1611689517-d822b89dc7e4945361440dde02ce9424 (826822), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Представьте интегралом Фурье функцию из предыдущей задачи, продолжив её нечётным образом на интервал (−∞, 0).713. Пусть f : R → C и её первая производная непрерывны иабсолютно интегрируемы на R. Докажите, равенствоdfF+(x) (y) = (iy)F+ [f (x)](y),dxт. е. докажите, что преобразование Фурье переводит (с точностью до числового множителя) операцию дифференцированияв операцию умножения на независимую переменную.14.
Найдите прямое и обратное преобразования Фурье функции 2x , если |x| 6 1,f (x) =0, если |x| > 1.15. Найдите прямое и обратное преобразования Фурье функцииf (x) = e−x2 /2eiax ,где a — произвольное вещественное число.16. Вычислите свёртку e−|x| ∗ e−|x| .17. С помощью формулы Пуассона докажите следующее соотношение, называемое θ-формулой и играющее важную роль втеории эллиптических функций и теории теплопроводностиr +∞+∞Xπ X − π 2 n2−tn2e t .e=tn=−∞n=−∞Здесь t — вещественный положительный параметр.18. Рассмотрим быстро убывающую функцию ϕ (x) вещественной переменной x и её преобразование Фурье ψ (p), которое, каквы знаете, тоже быстро убывает с ростом модуля p.
Будем считать, что функции ϕ (x) и ψ (p) имеют одинаковую L2 -норму; более того, будем считать, что она равна единице, т. е. допустим,чтоZ+∞Z+∞2|ϕ (x)| dx =|ψ (p)|2 dp = 1.−∞−∞В таком случае мы вправе считать функции |ϕ (x)|2 и |ψ (p)|2плотностями распределения вероятностей случайных величин xи p. В курсе квантовой механики будет показано, что эти случайные величины, в свою очередь, можно интерпретировать, каккоординату и импульс «одномерной» квантовой частицы.8ИнтегралыZ+∞Z+∞2x0 =x |ϕ (x)| dx и p0 =p |ψ(p)|2 dp−∞−∞имеют смысл средних значений случайных величин x и p призаданных их распределениях, а степень «разброса» этих величин около их средних значений характеризуют их среднеквадратические отклонения — положительные числа σ (ϕ) и σ (ψ),определяемые равенствамиZ+∞Z+∞σ 2 (ϕ) =(x−x0 )2 |ϕ (x)|2 dx и σ 2 (ψ) =(p−p0 )2 |ψ(p)|2 dp.−∞−∞Ваша задача — доказать одно из самых красивых и удивительных неравенств, какие можно встретить в математике и котороебыло открыто физиком:1σ (ϕ) σ (ψ) > .2Это неравенство представляет собой строгое математическое выражение знаменитого принципа неопределённости Гейзенберга,согласно которому нельзя одновременно измерить и координату,и импульс квантовой частицы — уточняя одно, мы непременнотеряем информацию о другом.Доказательство проведите по следующей схеме.
Наряду с функциями ϕ (x) и ψ (p) рассмотрим ещё одну пару функцийΦ (x) = e−ip0 (x+x0 /2) ϕ (x + x0 ) и Ψ (p) = eix0 (p+p0 /2) ψ (p + p0 ).Иногда говорят, что Φ (x) и Ψ (p) получены из φ (x) и ψ (p) «сдвигом и нормировкой». Далее действуйте так:(a) Покажите, что Ψ (p) служит преобразованием Фурье функции Φ (x).(б) Докажите, что новые функции имеют те же L2 -нормы, чтои прежние, т.
е. докажите, чтоZ+∞Z+∞|Φ (x)|2 dx =|Ψ (p)|2 dp = 1.−∞−∞9(в) Докажите, что относительно новых функций средние значения случайных величин x и p равны нулю, т. е. докажите, чтоZ+∞Z+∞x |Φ (x)|2 dx =p |Ψ(p)|2 dp = 0.−∞−∞(г) Убедитесь, что произведённые нами «сдвиг и нормировка»распределений случайных величин x и p не меняют их дисперсий, т. е. докажите, чтоZ+∞Z+∞222σ (ϕ) =x |Φ (x)| dx и σ (ψ) =p2 |Ψ(p)|2 dp.2−∞−∞(д) Опираясь на равенство Парсеваля, а также на связь, которую преобразование Фурье устанавливает между дифференцированием и умножением на аргумент, докажите, что для каждого вещественного t справедливо равенствоZ+∞|txΦ (x) + Φ0 (x)|2 dx = t2 σ 2 (ϕ) − t + σ 2 (ψ).−∞(е) Воспользуйтесь тем, что вещественный квадратный многочлен t2 σ 2 (ϕ) − t + σ 2 (ψ) неотрицателен.Задание 3 (сдать до 30 декабря)Преобразование Лапласа19.
Пусть a > −1 является вещественным числом. Выясните,является ли функция f (t) = ta оригиналом. Если является, тонайдите её показатель роста.20. Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и теоремойподобия, найдите преобразование Лапласа от функции f (t) =cos2 2t. Укажите область определения найденного изображения.21. Дано изображениеF (p) =1 p−2.·p2 p2 + 4Используя теорему об интергировании оригинала, найдите соответствующий оригинал f (t).1022.
Используя преобразование Лапласа, решите начальную задачу для дифференциального уравнения:y 00(t) − 2y 0(t) + 5y(t) = 8 sin t − 4 cos t,y(0) = 1,y 0(0) = 3.Обобщённые функции23. Трактуя несобственный интеграл как предел соответствующих собственных интегралов, вычисленный в пространстве обобщённыхфункций D0 (R), докажите равенствоZ+∞πcos(2xy) dy = δ(x).2024. Найдите все производные от функции f (x) = x2 H(x), гдеH(x) — функция Хевисайда.25. Используя теорему о фундаментальном решении дифференциального оператора, найдите фундаментальное решение оператораd− cos x.dx26. Используя операцию свёртки и фундаментальное решение,полученное в предыдущей задаче, найдите частное решение дифференциального уравнения y 0(x) − (cos x)y(x) = x.27.
Найдите преобразование Фурье регулярной обобщённой функции медленного роста, заданной формулой f (x) = sign x.Программу и заданияпо «Основам функционального анализа»составил д.ф.-м.н., профессор В. А. Александров11Правила аттестации студентовпо «Основам функционального анализ໧1. Контроль работы в семестре(1) В течение семестра студенту настоятельно рекомендуется сдать своему семинаристу в устной форме все 27 задач изприведённых выше заданий.(2) За каждую задачу, полностью сданную в срок, студент получает 6 баллов. За задачу, сданную (полностью или частично)после установленного срока, студент получает ноль баллов.(3) В конце семестра семинарист оценивает работу каждогостудента из своей группы и добаляет ему от 0 до 50 баллов взависимости от того, насколько активно студент решал задачиу доски, делал домашние задания, решал контрольные работыи т.
п.(4) Сумма баллов, начисленных студенту в соответствии спунктами (2) и (3) называется «баллами за работу в семестре».Она сообщается всем студентам до проведения консультации через сайт кафедры http://www.phys.nsu.ru/ok03/exam.html и/ или http://www.phys.nsu.ru/aleksandrov/teaching.html иучитывается при выставлении оценки за экзамен.(5) Приём задач из задания семинаристами заканчивается сокончанием зачётной сессии, т. е.
30-го декабря 2018 года.§2. Проведение экзамена(6) Поскольку по «Основам функционального анализа» непредусмотрен зачёт, то к сдаче экзамена допускаются все студенты (даже те, кто не сдал всех задач из приведённых вышезаданий).(7) Студент может сдавать экзамен только в тот день и тольков той аудитории, которые указаны в расписании экзаменов дляего группы.(8) Экзаменационный билет содержат три вопроса.
Первыйвопрос одинаков во всех билетах и выглядит так: «Сдача задач из заданий». Два других вопроса являются теоретическимивопросами (в частности, они не содержат задач) из программыкурса. Список вопросов, выносимых на экзамен, выкладывается на сайт кафедры http://www.phys.nsu.ru/ok03/exam.htmlи / или http://www.phys.nsu.ru/aleksandrov/teaching.htmlдо проведения консультации.12(9) Если студент уже сдал все задачи из заданий (что оченьрекомендуется), то вытянув билет, он пропускает первый вопрос«Сдача задач из заданий» и получает один час на подготовку кдвум оставшимся вопросам билета.(10) При подготовке к ответу на второй и третий вопросы билета можно пользоваться только собственной головой.
Другимисловами, при подготовке к ответу на второй и третий вопросыбилета запрещается пользоваться какой-либо литературой, конспектами, шпаргалками, мобильными телефонами и подсказками товарищей. Нарушающие это правило будут удалены с экзамена.(11) Выходить из аудитории до начала ответа на второй итретий вопросы билета нельзя (точнее — выйти можно, а вотснова войти уже нельзя).(12) Если студент не сдал какие-то из 27 задач из приведённыхвыше заданий (никому из студентов очень не рекомендуется попадать в эту ситуацию), то, вытянув экзаменационный билет,он должен без подготовки начать отвечать на первый вопросбилета «Сдача задач из заданий».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
