1611689328-870f4458e3fdc21d849e45aaa207a81a (826788), страница 8
Текст из файла (страница 8)
lim () =→0→0∫ ()Билет 46. Теорема о предельном переходе для интегралов от неотрицательных функций.«Условия» теоремы были записаны в виде замечаний(стр. 92). Вроде всё должно бытьправильно.∎() = ∫ (, ) ( − особая точка), ∈ , 0 – предельная точка множества E.1) lim (, ) = (), – непрерывна по , () – непрерывна.→02) (, ) ≥ 0, ∫ () сходится∃ lim () , ∃ ∫ () и lim () = ∫ () . Т.е. lim ∫ (, ) = ∫ lim (, ) .→0→0→0→0Доказательство.В условии предыдущей теоремы можно заменить равномерную сходимость на интервале (, ) наравномерную сходимость на отрезке [, ].По теореме Дини: (, ) ↗ () ( → 0 ), – непрерывна по , () – непрерывна.Тогда (, ) ⇉ () на любом компактном множестве, значит условия равнозначны для даннойтеоремы.(, ) ≥ 0, (, ) ↗ (), ∫ () сходится ⇒ ∫ (, ) сходится равномернопо признаку Вейерштрасса: 0 ≤ (, ) ≤ () ⇒ |(, )| ≤ ().Получили условия предыдущей теоремы.Билет 47.
Теорема о непрерывности несобственного интеграла с параметром.() = ∫ (, ) ( − особая точка)∎1. Π = [, ] × [, ], (, ) непрерывна на Π.2. ∫ (, ) сходится равномерно на [, ].Тогда () непрерывна на [, ].Доказательство.0 ∈ [, ]; lim () =→0(∗)� lim (, ) = { непрерывна на Π} = � (, 0 ) = (0 )→0(∗) – применение теоремы о пределе несобственных интегралов с параметром; проверим еёусловия: 2 условие выполняется в силу условия 2 данной теоремы, 1 условие(, ) ⇉(,) (, 0 ) верно, т.к. f непрерывна на Π ⇒ f непрерывна на [, ] × [, ] ⇒ по→0теореме Кантора равномерно непрерывна, значит сходится равномерно.Билет 48.
Теорема о дифференцировании несобственного интеграла с параметром.() = ∫ (, ) ( − особая точка), Π = [, ) × [, ] .1) f – непрерывна на Π; ∃непрерывная на Π. 2) ∫ (, ) сходится ∀ ∈ [, ]; ∫ Тогда ∃ ′ () = ∫Доказательство.(, ) .По определению ′ () = lim (,+ℎ)−(,)lim ∫ℎℎ→0 ∎(+ℎ)−()=(, ) сходится равномерно на [, ]ℎℎ→0(,+ℎ)−(,)(∗) � = ∫ �limℎℎ→0 =1 усл. ∫(, ) .(∗) – применение теоремы о пределе несобственных интегралов с параметром, проверим еёусловия:1.2.(,+ℎ)−(,)⇉[,] (, ); ∈ℎℎ→0 (,+ℎ)−(,) – равномерно∫ℎ[, ] − фиксирован.сходится относительно h (|ℎ| < , т. к. < − ).Первое условие уже проверяли в аналогичной теореме для собственного интеграла, второепроверим с помощью критерия Коши:2(, + ℎ) − (, )∀ > 0 ∃0 < : 1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ ∀|ℎ| < �� � < ℎ1 Запишем критерий Коши для ∫теоремы:(, ) , который выполняется в силу последнего условия2∀ > 0 ∃0 : 1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ ∀ ∈ [, ] ��1(, ) � < Выберем, как сказано в этом критерии, 0 , 1 , 2 .
Рассмотрим Φ() = ∫ 2 (, ) – собственныйинтеграл. Рассмотрим Φ′ ()=2 ∫ (, ) ,11т.к. для неё выполняются все условия теоремы одифференцировании собственного интеграла с параметром.22(, + ℎ) − (, )Φ( + ℎ) − Φ()�� � = �� � = {по формуле Лагранжа}ℎℎ11= |Φ′ ( + Θℎ)| = ��По критерию Коши для ∫ (, ) ,21(, + Θℎ) � < т.к. мы взяли из него 0 , 1 , 2 .∎Билет 49. Теорема о собственном интеграле несобственного интеграла с параметром(теорема оперестановке собственного и несобственного интеграла)() = ∫ (, ) ( − особая точка), удовлетворяет условиям теоремы о непрерывноминтеграле, зависящего от параметра, т.е.
(, ) – непрерывна на [, ) × [, ], ∫ (, ) сходится равномерно на [, ]; ∫ () – собственный.Тогда ∃ ∫ () = ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) .Доказательство.() – непрерывна, т.к. f удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности интеграла,зависящего от параметра (по условию теоремы) ⇒ ∃ ∫ (). ∈ (, ). Тогда ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) по теореме о перестановке собственныхинтегралов, т.к. f – непрерывна на Π = [, ][, ] (выполняется в силу условия теоремы). � � (, ) = lim � � (, ) = lim � � (, ) =→ → = � � (, ) (∗)� �lim � (, ) � → (∗) (теорема о предельном переходе под знаком собственного интеграла) выполняется, если∫ (, ) ⇉[,] ∫ (, ) , что верно в силу условия теоремы.→Билет 50.
Теорема о перестановке несобственных интегралов.() = ∫ (, ) ( − особая точка), ∫ () – несобственный с особой точкой d.1) f(x,y) непрерывна на [, ) × [, )2) ∀ ∈ (, ) ∫ (, ) сходится равномерно на [, ](относительно )3) ∀ ∈ (, ) ∫ (, ) сходится равномерно на [, ](относительно )4) ∫ ∫ (, ) или ∫ ∫ (, ) сходится.Тогда ∃ ∫ ∫ (, ) , ∃ ∫ ∫ (, ) и ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) .Доказательство.(∗) ∀ ∈ (, ) ∫ ∫ (, ) = ∫ ∫ (, ) по теореме о собственном интеграленесобственного интеграла с параметром, условия которой выполняются в силу условий 1 и 3данной теоремы.Перейдём к пределу при → : ∫ ∫ (, ) = lim ∫ ∫ (, ) =(∗) = lim � � (, ) =→ (∗∗)→ � �lim � (, )� = � � (, ) → (∗∗) – теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла, условия котороймы должны проверитьРассмотрим Φ(, ) = ∫ (, ). Тогда (∗∗) = lim ∫ Φ(, ) = ∫ �lim Φ(, )� .Это выполняется при следующих условиях:→a) ∀ ∈ (, ) Φ(, ) ⇉[,] ∫ (, ) (условие 2)→b) ∫ Φ(, ) сходится равномерно относительно \.→∎Докажем b) с помощью признака Вейерштрасса (|Φ(, )| ≤ (), ∫ () − сходится ⇒∫ Φ(, ) – сходится равномерно).Рассмотрим |Φ(, )| ≤ ∫ |(, )| ≤ ��)|∫ |(,������� = (); ∫ () = ∫ ∫ |(, )| –не зависит от сходится по условию 4, значит условия выполняются ⇒ ∫ Φ(, ) – сходится равномерно.Замечание:Проверку на равномерную сходимость можно заменить на проверку непрерывности с помощьютеоремы Дини.
Тогда условия 2 и 3 будут выглядеть следующим образом:∎(, ) непрерывна на [, )[, ) и (, ) ≥ 0; ∫ (, ) непрерывен на [, ) по y;∫ (, ) непрерывен на [, ) по x. (∫ (, ) → ∫ (, ) – монотонность по , т.к.(, ) ≥ 0 и непрерывность ∫ (, ) ⇒ выполняются условия теоремы Дини)Билет 51.∞sin � =20∞sin − . () сходится равномерно на ≥ 0 по признаку Абеля, т.к.Рассмотрим () = ∫0 �������∞∫0 −непрерывнаsin сходится равномерно по признаку Дирихле, значит F(t) непрерывна на [0, +∞) ⇒∞(0) = ∫0 −Рассмотримsin = lim ().→0∞sin ′−� ∫0 �−∞= − ∫0 − sin – сходится равномерно на [, +∞) по∞sin | ≤ − , ∫ − – сходится) ⇒ ′ () = − ∫0 − sin .признаку Вейерштрасса (|∞∞∞− )�=Посчитаем ∫0 − sin = − ∫0 − cos = −� − cos |∞0 − ∫0 cos (∞∞∞− )−�−1 + ∫0 cos − ⋅ � = 1 − ∫0 − sin = 1 − � − sin |∞�=1+0 − ∫0 sin (∞∞ ⋅ ∫0 sin ( − ) = 1 − 2 ∫0 − sin .∞Значит ∫0 − sin =11+ 2⇒ ′ () = −11+ 2⇒ () = − + .Найдём C с помощью lim ().
Заметим, что подынтегральная функция не сходится равномерно,→+∞значит воспользуемся следующим:Но () �⎯� − + => =→∞2∞∞sin �� ≤ ⇒ |()| ≤ ⋅ � − = � − = �⎯� 0 →∞π200∞ sin ⇒ () = − + ⇒ ∫02 = (0) =2Билет 52. Интеграл Эйлера-Пуассона.∞22 = ∫0 − – сходится по критерию сравнения ( − ≤ − ).
Замена = , y – параметр, t –∞новая переменная: = ∫0 −∞− 2� � ��0 ��������∞2 2 .∞= � �02⋅∫0 − =⋅= 2∞− 2∞= � �� Т.е. 2 =4⇒ ==√.20∞0∞� −02 2−�1+ 2 � 2∞� � =(∗)∞∞� �� −�1+00∞2 � 2� 111 π12 2� �� −�1+ � 2 � = � = ⋅ =222 1 + 2 2 4000(∗) - теорема о перестановке несобственных интегралов. Проверим упрощённую формулировку(из замечаний).4) условие выполнено, т.к. один из этих интегралов мы считали.1) условие выполнено, т.к. f – композиция непрерывных функций. ≥ 0 как композицияположительных функций.∞2) ∫0 −�1+3)2 � 2∞1 = ∫0 −�1+22 2∞∫0 −�1+ � − 22 � 21 2 = ⋅12 1+ 22 2∞∫0 − – непрерывна по t на [0, +∞)∞222= = { = } = − ∫0 − = − ⋅ = ℎ > 0�⎯� 0, но = при = 0 ⇒ функция разрывна в т.
0.≠0Заметим, что на промежутке [, +∞) функция непрерывна по y. Также заметим, что∞∫ −�1+2 � 2 =2 21 −�1+ �21+ 2– непрерывна по t (условие 2), значит условия теоремы∞∞∞∞выполняются на Π = [���0, ∞) × [,∞) ⇒ мы доказали ∫ ∫0 (… ) = ∫0 ∫ (… ) .���Теперь перейдём к пределу при → 0. Рассмотрим правую часть равенства:∞ ∞lim � � →00 −�1+ 2 � 2 =(∗∗)∞∞� �lim � 0→0−�1+ 2 � 2∞∞� = � �� −�1+002 � 2� (∗∗) – применение теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Рассмотрим еёупрощённую форму, которая требует:∞1) ∫0 −�1+2)2 � 2 ≥ 0 и непрерывен по t2 2∞lim ∫0 −�1+ � →0– непрерывен по t, т.к. он равен12(1+ 2 )Что выполнено. Следовательно, равенство при переходе к пределу выглядит так:∞ ∞∞ ∞lim � � (… ) = lim � � (… ) ⇒→0 0Билет 53.
Ряды Фурье.→00 по опр.и доказанному выше∞ ∞∞ ∞� � (… ) = � � (… ) 0 00 0∞() = � [ cos + sin ]=0Т.к. cos ; sin – периодические с периодом 2 ∀, то () должно иметь период 2.Но любую функцию g(x) на отрезке [, ] можно представить как периодическую следующимобразом:Переведём [, ] в [0,2] линейной заменой =−2 + . Тогда ℎ() = �−2 + �.∎.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
