1611689517-d822b89dc7e4945361440dde02ce9424 (826822)
Текст из файла
ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГОАНАЛИЗАЛектор — Виктор Алексеевич АлександровПрограмма курса лекций(3-й семестр, лекции 32 ч., семинары 32 ч., экз.)1. Ряды ФурьеПонятие ряда Фурье 2π-периодической функции и задача оразложении периодической функции в ряд Фурье. Ряд Фурьефункции с произвольным периодом. Разложения только по синусам или только по косинусам. Лемма Римана — Лебега дляконечного промежутка. Ядро Дирихле.
Теорема о представимости функции в точке своим рядом Фурье. Разложение функцииf (x) = π4 sign x, x ∈ (−π, π) в ряд Фурье и применение получившегося ряда Фурье к суммированию числового ряда. Комплексная форма ряда Фурье. Теоремы о дифференцировании иинтегрировании рядов Фурье. Задача о наилучшем приближении тригонометрическими многочленами и неравенство Бесселядля тригонометрических рядов. Равномерная сходимость рядовФурье.
Явление Гиббса. Равенство Ляпунова, обобщённое равенство Ляпунова и равенство Ляпунова в комплексной форме.Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении тригонометрическими и алгебраическими многочленами.Литература: основная — 4, 5; дополнительная — 9, 10, 11,12.2. Преобразование ФурьеИнтеграл Фурье как предельная форма ряда Фурье. Теоремао представимости функции в точке её интегралом Фурье. Представление функции интегралом Фурье на полупрямой. Прямоеи обратное синус- и косинус-преобразования Фурье.
Вычислениесинус- и косинус-преобразования Фурье функции f (x) = e−ax ,x > 0, a > 0. Представление функции f (x) = e−ax её интегралом Фурье и вычисление интегралов Лапласа. Комплексная12форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье и формула обращения. Вычисление прямого и обратного преобразования Фу2рье от функции e−ax , x ∈ R, a > 0. Быстро убывающие функции: определение, примеры и основные свойства. Преобразование Фурье быстро убывающих функций: определение и основные свойства.
Равенство Парсеваля. Свёртка быстро убывающих функций: определение и свойства. Формула Пуассона. Теорема Котельникова — Шеннона и её применение в теории цифровой передачи информации.Литература: основная — 3, 6; дополнительная — 9, 10, 12.3. Преобразование ЛапласаОригиналы и изображения. Определение и простейшие свойства преобразования Лапласа: линейность, теорема подобия, смещение изображения. Преобразование Лапласа производных иинтегралов. Дифференцирование и интегрирование изображений. Применение преобразования Лапласа к решению начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.Дальнейшие свойства преобразования Лапласа: аналитичностьизображения, формула обращения, запаздывание оригинала, свёртка оригиналов, теорема Бореля об умножении изображений, формула Дюамеля.Литература: основная — 2; дополнительная — 10.4.
Обобщённые функцииПространства основных и обобщённых функций. Примеры обобщённых функций: регулярные обобщённые функции, δ-функции,1P x1 , x±i0. Формулы Сохоцкого. Сходимость обобщённых функций: наводящие соображения и определение. Дельта-образныепоследовательности.
Теорема о пределе дельта-образной последовательности. Плотность тела, вся масса которого сосредоточена в одной точке. Линейная замена переменной в обобщённойфункции: наводящие соображения, определение, вычисление выражений δ(−x) и δ(x − x0 ). Нелинейная замена переменной в одномерной дельта-функции. Умножение обобщённых функций набесконечно дифференцируемые: наводящие соображения, определение, вычисление выражений a(x)δ(x) и xP x1 .
Невозможностьумножения двух произвольных обобщённых функций. Дифференцирование обобщённых функций: наводящие соображения,3определение, примеры. Плотность заряда электрического диполя. Теорема о связи классической и обобщённой производныхдля кусочно-гладкой функции. Вычисление фундаментальногорешения трёхмерного оператора Лапласа. Свёртка обобщённыхфункций: наводящие соображения, определение, свойства, примеры вычисления.
Пример, показывающий, что свёртка не ассоциативна. Решение дифференциальных уравнений в пространстве обобщённых функций. Теорема о фундаментальном решении линейного обыкновенного дифференциального оператора.Преобразование Фурье обобщённых функций медленного роста:наводящие соображения, определение, свойства, примеры вычисления.Литература: основная — 1, 7; дополнительная — 8, 12.ЛитератураУчебные и методические пособия, изданные в НГУ, доступныв электронном виде на сайте кафедры http://www.phys.nsu.ru/ok03/1. Александров В. А. Обобщённые функции: Учеб.
пособие. Новосибирск: НГУ, 2005.2 Александров В. А. Преобразование Лапласа. Методическиеуказания. Новосибирск: НГУ, 1992.3. Александров В. А. Преобразование Фурье: Учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 2002.4. Александров В. А. Ряды Фурье: Метод. пособие. Новосибирск: НГУ, 1996.5. Бельхеева Р. К. Ряды Фурье в примерах и задачах: Учебноепособие.
Новосибирск: НГУ, 2011.6. Бельхеева Р. К. Преобразование Фурье в примерах и задачах:Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2014.7. Бельхеева Р. К. Обобщённые функции в примерах и задачах:Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 2014.8. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1979.9. Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Т. 2.10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.
Элементы теории функцийи функционального анализа. М.: Наука, 1972.411. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 3.12. Шварц Л. Математические методы для физических наук.М.: Мир, 1965.План семинаров1-й семинар. — Разложение 2π-периодических функций в рядФурье. Суммирование числовых рядов с помощью рядов Фурье.2-й семинар. — Разложение только по синусам или толькопо косинусам. Симметрии графика 2π-периодической функциии свойства её коэффициентов Фурье.3-й семинар. — Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом.4-й семинар. — Комплексная форма ряда Фурье.
Разложениев ряд Фурье функций видаa sin x,1 − 2a cos x + a2|a| < 1,без вычисления интегралов.5-й семинар. — Равенство Ляпунова. Суммирование числовых рядов с помощью равенства Ляпунова.6-й семинар. — Представление функции её интегралом Фурье. Разложение на полупрямой.7-й семинар.— Преобразование Фурье и его общие свойства:сдвиг по фазе, сдвиг по аргументу, производная от преобразования Фурье и преобразование Фурье от производной. Нахождениепреобразования Фурье конкретных функций.8-й семинар. — Нахождение преобразования Фурье конкретных функций.9-й семинар. — Свёртка. Формула Пуассона и её применениек суммированию числовых рядов.10-й семинар.
— Оригиналы и изображения, определение преобразования Лапласа. Нахождение преобразования Лапласа конкретных функций и помощью определения. Теоремы подобия исмещения, дифференцирование и интегрирование изображенийи оригиналов.11-й семинар. — Нахождение преобразования Лапласа конкретных функций с помощью теорем подобия и смещения, дифференцирования и интегрирования изображений и оригиналов.5Решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.12-й семинар.
— Запаздывание и свёртка оригиналов. Теорема Бореля и формула Дюамеля.13-й семинар. — Основные и обобщённые функции. Сходимость обобщённых функций.14-й семинар. — Дифференцирование обобщённых функций.Применение теоремы о фундаментальном решении обыкновенного дифференциального оператора.15-й семинар. — Умножение обобщённых функций на бесконечно дифференцируемые. Линейная и нелинейная замены переменных в обобщённых функциях. Свёртка обобщённых функций.16-й семинар.
— Обобщённые функции медленного роста ипреобразование Фурье от них. Повторный разбор наиболее трудных вопросов из предыдущих семинаров.Задания по основамфункционального анализаЗадание 1 (сдать до 10 октября)Ряды Фурье1. Нарисуйте график и найдите ряд Фурье следующей функции,предполагая, что она имеет период 2π:(1, если −π/2 < x < π/2,f (x) =0, если π/2 < x < 3π/2.2. Разложите в ряд Фурье по косинусам функцию, заданную винтервале 0 < x < π формулой f (x) = sin x.
Нарисуйте графиксуммы полученного ряда Фурье.3. Как следует продолжить интегрируемую функцию f : [0, π/2] →R до 2π-периодической функции, чтобы ряд Фурье последней∞Pимел видb2k sin 2kx ?k=04. Разложите функцию f (x) = sin(πx/2) в ряд Фурье на промежутке [−1, 1].65. Разложите в ряд Фурье в комплексной форме 2π-периодическуюфункцию, заданную в интервале −π < x < π формулой f (x) =e−x .6. Пусть S(x) обозначает сумму ряда Фурье, полученного в предыдущей задаче, вычисленную в точке x.
Найдите S(3π). Ответобоснуйте.7. Представьте функцию ln(1 − 2a cos x + a2 ) в виде комплексного, а затем в виде вещественного ряда Фурье. Здесь a — вещественный параметр, такой что |a| < 1.8. Напишите равенство Ляпунова для функции f (x) = cos αx,x ∈ [−π, π].9. Пусть кусочно-гладкая функция f непрерывна в промежутке[0, π]. Докажите, что при выполнении условияZπf (x) dx = 00имеет место неравенствоZπZπ2[f (x)] dx 6 [f 0 (x)]2 dx,00называемое неравенством Стеклова. Объясните почему неравенство Стеклова превращается в равенство лишь для функцийвида f (x) = A cos x, где A — произвольное вещественное число.Задание 2 (сдать до 20 ноября)Преобразование Фурье10. Докажите формулуZ+∞cos(πy/2)(π/2) cos x, если |x| 6 π/2,cos yx dy =20,если |x| > π/2.1−y011. Представьте интегралом Фурье функциюx, если 0 6 x 6 1,f (x) =0, если x > 1,продолжив её чётным образом на интервал (−∞, 0).12.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
