке [0, π].Докажите, что при выполнении условий f (0) = f (π) = 0 имеет местонеравенствоZπZπ22f 0 (x) dx,f (x) dx 600также называемое неравенством Стеклова, и убедитесь, что равенствов нём имеет место лишь для функций вида f (x) = B sin x.6.

Докажите, что коэффициенты Фурье an , bn абсолютно интегрируемой на промежутке [−π, π] функции стремятся к нулю при n → ∞.5Семинар № 4: Решение дифференциальных уравненийс помощью рядов Фурье1. Докажите, что коэффициенты Фурье an , bn абсолютно интегрируемой на промежутке [−π, π] функции стремятся к нулю при n → ∞.2. Докажите, что комплексная форма равенства Ляпунова+∞X1|cn |2 =2πn=−∞Zπ|f (x)|2 dx−πсправедлива не только для вещественнозначных функций (как это былодоказано на лекциях), но и для комплекснозначных функций f : R → C.3. Волновое уравнение2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2где a — некоторая постоянная, описывает малые колебания однороднойструны (при этом считается, что положение струны в момент времени tсовпадает с графиком функции u(t, x), а величины u и ∂u/∂x считаютсямалыми).(1) Выведите волновое уравнение из второго закона Ньютона (т.

е. изсоотношения F = ma).Предположим, что струна(а) закреплена в концах x = 0, x = π (т. е. u(t, 0) = u(t, π) = 0 длявсех t > 0),(б) оттянута в начальный момент t = 0 в положение u(0, x) = f (x) и(в) отпущена без начальной скорости (т. е.∂u(0, x) = 0∂tдля всех x ∈ [0, π]).(2) Разлагая функцию u(t, x) в ряд Фурье по синусам, получите длярешения поставленной задачи формулу Даламбераu(t, x) =f (x + at) + f (x − at).2(3) Непосредственной проверкой убедитесь, что формула Даламберадаёт решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям (а)–(в).6Семинар № 5: Представление функции её интегралом ФурьеРазложение на полупрямой1. Волновое уравнение2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2где a — некоторая постоянная, описывает малые колебания однороднойструны (при этом считается, что положение струны в момент времени tсовпадает с графиком функции u(t, x), а величины u и ∂u/∂x считаютсямалыми).(1) Выведите волновое уравнение из второго закона Ньютона (т.

е. изсоотношения F = ma).Предположим, что струна(а) закреплена в концах x = 0, x = π (т. е. u(t, 0) = u(t, π) = 0 длявсех t > 0),(б) оттянута в начальный момент t = 0 в положение u(0, x) = f (x) и(в) отпущена без начальной скорости (т. е.∂u(0, x) = 0∂tдля всех x ∈ [0, π]).(2) Разлагая функцию u(t, x) в ряд Фурье по синусам, получите длярешения поставленной задачи формулу Даламбераu(t, x) =f (x + at) + f (x − at).2(3) Непосредственной проверкой убедитесь, что формула Даламберадаёт решение волнового уравнения, удовлетворяющее условиям (а)–(в).Теорема (о представимости функции в точке своим интегралом Фурье).Пусть f : R → R — кусочно-гладкая абсолютно интегрируемая функция.Тогда для любого x ∈ R справедливо равенство+∞Z1[a(y) cos yx + b(y) sin yx] dy = [f (x + 0) + f (x − 0)],207где1a(y) =π+∞Zf (t) cos ty dtи1b(y) =π−∞+∞Zf (t) sin ty dt.−∞Установите формулы, считая параметр2.Z+∞ π/2,sin ayπ/4,cos yx dy =y0,0a положительнымесли |x| < a,если |x| = a,если |x| > a.3.Z+∞1 − cos aycos yx dy =y2π(a − |x|)/2, если |x| 6 a,0,если |x| > a.04.Z+∞0( πsin πysin x, если |x| 6 π,sin yx dy =221−y0,если |x| > π.Представьте интегралом Фурье следующие функции, продолжив их(а) чётным и (б) нечётным образом на интервал (−∞, 0).5.sin x, если 0 6 x 6 π,f (x) =0,если x > π.R +∞R +∞ πyπyОтвет: (а) f (x) = π2 0 1+coscos xy dy; (б) f (x) = π2 0 sinsin xy dy.1−y 21−y 26.1, если 0 6 x 6 1,f (x) =0, если x > 1.RR +∞+∞yОтвет: (а) f (x) = π2 0 siny y cos xy dy; (б) f (x) = π2 0 1−cossin xy dy.y8Семинар № 6: Общие свойтва преобразования Фурье:сдвиг по фазе, сдвиг по аргументу, производная отпреобразования Фурье и преобразование Фурье от производной.Нахождение преобразования Фурье конкретных функцийВ задачах 1–4 решите интегральные уравнения, считая что x изменяется в указанных пределах.1.Z+∞1,x > 0.f (y) cos xy dy =1 + x20Ответ: f (y) = e−y , y > 0.2.Z+∞f (y) cos xy dy =1,1 + x2x ∈ R.1,1 + x2x > 0.0Ответ: f (y) = e−y , y > 0.3.Z+∞f (y) sin xy dy =0R +∞Ответ: f (y) = (2/π) 0 (1 + x2 )−1 sin xy dx; этот интеграл не берётсяв элементарных функциях, но его можнопреобразовать к виду f (y) =R +∞−yy[e Ei (y) − e Ei (−y)]/π, где Ei (y) = − −y e−x /x dx — так называемаяинтегральная экспонента.4.Z+∞1,x ∈ R.f (y) sin xy dy =1 + x20Ответ: Нет решений.∨∨5.

Докажите, что fb(x) =f (−x) и f (x) = fb(−x).6. Докажите линейность прямого и обратного преобразований Фурье,т. е. установите, что для любых a, b ∈ C справедливы равенстваF+ [af + bg] = aF+ [f ] + bF+ [g]и9F− [af + bg] = aF− [f ] + bF− [g].7. Докажите, что формулы обращения справедливы для комплекснозначных функций, а не только для вещественно-значных, как было доказано на лекции.В задачах 8–11 докажите равенства и найдите их аналоги для обратного преобразования Фурье, считая a вещественным числом, а f : R → C— непрерывной абсолютно интегрируемой функцией,8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы