1611689539-01d5654eb35be51e243b1c26d7dc69cd (826829), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

F± [δ(x)] = (2π)−n/2 .7. F± [1] = (2π)n/2 δ(x).8. F± [δ(x − x0 )](y) = (2π)−n/2 e∓i(x0 ,y) .9. F± [ei(x0 ,x) ](y) = (2π)n/2 δ(y − x0 ).В задачах 10–13 вычислите прямое и обратное преобразования Фурьеуказанных там регулярных обобщённых функций.1.10. H(x)e−ax , где a > 0.Ответ: √2π(a±iy)11. H(x).Указание: Воспользуйтесь непрерывностью преобразования Фурье, результатами предыдущейСохоцкого.p πзадачи и формуламиi√i P 1 и F− [H(x)](y) ==δ(y)−Ответ: F+ [H(x)](y) = − √2π(y−i0)22π ypπi1i√√= 2 δ(y) + 2π P y .2π(y+i0)12. sign x. Указание: Воспользуйтесь равенством sign x = 2H(x) − 1.Ответ: F± [sign x](y) = ∓ π2 P y1 .13. |x|.Указание: Воспользуйтесь равенством |x| q= x sign x и реОтвет: F± [|x|](y) =зультатами предыдущей задачи.212 dP1.π dy yСеминар № 14: Простейшие свойства сходимости в нормированномпространстве.

Парадоксальные свойства бесконечномерныхгильбертовых пространств. Поляризационые тождества.Вычисление углов в гильбертовом пространстве. Кривая Винера1. Докажите, что в нормированном линейном пространстве всякаясходящаяся последовательность фундаментальна.2. Докажите, что в нормированном линейном пространстве всякаясходящаяся последовательность ограничена. [Напоминание: Ограниченным называется множество, содержащееся в шаре некоторого конечногорадиуса.]3. Докажите, что в нормированном линейном пространстве всякаяпоследовательность имеет не более одного предела.4.

Докажите, что шар единичного радиуса в l2 содержит √бесконечномного попарно непересекающихся открытых шаров радиуса 2/4.5. Докажите, что в унитарном пространстве справедливо равенствоZ 2π1kx + eiθ yk2 eiθ dθ.(x, y) =2π 06. Докажите, что в унитарном пространстве справедливо равенствоN1 X(x, y) =kx + e2πik/N yk2 e2πik/NN k=1при N > 3.7. Найдите углы треугольника, образованного векторами x1 (t) = 0,x2 (t) = sin πt, x3 (t) = cos πt в евклидовом пространстве L2 [−1, 1].8.

Найдите углы треугольника, образованного векторами x1 (t) = 0,x2 (t) = t, x3 (t) = t2 в евклидовом пространстве L2 [−1, 1].9. Следуя Норберту Винеру, определим в пространстве L2 [0, +∞)кривую R 3 α 7→ fα ∈ L2 [0, +∞), где(1, если 0 6 t 6 α;fα (t) =0, если t > α,возникающую при изучении броуновского движения. Найдите углы между двумя хордами кривой fα , если:а) хорды имеют общий конец и направлены в разные стороны;б) хорды имеют общий конец и направлены в одну сторону.22Семинар № 15: Равенство параллелограмма. Процессортогонализации Грама – Шмидта. Задача о наилучшем приближенииЛемма (равенство параллелограмма). Если норма в линейном пространстве L порождена скалярным произведением, то для любых x, y ∈ L выполняется равенствоkx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ,называемое равенством параллелограмма.1. Докажите, что в пространстве C[a, b] нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой этого пространства.Теорема.

Если x1 , x2 , . . . , xn , . . . — счётная система линейно независимых векторовв линейном пространстве со скалярным произведением L, то новые последовательностиy1 = x1z1 = y1 /ky1 ky2 = x2 − (x2 , z1 )z1z2 = y2 /ky2 k............n−1Pyn = xn −(xn , zk )zkzn = yn /kyn kk=1............обладают следующими свойствами:1) система z1 , z2 , . . . , zn , . .

. ортонормирована, т. е. любые два её вектора ортогональны и каждый вектор имеет единичную длину;2) для любого n ∈ N линейная оболочка векторов z1 , z2 , . . . , zn совпадает с линейной оболочкой векторов x1 , x2 , . . . , xn .2. Применяя процесс ортогонализации Грама — Шмидта, ортогонализуйте мономы 1, x, и x2 в следующих пространствах:а) пространстве функций f : [0, +∞) → R со скалярным произведениемZ+∞(f, g) =f (x)g(x)e−x dx;0б) пространстве функций f : R → R со скалярным произведениемZ+∞2(f, g) =f (x)g(x)e−x dx.−∞Определение. Пусть L — линейное пространство со скалярным произведением, S— подпространство в нём, и x ∈ L. Говорят, что вектор y ∈ S является вектором23наилучшего приближения для вектора x с помощью векторов подпространства S,если для любого вектора z ∈ S выполняется неравенство kx − yk 6 kx − zk.Теорема.

Пусть S — конечномерное подпространство в линейном пространстве соскалярным произведением L и пусть x1 , x2 , . . . , xn — ортонормированный базис в S.Тогда для любого вектора x ∈ L векторy=nXλk xkk=1с коэффициентами, вычисленными по формуле λk = (x, xk ), является вектором наилучшего приближения для вектора x с помощью векторов подпространства S.3. Среди всех функций подпространства, натянутого на мономы 1,x и x2 , найдите ближайшую (т.

е. вектор наилучшего приближения) кфункции f (x) = exа) в пространстве L2 [−1, 1];б) в пространстве C[−1, 1].24.

Характеристики

Список файлов курсовой работы