1611689539-01d5654eb35be51e243b1c26d7dc69cd (826829), страница 2
Текст из файла (страница 2)
F+ [eiax f (x)](y) = F+ [f ](y − a), т. е. сдвиг по фазе у функции приводит к сдвигу по аргументу у её преобразования Фурье.Ответ: F− [eiax f (x)](y) = F− [f ](y + a).9. F+ [f (x − a)](y) = e−iay F+ [f ](y), т. е. сдвиг по аргументу у функцииприводит к сдвигу по фазе у её преобразования Фурье.Ответ: F− [f (x − a)](y) = eiay F− [f ](y).10. F+ [f (x) cos ax](y) = [fb(y − a) + fb(y + a)]/2.Ответ: Формула не изменяется.11. F+ [f (x) sin ax](y) = [fb(y − a) − fb(y + a)]/(2i).∨∨Ответ: F− [f (x) sin ax](y) = [f (y + a)− f (y − a)]/(2i).12. Пусть функция f и её первая производная непрерывны и абсолютно интегрируемы на R.
Докажите равенства dfdf(y) = (iy)F+ [f ](y)иF−(y) = (−iy)F− [f ](y),F+dxdxозначающие, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную.13. Пусть функция f непрерывна R и пусть, кроме того, функцииf (x) и xf (x) абсолютно интегрируемы на R. Докажите, что функции fb∨и f дифференцируемы, причём∨dfb(y) = −iF+ [xf (x)](y)dyиdf(y) = iF− [xf (x)](y).dyЭти равенства означают, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию умножения на независимуюпеременную в операцию дифференцирования.14.
Найдите прямое и обратное преобразования Фурье функции∨1, если |x| 6 1,f (x) =Ответ: fb(y) =f (y) = 21/2 π −1/2 y −1 sin y.0, если |x| > 1.10Семинар № 7: Нахождение преобразования Фурье конкретных функцийНа этом семинаре полезно использовать так называемые «аппаратныесвойства преобразования Фурье»:F± [eiax f (x)](y) = F± [f (x)](y ∓ a), означающие, что сдвиг по фазе уфункции приводит к сдвигу по аргументу у её преобразования Фурье;F± [f (x − a)](y) = e∓iax F± [f (x)](y), означающие, что сдвиг по аргументу у функцииприводит к сдвигу по фазе у её преобразования Фурье;dfF± dx (y) = (±iy)F± [f (x)](y), означающие, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную;dF± [xf (x)](y) = (±i) dyF± [f (x)](y), означающие, что преобразованиеФурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию умножения на независимую переменную в операцию дифференцирования;F± [f (ax)](y) = a−1 F± [f (x)](y/a), a > 0, называемые «правилом изменения масштаба».В задачах 1–10 найдите прямое и обратное преобразования Фурьеуказанных функций.1.√∨21, если |x| 6 1,f (x) =Ответ: fb(y) =f (y) = √ sin y.0, если |x| > 1.y π2.x, если |x| 6 1,0, если |x| > 1.|x|, если |x| 6 1,0, если |x| > 1.f (x) =√i2Ответ: fb(y) = − f (y) = 2 √ (y cos y−sin y).y π∨3.f (x) =∨2Ответ: fb(y) =f (−y) = e−(y−a) /2 .∨2225.
f (x) = e−x /2 cos ax, a ∈ R. Ответ: fb(y) =f (y) = e−(y +a )/2 ch ay.∨2226. f (x) = e−x /2 sin ax, a ∈ R. Ответ: fb(y)=− f (y)=−ie−(y +a )/2 sh ay.q∨a7. f (x) = e−a|x| , a > 0. Ответ: fb(y) =f (y) = π2 a2 +y2.4. f (x) = e−x2 /2√2Ответ: fb(y) =f (y) = 2 √ (cos y−1+y sin y).y π∨eiax , a ∈ R.11∨√ay8. f (x) = xe−a|x| , a > 0. Ответ: fb(y) = − f (y) = −i 2√π2 (y2 +a2 )2 .√∨2d9. f (x) = dxxe−|x| . Ответ: fb(y) =f (y) = 2√π2 (y2y+1)2 .10.r∨2 sin 2y − sin y1, если |x| ∈ [1, 2],.f (x) =Ответ: fb(y) =f (y) =0, в противном случае.πy11. Докажите, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемойнепрерывной функции f : R → C является вещественнозначным если итолько если равенство f (−x) = f (x) справедливо для всех x ∈ R.12.
Пусть f : R → C — абсолютно интегрируемая непрерывная функ∨ция. Докажите, чтоfb =f если и только если f — чётная функция.13. Проверьте, что функция e−a|x| (a > 0), как и все её производные, определённые при x 6= 0, убывает на бесконечности быстрее любойстепени переменной x и, тем не менее, эта функция не является быстроубывающей.12Семинар № 8: Свёртка. Формула ПуассонаСвёрткой двух функций f, g : Rn → C называется новая функцияf ∗ g : Rn → C, задаваемая формулойZ(f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy.(1)Rn1.
Проверьте, что для любых быстро убывающих функций f, g свёртка f ∗ g определена.В задачах 2–5 вычислите свёртку, считая, что H — функция Хевисайда, т. е. что H(x) = 0 для x < 0 и H(x) = 1 для x > 0.2. H(x) ∗ H(x).Ответ: xH(x).3. H(x) ∗ H(1 + x).Ответ: (x + 1)H(x + 1).224. H(1 − x ) ∗ H(1 − x ).Ответ: (2√ − |x|)H(2 − |x|).2−ax2−ax25. e∗ (xe), a > 0.Ответ: 2√π2a xe−ax /2 .Докажите свойства свёртки быстро убывающих функций, указанныев задачах 6–8.6. f ∗ g = g ∗ f .7. Пусть x0 ∈ Rn . Оператором сдвига в S(Rn ) называют отображение Tx0 , сопоставляющее каждой быстро убывающей функции f новуюфункцию Tx0 f , определяемую формулой (Tx0 f )(x) = f (x − x0 ).
Докажите, что Tx0 (f ∗ g) = (Tx0 f ) ∗ g = f ∗ (Tx0 g).8. Dα (f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g = f ∗ (Dα g) для любого мультииндекса α.На следующей лекции вы узнаете, что преобразование Фурье переводит (с точностью до постоянного множителя) свёртку быстро убывающих функций в умножение и наоборот, а именно, что справедливы формулыF± [f ∗ g] = (2π)n/2 F± [f ] · F± [g] и F± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g].
(2)Докажите равенства, указанные в задачах 9–10, двумя способами: спомощью определения (1) и с помощью формул (2).229. fa ∗ fb = f√a2 +b2 , если fa (x) = a√12π e−x /2a , a > 0, b > 0.10. fa ∗ fb = fa+b , если fa (x) = π(a2a+x2 ) , a > 0, b > 0.Теорема (формула Пуассона). Если f : R → C — быстро убывающаяфункция, то+∞+∞XX√2πf (2πn) =fb(n).n=−∞n=−∞1311. Докажите следующее соотношение, называемое θ-формулой и играющее важную роль в теории эллиптических функций и теории теплопроводности+∞Xn=−∞e−tn2r=+∞π X − π2 n2e tt n=−∞(t > 0).12. С помощью формулы Пуассона вычислите сумму ряда+∞X1.n 2 + a2n=−∞Обратите внимание, что участвующая в вычислениях функция не является быстро убывающей. Как обосновать вычисления?Ответ:π(ea/2 + e−a/2 )πa= cth .a/2−a/2a(e − e)a214Семинар № 8: Свёртка.
Формула Пуассона (продолжение)Вы уже знаете, что преобразование Фурье переводит (с точностью допостоянного множителя) свёртку быстро убывающих функций в умножение и наоборот, а именно, что справедливы формулыF± [f ∗ g] = (2π)n/2 F± [f ] · F± [g] и F± [f · g] = (2π)−n/2 F± [f ] ∗ F± [g]. (2)Докажите равенства, указанные в задачах 9–10, двумя способами: спомощью определения (1) и с помощью формул (2).229. fa ∗ fb = f√a2 +b2 , если fa (x) = a√12π e−x /2a , a > 0, b > 0.10.
fa ∗ fb = fa+b , если fa (x) = π(a2a+x2 ) , a > 0, b > 0.Теорема (формула Пуассона). Если f : R → C — быстро убывающаяфункция, то+∞+∞XX√fb(n).f (2πn) =2πn=−∞n=−∞11. Докажите следующее соотношение, называемое θ-формулой и играющее важную роль в теории эллиптических функций и теории теплопроводности+∞Xn=−∞e−tn2r=+∞π X − π2 n2e tt n=−∞(t > 0).12. С помощью формулы Пуассона вычислите сумму ряда+∞Xn=−∞n21.+ a2Обратите внимание, что участвующая в вычислениях функция не является быстро убывающей.
Как обосновать вычисления?Ответ:π(ea/2 + e−a/2 )πa= cth .a/2−a/2a(e − e)a215Семинар № 9: Применение преобразования Фурьек решению уравнения Лапласа в полуплоскости1. Найдите функцию u : R2 → R, удовлетворяющую одномерномуволновому уравнению2∂ 2u2∂ u=a∂t2∂x2и начальным условиям∂u(0, x) = g(x).∂tRtОтвет: u(t, x) = 21 [f (x − at) + f (x + at)] + 21 0 [g(x − az) + g(x + az)] dz.u(0, x) = f (x),2. Найдите решение двумерного уравнения Лапласа∂ 2f∂ 2f+=0∂x2∂y 2в полуплоскости y > 0, подчинённое условияма) f (x, 0) = g(x) для всех x ∈ R;б) функция x 7→ f (x, y) является быстро убывающей для каждогоy > 0;в) f (x, y) → 0 при y → +∞ для каждого x ∈ R.Указание: Убедитесь, что прямое преобразование Фурье fb(z, y) функции f по переменной x имеет вид gb(z)e−y|z| .Zyg(z)1 +∞Ответ: f (x, y) =dz.π −∞ (x − z)2 + y 216Семинар № 10: Основные и обобщённые функции.Сходимость и дифференцирование обобщённых функцийДокажите предельные соотношения в D0 (R), указанные в задачах 1–5.1.x21 −√ e 4ε → δ(x)приε → +0.2 πε2.3.4.5.1ε→ ±δ(x)2π x + ε2приε → ±0.xεsin2 → ±δ(x)2πxεприε → ±0.x1sin → ±δ(x)приε → ±0.πxεfε → δ(x) при ε → ±0, где 1 , если |x| 6 ε,fε (x) = 2ε0,если |x| > ε,6.
Найдите пределы в D0 (R) последовательностей функций f1 , f2 , . . . ,fk , . . . и F1 , F2 , . . . , Fk , . . . , еслиk2 2fk (x) = √ e−k xπZxиFk (x) =fk (x) dx.−∞Ответ: δ-функция и функция Хевисайда соответственно.7. Трактуя несобственный интеграл как предел в D0 (R) соответствующих собственных интегралов, докажите равенство1πZ+∞cos xy dy = δ(x).017Найдите все производные функций, указанных в задачах 8–11.8. f (x) = H(x). Ответ: f (k) (x) = δ (k−1) (x), k > 1.9. f (x) = |x|.
Ответ: f 0 (x) = sign (x) и f (k) (x) = 2δ (k−2) (x) при k > 2.10. f (x) = xH(x).Ответ: f 0 (x) = H(x) и f (k) (x) = δ (k−2) (x) при k > 2.11. f (x) = H(x) sin x. Ответ: f 0 (x) = H(x) cos x иPj−1 (k−2j)f (k) (x) = [k/2]δ(x) + H(x)(sin x)(j) при k > 2, где [k/2] —j=1 (−1)целая часть числа k/2.12. Докажите равенство00| sin x| + | sin x| = 2+∞Xj=−∞18δ(x − πj).Семинар № 11: Дифференцирование обобщённых функций1. Докажите, что обобщённые функции δ, δ 0 , δ 00 , . .
. , δ (k) линейно независимы над полем комплексных чисел.2. Докажите равенство1dln |x| = P .dxxВ задачах 3–6 докажите указанные там равенства в D0 (R2 ).3.∂ 2F(x, y) = δ(x, y),∂x∂yгде F (x, y) = H(x)H(y) является произведением функций Хевисайда.Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением дифференциального оператора ∂ 2 /∂x∂y.4. p 2∂2∂+ln x2 + y 2 = 2πδ(x, y).∂x2 ∂y 2Другими словами, докажите, что функция (2π)−1 ln r является фундаментальным решением двумерного оператора Лапласа.5.∂ 2F∂ 2F−= δ(x − 1, y) − δ(x, y − 1) + δ(x + 1, y) − δ(x, y + 1),∂x2∂y 2где F (x, y) = 1, если |x| + |y| 6 1 и F (x, y) = 0 в противном случае.6.∂ 2FH(t)∂F2−= δ(t, x), где F (x, y) = √ e−x /4t .2∂t∂x2 πtДругими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением одномерного оператора теплопроводности ∂/∂t − ∂ 2 /∂x2 .19Семинар № 12: Применение теоремы о фундаментальном решенииобыкновенного дифференциального оператора. Умножение обобщённыхфункций на бесконечно дифференцируемые.
Линейная и нелинейнаязамены переменных в обобщённых функцияхТеорема. Пусть L =kPj=0jdak−j (x) dxj — обыкновенный линейный дифферен-циальный оператор в R, причём a0 (0) = 1. Пусть функция f0 : R → R ∈ C k (R)является «классическим» решением однородного уравнения Lf = 0, удовле(k−2)(k−1)творяющим условиям f0 (0) = f00 (0) = · · · = f0(0) = 0 и f0(0) = 1.Тогда регулярная обобщённая функция E = H(x)f0 (x) является фундаментальным решением оператора L, т. е.
удовлетворяет уравнению LE = δ.В задачах 1–2 найдите фундаментальные решения указанных обыкновенных дифференциальных операторов.d− λ. Ответ: H(x)eλx .1. L = dx2d22. L = dxОтвет: H(x)(sin λx)/λ.2 + λ .3. Докажите, что если функция a бесконечно дифференцируема в R,то для любой обобщённой функции F ∈ D0 (R) справедлива формулаЛейбница для дифференцирования произведения aF : (aF )0 = a0 F + aF 0 .4. Докажите, что обобщённая функция F (x) = c1 + c2 H(x) + ln|x|является решением в D0 (R) уравнения xF 0 = 1 при произвольном выборепостоянных c1 , c2 .1= 1.5.
Докажите равенства x · x±i006. Докажите равенство δ (−x) = −δ 0 (x).7. Для любой обобщённой функции F ∈ D0 (R) докажите равенствоF 0 (x) = limh→0F (x + h) − F (x).hСчитая a вещественным числом, отличным от нуля, докажите в D0 (R)равенства, указанные в задачах 8–11.δ(x + h) − δ(x − h)8. lim= δ 0 (x).h→02hδ(x + 2h) + δ(x − 2h) − 2δ(x)9. lim= δ 00 (x).h→04h2δ(x)δ(x − a) + δ(x + a)10. δ(ax) =.11. δ(x2 − a2 ) =.|a|2|a|20Семинар № 13: Свёртка обобщённых функций.Преобразование Фурье обобщённых функций медленного ростаВ задачах 1–5 вычислите свёртки в D0 (R).1. δ(x − a) ∗ F (x), где F ∈ D0 (R).Ответ: F (x − a).2. δ(x − a) ∗ δ(x − b).Ответ: δ(x − a − b).3. δ (m) ∗ F , где F ∈ D0 (R).Ответ: F (m) .4. H ∗ H.Ответ: xH(x).5. H(x) ∗ (xH(x)).Ответ: x3 H(x)/3.В задачах 6–9 докажите указанные там равенства в S0 (Rn ).6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
