1611689328-870f4458e3fdc21d849e45aaa207a81a (826788), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

≠ �−1 �Φ� −1 (), −1 ()��� т.к. −1 −линейно ‖−1 ‖ ⋅ ��Φ� −1 (), −1 ()���≤=‖ − ‖‖ − ‖Т.к. ≠ и F – взаимнооднозначна, то −1 () ≠ −1 ()‖−1 ‖ ⋅ ��Φ� −1 (), −1 ()��� ‖ −1 () − −1 ()‖⋅≤=‖ −1 () − −1 ()‖‖ − ‖1Т.к. () − () ≥ ‖ − ‖ ⇒ ‖ −1 () − −1 ()‖ ≤ 2‖ − ‖2‖[Φ(, )]‖��Φ� −1 (), −1 ()���−1 ‖‖=2⋅�⎯� 0⋅‖ −1 () − −1 ()‖‖ − ‖ →Т.к. Φ(, ) = (‖ − ‖); → ⇔ → Следовательно, −1 (Φ� −1 (), −1 ()� = (‖ − ‖)≤ 2 ⋅ ‖−1 ‖непрер.,т.к. −непр. −1⎡�����������⎤⎢⎥−1 () �⎥( −1 )′ () = ⎢ ′ � �����⎢⎥непрер.подоказанному ⎥⎢⎣⎦− непрерывна => −1 − непрерывна и дифференцируема∎Дополнение к теореме.Пусть F имеет непрерывные частные производные k-ого порядка (k>1). Тогда обратная −1 такжеk раз непрерывно дифференцируема. (Остальные условия сохраняются)Доказательство.−1По индукции с помощью равенства ( −1 )′ () = � ′ � −1 ()�� .

F – (k+1) непрерывнодифференцируема, значит −1 – k – непрерывно дифференцируема.По индукции предполагаем −1 – k непрерывно дифференцируема ⇒ ′ ∘ −1 - суперпозиция 2-xнепрерывно дифференцируемых функций ⇒ ′ ∘ −1 – k раз непрерывно дифференцируема ⇒( ′ ∘ −1 )−1 также k раз непрерывно дифференцируема ⇒ ( −1 )′ - k раз непрерывнодифференцируема ⇒ −1 – (k+1) раз непрерывно дифференцируема.∎Переписывать применение, 2 замечания и пример у меня не хватит терпения, если оно вообщенужно. Пойду перекушу. Если таки нужно, см. стр. 25-27.Билет 16. Теорема о неявнозаданной функции.: + → , Ω − открыто, Ω ⊆ + , (, ) ∈ Ω , (, ) = 0, F – непрерывнодифференцируема в Ω .det �(, )� ≠ 0Тогда существует U – открытое множество окр.

(a,b) в + , существует W – окр т.a в ,существует непрерывно дифференцируемая : → , т.ч. (, ) ∈ ⇔ (, ) = . ∈ и = () – неявная функция, определяемая уравнением (, ) = . ((, ())описывает все решения (, ) = )Доказательство. = (, ). Рассмотрим вспомогательное отображение 1 : + → + , т.ч. 1 (, ) = (, ) =(, (, )).

1 определена на Ω и на нём непрерывно дифференцируема, т.к. все егокоординатные функции непрерывно диффиренцируемы(n штук тривиальных 1 … , m штук ,которые непрерывно дифференцируемы по услловию)1 (, ) = (, )Выполнены все условия теоремы об обратном отображении, кроме, может быть, условия оякобиане. Проверим:1⋯00⋯0⋮⋱⋮⋮⋱⋮⎞�⎛ 0⋯1 � 0⋯0 �⎜ 1 11 ⎟1⎟� = det ⋅ det � � = det( )⋯⋯�det 1 ′(, ) = �⎜ 1 ⎟⎜ 1⋮⋱⋮⋮⋱⋮⎟�⎜ � �⋯⋯⎝ 1 1 ⎠det 1 ′(, ) = det �(, )� ≠ 0 по условию ⇒ выполнены условия теоремы об обратном1 :��� ↔ .отображении ⇒ ∃ − окрестн. (, ), − окрестн. (, ), ����∃1−1 : → (непрерывно дифференцируема).1 (, ) = (,взаимноодн.Обозначим 1 = 1−1)0 (, )�����т.к. обязан нек.образомвыражаться через и 1 непрерывно дифференцируемо ⇒ 0 − непрерывно дифференцируема1 (, ) = (, ) ⇒ 0 (, ) = В качестве искомого U возьмём U из теоремы об обратном отображении.

В качестве W возьмём = { ∈ : (, 0) ∈ }. Т.к. V – открыто в + ⇒ − открыто в .Построим : → : ∈ ⇒ (, ) ∈ ⇒ ∃1 (, ) = (, �����0 (, )). () = 0 (, ) –непрерывно дифференцируемо, () = 0 (, ) = .Осталось проверить эквивалентность.(⇒) (, ) ∈ и (, ) = 0 ⇒ 1 (, ) = �, (, )� = (, 0) ∈ −? ∈ 1 (, 0) = (, ) = �, 0 (, )� = �, ()� ⇒ () = (⇐) ∈ , () = ⇒ (, ) ∈ ⇒ 1 (, ) = �, 0 (, )� = �, ()� = (, ) ∈ 1 (, ) = 1−1 (, ) = (, )� ⇒ (, ) = 1 (, ) = �, (, )�Замечание1. Пусть F – k раз непрерывно дифференцируема (k>1) ⇒ 1 ⇒ 1 ⇒ 0 ⇒ – непрерывнодифференцируема.2.

Как найти () ()−?: → , = (1 … ), = (1 … ),=?По теореме Дели ∈ , () = , то �, ()� = ∀ ∈ .(∗) ⇒ �1 … , 1 (1 … ) … (1 … )� = 0, где ∈ , 1 ≤ ≤ По теореме – непрерывно дифференцируема.∎ 1 () = 0=⋅+ ⋯+⋅+��, ()� 1 �������������������=1тут есть() = 0, 1 ≤ ≤ �, ()� + ��, ()�=1(, ) + �(, )() = 0, 1 ≤ ≤ ���������� ����знаемЭто система решений относительноопределитель по условию не равен 0.=1знаем(), где матрица системы равна �Следовательно, система имеет единственное решение, т.к.некоторой окрестности (, ) ⇒ можем найтигде x из окрестности т.a) (, )�, чей– непрерывна, то(, ) ≠ 0 вв некоторой окрестности т.a(если мы знаем G(x),находим аналогично(дифференцируем (∗) тождественно k раз).Билет 17.

Многообразие размерности k в , ≤ ≤ .наГомеоморфизм - отображение : ⊂ → ⊂ ,которое взаимнооднозначно, непрерывно иобратное также непрерывно. Тогда U и V – гомеоморфны. = , и – открыты, F – гомеоморфизм, F дифференцируемо в каждой точке U, а −1 ,соответственно, в каждой точке V. Тогда F – диффеоморфизм.Замечание.Если F – диффеоморфизм, то det ′() ≠ 0, ∀ ∈ .Доказательство.

= −1 �()�; = −1 �()� ⋅ (), = () ⇒ = −1 () ⋅ () | det(… )−1 )′ ()1 = det(det′()��������� ⋅ �������≠0≠0Кривая, поверхность – частный случай многообразия. И можно задавать явно, неявно и черезпараметры. Последнее наиболее универсально. ⊂ , – многообразие размерности ≤ (мы будем также считать, что ≥ 1), есливыполняется следующее условие: ∀ ∈ ∃ – окрестность a в ; Ω – открытое множество в ; Φ: Ω → ∩ – гомеоморфизм. = ⎛⎝1��…���∎⎞∈Ωпараметры Φ−параметризации⎠ в окрестности т.1 = 1 (1 … )⋮Φ = (1 … ); �- система определяем ∩ (называется задание = (1 … )параметризации)Многообразие при = 1 называется кривой, при = 2 называется поверхностью.Примеры.1) Лемниеката Бернулли не является кривой в нашей определении.

(Выглядит как знакбесконечности, где пересечение проходит через центр с.к., и две кратных точки внутриграфика, ближе к краям)2) = ||. Построим глобальную параметризацию = 2 , Ω = 1 ; Φ() = (, ), = , = ||, Φ – непрерывна.1 ≠ 2 ⇒ Φ(1 ) ≠ Φ(2 ) ⇒ взаимнооднозначная функция; = Φ−1 (, ) = –непрерывна ⇒ Φ – гомеоморфизм.! Параметрищация не единственна. ! = || = 3�или�или … = ||3 = 2Данное множество можно параметризировать бесконечным количеством способов.Гладкое многообразие – многообразие, где есть касательная в каждой точке.Гладкое многообразие - многообразие, где∀ ∈ 1) Φ – непрерывно дифференцируемо на Ω2) � ()� = ∀ ∈ Ω�������матрица ×Рассмотрим пример 2. Покажем, что оно не гладкое.

Предпроржим, что существует такаяпараметризация, которая требуется в определении гладкого многообразия. = (0,0); Φ() = (0,0); Φ() = �1 (), 2 ()� – непрерывно дифференцируема ⇒′ ()∃1′ (), 2 ′() – непрерывны и �1′ ()� = 1 ⇒ обе производные одновременно не равны 0 ⇒(1′ )2 + (2′ )2 ≠ 02Рассмотрим [1′ ()]2 + [2′ ()]2 ≠ 0 ⇒ �1′ () ≠ 0�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� = −1 () определена в = 1 () по т.об обр.отображениинекоторой окрестности , −1 – непрерывно дифференцируема.−1� = 2 () = 2�1 ()��������� =непрерывнодифференцируема||�недифференц.в 0Противоречие ⇒ 1′ () = 0 ⇒ 2′ () ≠ 0 ⇒ аналогично получим, что = 1 (2−1 ()) – функция(одному y – один x), но у = || нет единственный обратной функции в′ ()окрестности O ⇒ противоречие ⇒ 2′ () = 0 ⇒ [1′ ()]2 + [2′ ()] = 0 ⇒ �1′ ()� = 02противоречие, значит многообразие не гладкое.Билет 18.

Теорема о явном способе задания многообразия.(x1 … ) ∈ : (1 … ), 1 ≤ ≤ – изменяется на открытом множестве Ω = Ω0 . Задано (n-k)1 (1 … )⋮, которые определены на Ω. Тогда ⊂непрерывно дифференцируемых функций �− (1 … ) = {(1 … ), где (1 … ) ∈ Ω, + = (1 … ), = 1 … − } – гладкое многообразиеразмерности k.Доказательство.Определим параметризацию Φ: → , = Φ(); ′ ≠ ′′ ⇒ ′ = Φ(′ ) ≠ ′′ = Φ(′′ ) ⇒ Φ –взаимнооднозначное, т.к. оно отображение на ⇒ Φ − биекция ⇒ ∃Φ−1 : →Ω, Φ−1 (1 … ) = (1 … ) – проектирование на координатную плоскость ⇒ Φ−1 линейно ⇒ Φ−1непрерывно ⇒ – многообразие.1 = 1⎧⋮⎪ = =1 ()⎨ +1⋮⎪⎩ = − ()наΦ: Ω → – непрерывно дифференцируемо, теперь покажем, что M – гладкое.1⋯0⋮⋱⋮⎛⎞0⋯1⎜ 1 ⎟ � � = ⎜ 1= , т.к.

это матрица × и первые k строк - .⋯1 ⎟⎜ ⋮⎟⋱⋮⎝−1⋯−⎠Теорема о неявном способе задания многообразия.(1 … ) ∈ , 1 ≤ ≤ , = 0 ⊆ 1 (1 … ) = 0⋮� определена на D и непрерывно дифференцируема в D (1 … ) = 0∎Система имеет решение, и для любых решений (1 … ) выполняется � (1 , … , )� = .�����������матрица ×Тогда M – множество решений данной системы, которое является гладким многообразиемразмерности n-m.Доказательство.Пусть a – решение системы, т.е.

∈ (a существует, т.к. по условию система имеет решение)11 ⎛ ⋮⋯⋱⋯1⋮ ⎞ () = ⇒ существует минор, равный ⇒ б.о.о. будем считать, что это⎝ 1 ⎠первые m столбцов, т.е.11� ⋮1⋯⋱⋯1⋮ � |=≠ 0 ⇒ Выполняется условие теоремы о неявном отображении⇒∃ – окрестность точки a, W – окрестность (+1 … ), : → , т. ч. ∈ , () = 0 ( = 1 … ) ⇔ (+1 … ) ∈ , = (+1 , … , ), = 1 … По предыдущей теореме 1 … определяют гладкое многообразие размерности − .∎ЗамечаниеПо теореме о неявной функции непрерывно дифференцируема k раз, если непрерывнодифференцируема k раз, значит если непрерывно дифференцируема k раз в условияхпоследней теоремы, то можно выбрать в окрестности любой точки такую параметризацию, чтоона k раз непрерывно дифференцируема.Билет 19.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий