1611689328-870f4458e3fdc21d849e45aaa207a81a (826788), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема об эквивалентности параметризаций.(без док-ва в 3 строки, лол)1) M – гладкое многообразие в размерности ⇒ ∀ ∈ ∃окр. : ∩ – областьзначений некоторой Φ: Ω → ∩ , = (1 … )∆ ⊂ , = (1 … ), – диффеоморфизм, : ∆ → Ω, т.е. () = – называется «заменапеременных». Рассмотрим = Ψ() = Φ(()) – новая параметризация, причём M впараметризации Ψ также гладкое.Из одной параметризации с помощью диффеоморфизма можно получить другую.2) Указанным способом можно получить все параметризации и других нет.Билет 20. Касательное пространство.M – гладкое многообразие размерности k в ,∈ ∃ ⊆ ,Ω⊂�Φ:Ωα →∩ Φ′ ()=у M существует гладкаяпараметризация.Φ() = , ∈ Ω, Φ(): → ; Φ()(ℎ) – касательный вектор, ℎ ∈ () = Φ()��� [ ] ⇒ () – линейное подпространство в .линейноРазмерность образа линейного отображения равна рангу матрицы: dim () = Φ′ () = Аффинное касательное пространство () + (перемещаем линейное в точку a).

()проходит через !В определение явно входит параметризация Φ. Покажем, что определение от её выбора независит.Пусть существует другая параметризация Ψ: ∆ → ∩ , = Ψ(), ∆ ⊂ , причём Ψ обладаеттакими же свойствами, что и Φ.Из теоремы об эквивалентности гладких параметризаций ∃ в ∆ → Ω, = () – диффеоморфизм.Ψ() = (Φ ∘ )() = Φ�()�; Ψ() = , ∈ ∆Ψ()[ ] – новое линейное касательное пространство.Ψ() = Φ((β)) ∘ dG(β)Т.к.

Ψ() = , Φ() = ⇒ () = ⇒ Ψ() = Φ() ∘ ()Ψ()[ ] = Φ() �()[ ]� = {det ′ ≠ 0 ⇒ ′ − невырождена ⇒ ()[ ] = }= Φ()[ ] = ()Следовательно, окрестность не зависит от выбора параметризации.∎Билет 21. Нахождение () без построения параметризации.Пусть M есть решение системы1 (1 … ) = 0⋮�, которое удовлетворяет условию теоремы о неявном способе задания (1 … ) = 0многообразия ⇒ – гладкое многообразие размерности n-m. = (1 … ) ∈ . – окрестность точки a, т.к. на ней существует гладкая параметризацияΦ: Ω → ∩ ; = (1 … − ) ∈ Ω, = Φ(). Тогда () = Φ()[ ] = { ∈ : = Φ′ () ⋅ℎ, ℎ ∈ − } = Φ(), ∈ Ω ⇒ ∈ ⇒ – решение системы ⇒ �Φ()� ≡ 0 ∀ ∈ Ω.

Продифференцируемв т.: �Φ()� ∘ Φ() = . Возьмём ℎ ∈ − , � �Φ()� ∘ Φ()�(ℎ) = 0, = 1 … �Φ()�[Φ()(ℎ)] = 0; ()[Φ′ () ⋅ ℎ] = 0�=1�=1()′ ()�Φ⋅ ℎ��������касат.вектор ∈ ()=0() ⋅ = 0 , = 1 … (∗)Все касательные вектора удовлетворяют системе (∗). Других векторов там нет, т.к.dim () = − ; �()� = ⇒ dim ∗ = − , где ∗ - пространство в решениисистемы (∗). Т.к. () ⊆ ∗ , dim () = dim ∗ ⇒ ∗ = ().Т.к. явное задание многообразия M есть частный случай неявного, то мы найдём () безпостроения параметризации и для явно заданного M.Другой вид:� = ∇fi�;…;1(∇ (), ) = 0 ∀ = 1 … – другой вид системы (∗) ⇒ ∇ () ⊥ ⇒ ∇ ���� () ⊥ () ⇒ штук∎разм.

−⊥∇ () – базис ортогонального дополнения к (), �∇1 (), … , ∇ ()� = � ()�А теперь тоже самое, но для () + . Пусть ∈ + () ⇔ − ∈ ()�=1Пример. (, , ) = 0 – плоскость(1 , 2 , 3 )( − 1 ) +() ⋅ � − � = 0 , = 1 … (1 , 2 , 3 )( − 3 ) +(1 , 2 , 3 )( − 3 ) = 0Билет 22. Условный экстремум.(), ∈ , , гладкое многообразие M, заданное системой уравнений �� ()=0 , = 1 … ,�����ограничение ≤ ; ∈ называется условным локальным максимумом, если существует U – окрестность т.a,т.ч. ∀ ∈ ∩ выполняется () ≤ ();-//- максимумом, если -//- () ≤ ().Необходимые условия.Введём параметризацию Φ() = , которая задаёт ∩ ; ∈ Ω ⊆ − ; Φ() = ; �Φ()� =(). Если a – максимум(минимум), то g(u) имеет максимум(минимум).

Т.е. мы свели нахождениеусловного экстремума к поиску безусловного.() имеет условный экстремум в т. ⇒ () имеет безусловный экстремум в т. ⇒ () = .() = �Φ()� ∘ Φ() = () ∘ Φ(), ℎ ∈ −()() = ∑=1⎡⎤⎢⎥ = ()()0 = ()(ℎ) = () ⎢Φ()(ℎ)�������⎥⎢−произвольный вектор⎥⎣ касат.пр−ва,т.е ∈ () ⎦() ⋅ = (∇(), ) = 0 ⇒ ∇() ⊥ () – необходимое условие⊥локального условного экстремума ⇒ ∇() ∈ � ()� .⊥Т.к. ∇ (), = 1 … – базис � ()� ⇒ ∇() = ∑=1 ∇ (). По теореме Кронекера-Капелли()�= (∇система имеет решение, когда �∇��������� ()|∇()).расширенная – множители Лагранжа.Билет 23. Достаточные условия.() имеет безусловный экстремум в т.

⇒ () имеет условный экстремум в т.a.Предположим, что и – дважды непрерывно дифференцируемы ⇒ ∃Φ – непрерывнодифференцируема дважды(по теореме о неявно задании многообразия) ⇒ () – непрерывнодифференцируема дважды ⇒ пусть выполняются необходимые условия для ⇒ если ′()знакоопределённая, то экстремум:Выполняются необходимые условия для ⇒ ∇() ⊥ (); = Φ()−−=1=1=1()� =�Φ()� = � ���Φ()� ⋅() = �Φ()� = �Φ() = �1 (), … , − ()� ⇒−=1=1≔() ��Φ()� ⋅ � �=�−− 2 () � × � �() � +�Φ()� � ��Φ()� () = � �� 2=1 =1−⋅� �,=1=1 2 () �� =1Но считать это очень трудно, в том числе определять знакоопределённость этой матрицы. Темболее, мы не знаем .

Также мы хотим исключить параметризацию из условия.−−=1=1 2 (a) � �() � � �() � () = � � 2=1 =1+�=1− 2 (a) ⋅ � �() � ,=1 �Φ()� ≡ 0. Если в уравнения, задающие многообразия, подставить само многообразие, тополучится тождественный 0.⇒ �Φ()� ≡ 0,2 �Φ()� ≡ 0,А нам надо найти 2 �Φ()�. Выражение 2 не отличается от выражения для 2 , заисключением того, что вместо f в запись надо подставить . Т.к.

2 �Φ()� ≡ 0, то2 �Φ()� − � 2 �Φ()� = 2 �Φ()�Из необходимого условия мы знаем, что=1() = ∑=1 содержащие2 () ⇒ вторые слагаемые сокращаются, значит в ответ не войдут выражения,, т.е.мы знаем,т.к.знаем , и −−��������������������� 2 2 2() − � ()� � �() � � �() � () = � � ,=1=1=1=1− 2 () − � ()� � �() � = 0+ �� =1,=1=1 �����������������из условия ЛагранжаΦ()(), где = (1 … − ) = ℎ ∈ −∑−=1() − -ый компонент Φ()() ∈ (),=1=1 2 2 () − � ()� , где ∈ ()= � � Квадратичная форма должна быть знакоопределена на () ⇒ задача об условнойзнакоопределённости квадратичной формы.Вспомним, что уравнения касательных пространства – это(∗) �=1() ⋅ = 0, = 1 … ; � � = Можем решить эту систему выразив m штук через другие n-m, подставить их в достаточныеусловия, значит квадратичная форма от n-m – переменных(уже независимых), значит можемпроверить знакоопределённость с помощью алгоритма Сильвестра.Алгоритм поиска экстремума.1 () = 0 уравнений⋮и 1 … + 1 … – m+n неизвестных.1) � () = 0∇() = ∑=1 ∇ () уравненийНаходим , 1 … (если система разрешима)2) Подставить , 1 … в квадратичную форму и проверить её знакоопределённость длявсех , которые удовлетворяют условию ∑=1() ⋅ = 0, = 1 … .

Как это делатьописано выше (∗).Билет 24. Равномерная сходимость. (), ⊂ , будем говорить, что () при → ∞ равномерно сходится на множествеD(обозначается () ⇉ ()), если ∀ > 0 ∃(): ∈ , > | () − ()| < .→∞Пусть x – фиксирована, () → () ⇔ ∀ > 0 ∃(, ): ∈ , > | () − ()| < Если последовательность сходится равномерно, то она сходится при любом фиксированном x.Другой вид определения равномерной сходимости:∀ > 0 ∃(): > ⇒ ∀ ∈ | () − ()| < Другой вид определения сходимости поточечной(не равномерной).∀ ∈ ∀ > 0 ∃(, ): > ⇒ | () − ()| < Во всех определениях можно писать | … | ≤ , т.к.

определение этого не изменится; такжеокрестность не изменится при → ( = ) или ≥ .Теорема.() = lim (), Равномерно ли?→∞ = sup| () − ()| ∈ , где = ; () ⇉ () ⇔ �⎯⎯� 0.→∞→∞Доказательство.(⇒) ∀ > 0 ∃(): > ⇒ ∀ ∈ | () − ()| < ⇒ sup| () − ()| ≤ Итого ∀ > 0 ∃(): > ⇒ ∀ ∈ 0 ≤ ≤ ⇒ �⎯⎯� 0. В обратную сторону аналогично.→∞Равномерная сходимость ряда∑∞=1 () = () (∀ ∈ – фиксированы). Этот ряд сходится равномерно на D, если () = ∑=1 () , () ⇉ () относительно x.∎→∞Равномерная сходимость функции с параметромРаньше = (, ) ≔ (), теперь = (, ), ∈ , ∈ .Фиксируем y(параметр), b – предельная точка множества ⇒ можем рассмотреть → .lim (, ) = () (∀ ∈ )→, ∈f(x,y) равномерно сходящаяся функция, если ∀ > 0 ∃() > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ) − ()| < .

При фиксированном x: = (, ).Теорема.() = sup|(, ) − ()|, если () = lim (, ) , ∈ →lim () = 0 ⇔ (, ) равномерно сходится.→Доказательство аналогично предыдущей теореме. При ∈ , = ∞ - получаем предыдущуютеорему.Критерий Коши для равномерной сходимости. (), ∈ . Для () ⇉ () ⇔ выполняется критерий Коши→∞Последовательности(для фиксированного x):∀ > 0 ∃(, ): , > ⇒ | () − ()| < равномерная сходимость:∀ > 0 ∃(): , > ⇒ ∀ ∈ | () − ()| < Для рядов:∀ > 0 ∃(): , > ⇒ ∀ ∈ � () − ()� < +Пусть > > , ∈ , > 0 ⇒ = + ⇒ �∑=+1 ()� < Для функций с параметром:∀ > 0 ∃() > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ′) − (, ′′)| < Доказательство для функций с параметром.(⇒) (, ) ⇉ (), т.е.

по определению:→∀ > 0 ∃() > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ) − ()| < Пусть 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < , тогда:|(, ′ ) − (, ′′ )| = |(, ′ ) − () + () − (, ′′ )| ≤ |(, ′ ) − ()| + |(, ′′ ) − ()|< 2(⇐) выполнен критерий Коши, т.е.∀ > 0 ∃() > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ′) − (, ′′)| < Фиксируем = 0 ⇒ (0 , ) – функция от y, а т.к. критерий Коши выполнен для любого x из D, то∃ lim (0 , ) = (0 ).→0 < ‖ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ |(0 , ) − (0 , ′′ )| < Переходя к пределу при ′′ → получаем: |(0 , ) − (0 )| ≤ ∀0 .Итого:∀ �>��0���∃()0 : 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀0 ∈ |(0 , ) − (0 )| ≤ ⇒ (, ) ⇉ ()�����>��из критерия→∎Билет 25.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий