1611689328-870f4458e3fdc21d849e45aaa207a81a (826788), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

∃0 > 0: ∀ > 0 ∃′ , ′′ ∈ ‖′ − ′′ ‖ < ⇒ |(′ ) − (′′ )| ≥ 0 .11Пусть = , найдём ′ , ′′ ∈ : ‖′ − ′′ ‖ < , |(′ ) − (′′ )| ≥ 0 .Итого: ∃0 > 0: ∀ ∃′ , ′′ ∈ ‖′ − ′′ ‖ <1⇒ |(′ ) − (′′ )| ≥ 0 .Выделим из {′ } сходящуюся подпоследовательность {′ }, что возможно, т.к. M – компакт.′ �⎯⎯� ∈ ; �′′ − � < �′′ − ′ � + �′ − � �⎯⎯� 0 ⇒ ′′ �⎯⎯� →∞→∞→∞Т.к. f – непрерывна, то �′ � → (), �′′ � → (); но |(′ ) − (′′ )| ≥ 0 – противоречие,т.е. f равномерно непрерывна на M.Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.(, ), ∈ [, ], ∈ ⊂ , – компакт, f – непрерывная на [, ] × – компакт. Тогда F() =∎∫ (, ) – непрерывна на D по y.Доказательство. ∈ – произвольная. Надо показать, что lim () = ().

Рассмотрим lim () =lim ∫ (, )→ →= {предположим, что можно менять местами интеграл и предел} =∫ � lim (, )� →→=⏟в силу непр.∫ (, ) = (). Чтобы воспользоваться теоремой оперестановке предельных переходов, надо доказать, что (, ) ⇉[,] (, ). По теореме′→′′Кантора f(x,y) – равномерно непрерывна, т.е. ∀ > 0 ∃ > 0 , ∈ [, ], ′ , ′′ ∈ ′|− ′′ | + ‖ ′ − ′′‖ < ⇒ |( ′ , ′ ) − ( ′′ , ′′ )| < ���������������одна из возможных нормВозьмём ′ = ′′ = − некоторый произвольный элемент, ′ = − произвольный, ′ = .Тогда ∀ > 0 ∃ > 0 �� ∈�[�,], ��∈�� ‖ − ‖ < ⇒ |(, ) − (, )| < ⇒ –���что выполняется из−завыбора и равномерно сходится, значит можем пользоваться теоремой о перестановке предельныхпереходов.∎Билет 41.

Теорема о перестановке дифференцирования по y и интегрирования по x.Предположим, что = [, ], чтобы можно было дифференцировать по y, обозначим через Π =[, ] × [,].������(, ), ∀ ∈ [, ]; непрерывна по на [, ] ∃(, ) ∀ ∈ [, ]; ∈ (, ) – обычнаяпроизводная; = , = – односторонняя производная;непрерывна на Π. Тогда ∀ ∈ [, ] ∃ ′ () = ∫ (, ) ,(, ) непрерывна на Π ⇒ –т.е. ∫ (, ) Доказательство. – произвольная точка отрезка [, ], рассмотрим ′() по определению: = ∫(, ) .( + ℎ) − ()1 ′ () = lim= lim �� (, + ℎ) − � (, ) �ℎ→0ℎ→0 ℎℎ1= lim � ⋅ [(, + ℎ) − (, )] =(∗)�����������������ℎ→0ℎвыражение,похожее на(∗) Чтобы поменять местами интеграл и предел, нужно проверить условие теоремы оперестановке предельных переходов, т.е.

равномерную сходимость выраженияДокажем (∗), т.е.(,+ℎ)−(,)ℎ(, + ℎ) − (, ) = � (, )= � limℎ→0ℎ⇉[,] (, ).ℎ→0 компакт, значит по теореме КантораМы знаем, что(,+ℎ)−(,)ℎ.(, ) непрерывна на Π и Π –(, ) равномерно непрерывна.Воспользуемся формулой Лагранжа для конечных приращений.(, + ℎ) − (, ) (, + Θℎ),=Θ ∈ (0,1)ℎТ.е. надо показать, что(, + Θℎ) ⇉[,]ℎ→0(, ). Определение равномерной непрерывности′ ′′для (, ): ∀ > 0 ∃ > 0 ′ , ′′ ∈ [, ], , ⊂ [, ] | ′ − ′′ | + | ′ − ′′ | < ⇒|( ′ , ′ ) − ( ′′ , ′′ )| < . Положим, что ′ = ′′ = ∈ [, ] – произвольная, ′ = + Θℎ, ′′ =, где ∈ [, ]; |ℎ| < (т. е. |Θℎ| < ).

Тогда ∀ > 0 ∃ > 0 ∈ [, ], ∈ [, ], |ℎ| < ⇒�(, + Θℎ) −(, )� < . Получили равномерную сходимостизначит доказали (∗) и саму теорему.(, + Θℎ) ⇉(, ),∫ (, )∀.Замечание. Первое условие необходимо для существования интегралаТеорема о дифференцировании функции с параметром, где пределы интегрирования зависятот параметра.1. (, ) определена на Π = [, ][, ] и непрерывна на Π.2.(, ) непрерывна на Π; (), () на [, ], ≤ () ≤ () ≤ . () =()∫() (, ) .() (,)3.

∃ ′ (), ′ () ∀; ∃ ′ () = ∫()Доказательство.Зафиксируем = 0 ∈ [, ], тогда: ′ (0 ) = lim→0−0lim1→0 −0()= + ′ () ⋅ ((), ) − ′ () ⋅ ((), ).= lim∫( ) (, ) .0( )( )()1�∫ 0 (, ) + ∫( 0) (, ) + ∫( ) (, )00→0 −0 ()(0 ) (,)−(,0 )(0 )1lim ∫(, ) + + lim∫−0→0 (0 )→0 −0 ()()−(0 )(0 )(, 0 ) �0)∫(∎−В первом слагаемом можно менять знаки предела и интегрирования, т.е.

оно равно(0 ) (,)0)∫(. По первой теореме о среднем второе слагаемое равно(0 )−()⋅ (, ), где−0− ′ (0 ) лежит между ()и (0 ). При → 0 второе слагаемое стремится к ⋅ ((0 ), 0 ),т.к. непрерывна и дифференцируема. Аналогично третье слагаемое стремится к ′ (0 ) ⋅((0 ), 0 ). Если соберём все слагаемые, то получим утверждение теоремы.∎Билет 42.

Теорема о перестановке интегралов по x и по y.(, ) определена и непрерывна на Π; () = ∫ (, ) (существует, т.к. f непрерывна(в(,) , т.е.частности) по x). Т.к. () – непрерывна, то ∃ ∫ () = ∫∫������������ � ∫ ∫ (, ) Доказательство.= ∫ ∫ (, ) .повторный интеграл ∈ [, ]. Рассмотрим функцию () = ∫ ∫ (, ) – зависит от , и функцию () =∫ ∫ (, ) – зависит от . Если мы покажем, что ∀ эти функции совпадают, то и при = они совпадут.() = () = 0. Следовательно, если совпадают их производные, то они и сами совпадают.Докажем с помощью теоремы о дифференцировании, что ′ () = ′().По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом, при условии, чтоподынтегральная функция непрерывна (что верно по теореме о непрерывности интеграла отфункции с параметром), следует:∫ (, ) ,′ ()= � (, )Запишем функцию () =где (, ) = ∫ (, ).

Чтобы воспользоватьсятеоремой о дифференцировании интеграла функции с параметром, надо проверить её условия:1. H непрерывна по x, что гарантируется теоремой о непрерывности.2. (и 3) ∃и непрерывна по совокупности переменных, проверимнепрерывна по условию теоремы.(, ) = (, ) – Условия теоремы выполнены, значит можем ей воспользоваться: ′ () = ∫(, ) =∫ (, ). Получаем, что ′ () = ′(), т.е. () = () (как было показано выше).∎Пример использования теоремы – доказательство основной теоремы алгебры, которая гласит, чтомногочлен степени n имеет ровно n корней(вещественных или комплексных).Опять же, далее(стр. 82-84) следует достаточно большее доказательство, о котором вбилетах ничего не говорится.Билет 43. Несобственные интегралы функций одного переменного с параметром.Несобственный интеграл с одной особенной точкой – это () = ∫ (, ) , где – особаяточка(т.е.

= +∞ или (, ) неограничена в окрестности точки b)Непрерывна ли ()?() = � (, ) = lim � (, ) →−0это можно посчитать���������������lim () = lim lim � (, ) =? lim lim→0→0 →−0→−0 →0� (, ) �� �������собственный интегралЗнак ? проверяется теоремой о перестановке предельных переходов, которая требует, чтобы∃ lim ∫ (, ) ; ∃ lim ∫ (, ) ; равномерная сходимость первого или второго.→−0→0Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.() = ∫ (, ) , ∈ равномерно сходится относительно y на множестве E, есливспомогательная функция Φ(, ) = ∫ (, ) , причём ∈ (, ), ∈ , сходится равномерно,т.е. Φ(, ) ⇉ ().→−0Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов.() = ∫ (, ) ( − особая точка) сходится равномерно ⇔ ∀ >|Φ(1 , ) − Φ(2 , )| < .0 ���������������������∃0 ∈ (, ): ∀1 , 2 ∈ (0 , ) ∀ ∈ ⇒ �������������верно и для =+∞,в отл.от |− |<1�∫ 2 (,) �Замечание.

Возможно, что a – особая точка, тогда Φ(, ) = ∫ (, ) .Билет 44. Признак Вейерштрасса.∫ (, ) , ∈ ; ∀ ∈ |(, )| ≤ (); ∫ () сходится ⇒ ∫ () сходитсяравномерно на E.Доказательство.∫ () сходится, значит для него выполняется критерий Коши:∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): ∀1 , 2 ∈ (0 , ) ⇒ �∫ 2 () � < .

Будем считать, что 1 < 2 , тогда 1 , 2 ∈1(0 , ) ~ 0 < 1 < 2 < .∀ () ≥ 0 ⇒ модуль в критерии Коши можно убрать, т.к. ∫ () ≥ 0.Итого: ∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): 0 < 1 < 2 < ⇒ ∫ 2 () < .2122� � (, ) � ≤ � |(, )| ≤ � () < 1Рассмотрим интегралы видаПризнак Абеля.1∫ (, )(, ) , 1∎∈ .1. ∫ (, ) сходится равномерно на E.2. ∀ ∈ монотонна по x.3.

∀∀ |(, )| ≤ – равномерно ограничено.Доказательство.Т.к. ∫ сходится равномерно на E, значит для него выполняется критерий Коши ∀ > 0 ∃0 ∈(, ): 0 < 1 < 2 < ⇒ ∀ ∈ �∫ 2 (, ) � < .Для тех же 1 , 2 рассмотрим:2� � (, )(, ) �11вторая теорема о среднем= 1 <<2 →0 <<�(1 , ) � (, ) + (2 , ) � (, )�21≤ ⋅ � � (, ) � + ⋅ �� (, ) � <Признак Дирихле.12�� ⋅���� + ���⋅ 0 <<⇒восп.кр.Коши по = 2 ⋅ 1. �∫ (, ) � ≤ ∀ ∈ (, ) ∀ ∈ – равномерно ограничен.2. ∀ ∈ монотонна по x.3.

(, ) ⇉ 0→−0Доказательство.Т.к. g равномерно сходится на E, то для неё выполняется определение: ∀ > 0 ∃0 ∈ (, ): ∀ ∈(0 , ) ⇒ ∀ ∈ |(, )| < . Рассмотрим 0 < 1 < 2 < .∎2� � (, )(, )�1(∗): �∫1�∫�=−вторая теорема о среднем= 1 <<2 →0 <<212�∫ �2�(1 , ) � (, ) + (2 , ) � (, )�1≤ ⋅ � � (, ) � + ⋅ �� (, ) � ≤(∗) ⋅ 2 + ⋅ 2 = 4 ⋅ 1∫� ≤ 2, аналогично≤ 2.Билет 45. Теорема о пределе несобственных интегралов с параметром.() = ∫ (, ) ( − особая точка), ∈ , 0 – предельная точка множества E.lim (, ) = (), (, ) ⇉(,) () ∀ ∈ (, ) .→0→02) ∫ (, ) сходится равномерно на E относительно y.∃ lim () , ∃ ∫ () и lim () = ∫ () .

Т.е. lim ∫ (, )→0→0→01)Доказательство.∎= ∫ lim (, ) .→0Φ(, ) = ∫ (, ) ; lim Φ(, ) = (), в силу условия 2: Φ(, ) ⇉ (); – фиксированная,тогда lim Φ(, ) =→0→(,lim ∫ �)������→0 ��собственный.интегралов} = ∫ ()→= {по условию 1 и теореме о пределе собственныхПо теореме о перестановке предельных переходов: ∃ lim () , ∃ lim ∫ () и lim () =lim ∫ () .→По определениюlim ∫ ()→=→0∫ () ,→т.е.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий