1611689328-870f4458e3fdc21d849e45aaa207a81a (826788), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Признак Вейерштрасса.∞∑∞=1 () , ∈ ; | ()| ≤ ∀ ∈ . Если сходится, то ∑=1 () сходится равномернона .Доказательство.∑ сходится ⇒ для него выполнен критерий Коши, т.е.+∀ > 0 ∃(): > , > 0 ⇒ � � � < ≥ 0 ⇒ в критерии модуль можно убрать++=+1=+1=+1+� � ()� ≤ � | ()| ≤ � < =+1Признак Абеля равномерной сходимости ряда.∎∞� () () , ⊂ =11. ∑∞=1 () - сходится равномерно на D2. () монотонна по k3. () равномерно ограничена, т.е. | ()| ≤ ∀ ∈ Доказательство.+Надо показать, что ∀ > 0 ∃(): > , > 0 ⇒ �∑=+1 () ()� < ⋅ По лемме Абеля+� � () ()� ≤=+1⏟константа+�|+1 ()| + �+ ()�� ⋅ max � � ()� ≤ ⋯Т.к. () равномерно сходится, то выполняется критерий Коши+1≤≤=+1∀ > 0 ∃(): > , > 0 ⇒ � � ()� ≤ (∀ ∈ )=+1Возьмём из этого определения , , , , оценку суммы:… ≤ ⋅ 2 ⋅ ⇒ ряд равномерно сходится.∎Признак Дирихле равномерной сходимости ряда.∞� () () , ⊂ =11.

|∑=1 ()| ≤ < ∞ ∀ ∀ ∈ 2. () монотонна по k3. () ⇉ 0→∞Доказательство.По лемме Абеля+� � () ()� ≤=+1+�∑=+1 ()�⏟+константа+�∑=1 ()�|+1 ()| + �+ ()�� ⋅ max � � ()� ≤ ⋯− ∑=1 ()�(1)=+1Причём=≤ 2 ⇒ max|… | ≤ 2(3) ⇋ ∀ > 0 ∃(): > ⇒ ∀ ∈ | ()| ≤ . Возьмём , ⇒ ⋯ ≤ ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ рядравномерно сходится.∎Пример.∞�=11sin ; = [, 2π − δ], δ > 0; uk () = ; () = sin Выполнены условия 2 и 3 признака Дирихле.

Проверим 1: � sin ⋅ sin 2 = ⋯sin =1=12 − 1 + sin; sin ⋅ sin = (cos( − ) − cos( + ))cos − cos = −2 sin2221∞cos − cos � + � 1121122≤== …= � �cos � − 2� − cos � + 2� � =2 sinsin =1sinsin2222Значит ряд равномерно сходится(при = 0 нельзя).Билет 26. Теорема о перестановке предельных переходов.(, ), ∈ ⊂ , ∈ ⊂ , − предельная т.

, − предельная т. (, ) �⎯� () (∀ ∈ ); (, ) �⎯� () (∀ ∈ )� sin =1→→Если хотя бы в одном из двух случаев стремление равномерное, то тогда:∃ lim () ; lim () = lim ()∃ lim () ,→→→���������→������перестановка пределовДоказательство.Для определённости, пусть (, ) ⇉ (), т.е. выполняется критерий Коши равномернойсходимости:→∀ > 0 ∃() > 0: ′ , ′′ ∈ , 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ |(, ′) − (, ′′)| < (,′)(, ′′)� ≤ (∗)Т.к. ∀ ∈ , то можно перейти к пределу lim � ����� − �����→′)∃ lim ,т.к.(∗) = �lim (, − lim (, →′ ′′→‖ ′′′ )�−//−= |( ′ ) − ( ′′ )| ≤ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ |( ′ ) − ( ′′ )| ≤ Итого: ∀ > 0 ∃() > 0: , ∈ , 0 <⇒ выполняется критерий Коши для ⇒ ∃ lim () = .→Проверим, что = lim () :по опр.

|() − | = |() − (, 0 ) + (, 0 ) − | = |() −→(, 0 ) + (, 0 ) − ( 0 ) + ( 0 ) − | ≤ |() − (, 0 )| + |(, 0 ) − ( 0 )| + |( 0 ) −| < ⋯По определению равномерной сходимости:∀ > 0 ∃1 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 1 ⇒ ∀ ∈ |(, ) − ()| < По определению предела :∀ > 0 ∃2 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 2 ⇒ |() − | < Выберем 0 : 0 < ‖ 0 − ‖ < min(1 , 2 ), подставим его и зафиксируем… < 2 + |(, 0 ) − ( 0 )| < ⋯0)0 ),(, �⎯� ( т. е.

по опр ∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ |(, 0 ) − ( 0 )| < , где =→(, 0 ).Выберем 0 < ‖ − ‖ < как в предыдущем определении, тогда… < 3 ⇒ ∃ lim () = →Билет 27. Теорема о непрерывности предельной функции.• (, ) – непрерывна на (∀ ∈ ); (, ) ⇉ () ⇒ () непрерывна на .Доказательство.→∎(, ) – непрерывна на (∀ ∈ ) ⇒ ∃ lim0 (, ) = �����( 0 , ) (∀ ∈ ); ≔ 0 ⇒ для fR→()выполним теорему о перестановке предельных переходов ⇒ lim⇒ lim0 () = ( 0 ) ⇒ – непрерывна на D.→→( 0 , )�����( 0 ),т.к.равн.сх.= lim0 ()→Билет 28. Теорема Дини о частичном обращении теоремы о непрерывности предельнойфункции.(, ), ∈ ⊂ , ∈ , компакт, f монотонна по y при фиксированном , ↗ .

На разных xможет быть разный характер монотонности.∀ (, ) �⎯� (), (, ) и () непрерывна по на ⇒ (, ) ⇉ ()→∎→Доказательство.Рассмотрим (, ) = |(, ) − ()| ≥ 0. При фиксированном y, g – непрерывна по x, gмонотонна по y, причём по y монотонно убывает, т.к.

≥ 0 и → 0, (, ) �⎯� 0.→От противного. f не сходится равномерно, тогда g не сходится равномерно, тогда из определения⏟ ⇒равномерной сходимости: ∀ > 0 ∃() > 0: 0<����� − ��< ⇒ ∀ ∈ (, ) <����По =1↗∃0 > 0 ∀ > 0: ∃ ∈ , , 0 < − < , но ( , ) ≥ 01найдём , : ∈ , 0 < − < и ( , ) ≥ 0(,)≥0Пусть монотонно возрастает. Этого всегда можно добиться.

Пусть мы уже выбрали1 … , 1 … , тогда выберем +1 следующим образом:10 < − +1 < min �, − � , +1 ∈ , (+1 , +1 ) ≥ 0 + 1Т.к. D – компакт, то из { } можно выбрать � � �⎯⎯� ∈ . Заметим, что если < , то <→∞ ⇒ ( , ) ≥ � , �, т.к.

g монотонно убывает по y, т.е. при < � , � ≥� , � ≥ 0 , зафиксируем, → ∞ ( непрерывна по ) ⇒ lim ( , ) = (, ) ≥→∞0 > 0, (, ) ↛ 0 → ∞, но (, ) �⎯� 0 ⇒ противоречие, значит f равномерно сходится.→Теорему можно сформулировать также для последовательностей функций и рядов.∎Билет 29. Теорема об интеграле предельной функции(о вынесении предельного перехода подзнак интеграла)(, ), ∈ = [, ] ⊂ , ∈ ⊂ , – предельная точка множества , (, ) ⇉ (),∀ –интегрируема(∃ ∫ (, ) ).Тогда∃ ∫ ()=lim ∫ (, ) .→ →Доказательство.−1Вспомним критерий интегрируемости: ∀ > 0 ∃ разбиение : ∑=0 ()∆ < , где ={0 … }, = 0 < 1 < ⋯ < −1 < = , =sup() − (),,∈[ ,+1 ]∆ = +1 − И определение равномерной сходимости:∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] |(, ) − ()| < 0Зафиксируем , т.к.

0 < ‖ 0 − ‖ < ⇒ |(, 0 ) − ()| < ∀. f интегрируема, значит−1выберем , т. ч. ∑=0 �(, 0 )�∆ < .Рассмотрим насколько отличается () и �(, 0 )�. () =sup |() − ()| = sup|() − (, 0 ) − () + (, 0 ) + (, 0 ) − (, 0 )|,∈[ ,+1 ]≤ sup|() − (, 0 )| + sup|() + (, 0 )| + sup|(, 0 ) − (, 0 )| ≤ ⋯sup|() − (, 0 )| < по выбору 0 .Следовательно,−1−1=0=0… ≤ 2 + �(, 0 )�� ()∆ ≤ � �2 + �(, −10 )��−1−1=0=0∆ = � 2∆ + � �(, 0 )�∆= 2( − ) + � �(, 0 )�∆ <в силу выбора 2( − ) + = (2( − ) + 1)=0Т.е.

выполняется критерий интегрируемости ⇒ ∃ ∫ () .Докажем утверждение теоремы, проверив определение предела. Т.к. (, ) ⇉ (), т.е.→∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] |(, ) − ()| < То ∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ − ‖ < ⇒ ∀ ∈ [, ] �∫ (, ) − ∫ () � ≤∫ |(, ) − ()| < ∫ = ( − ) ⇒ ∫ () = lim ∫ (, )→∎Билет 30. Теорема о дифференцировании предельной функции.(, ), ∈ = (, ) ⊂ , ∈ ⊂ , – предельная точка , ∀ (, ) имеет производную,т.е. ∃(, );(, ) ⇉ (). ∃ 0 ∈ : ( 0 , ) имеет предел при → ⇒→(, ) ⇉ (), ′ () = () ∀ ∈ .→Доказательство.

∈ (, )Рассмотрим вспомогательную функцию (, ) =(,)−(,)−; (, ) �⎯�→ (, ) . определена на ∈ (, ) ∖ {}, ∈ . Существует ли lim ? Докажем, что существует, притом→равномерно. Проверим критерий Коши равномерной сходимости.(, ′ ) − (, ′ ) (, ′′ ) − (, ′′ )| (, ′ ) − (, ′′ )| = ��− − − |[(, ′ ) − (, ′′ )] − [(, ′ ) − (, ′′ )]|=⋯=| − |Пусть [(, ′ ) − (, ′′ )] = Φ(), ′ и ′′ фиксированы.Т.к.…=�Φ() − Φ()′(, ′ ) −(, ′′ )� < �=� Φ��� () � = � − лежитмежду и (, ) ⇉ (), то выполняется критерий равномерной сходимости, т.е.(, ′′ )� < ⇒∀ > 0 ∃ > 0: 0 < ‖ ′ − ‖ < , 0 < ‖ ′′ − ‖ < ⇒ ∀ � (, ′ ) −Выполняется критерий равномерной сходимости для (, ), т.е.

(, ) равномерно сходится{} при → . Пусть = 0 , тогдана (,∖������)��� 0 (, ) =⇒��(, ) − ( 0 , )�( − 0 ) +0 (,��⇒ (, ) = ) ���������� − 0независит от (, ) ⇉0 ()0( , )→⇉(,)→(0)⇉ 0 …⇒�⇒⇉ 0 …0(, )�����имеет предел,не зависит от ⇉ 0 …�⎯�(,) () ⇒→∀ > 0 ∃1 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 1 ⇒ ∀ ∈ 0 |(, ) − ()| < ∀ > 0 ∃2 > 0: 0 < ‖ − ‖ < 2 ⇒ |( 0 , ) − ( 0 )| < Если = min{1 , 2 }, то (, ) ⇉ ().→� (, ) равномерно сходится на к() − ()при → − (, )→ По теореме о перестановке предельных переходов:() − ()∃ lim= lim(, )�����������→→������ − ��� (, ) �⎯�′()()Т.к.

a – произвольная, то ∀ ′ () = ().Билет 31.Вероятно, формулировка для последовательностей не нужна, либо нужна в предыдущихбилетах.1. Теорема о внесении предела под знак суммы рядаФормулировка теоремы для последовательностей: () ⇉ (), ∈ ⊂ , − предельная т. , () �⎯� ∈ →∞∎→Тогда ∃ lim () , ∃ lim ; lim () = lim . Доказательство аналогично предыдущему, нужно→→∞→→∞только заменить y на n.Формулировка теоремы для рядов:∞Тогда∑∞=1 ()� () − равномерно сходится на ; ∃ lim () = ()=1= lim→∑∞=1 ().→Для доказательства нужно переформулировать через () идоказано по формуле для последовательностей функций.2. НепрерывностьФормулировка для последовательностей функций: () – непрерывна на ; () ⇉ () ⇒ () непрерывна на .→∞Формулировка для рядов:∀ – непрерывна ; ∑∞=1 () равномерно сходится на ⇒ ∑ () непрерывен на .3. ИнтегрированиеФормулировка для последовательностей функций: () ⇉[,] () ⇒ ∃ � () = lim � ()→∞Формулировка для рядов:→∞∞∑∞=1 () равномерно сходится на [, ], () интегрируемы ⇒ ∫ ∑=1 () =∑∞=1 ∫ ()4.

ДифференцированиеФормулировка для последовательностей: (), = (, ), ∃′ () ⇉ (); ∃ lim ( 0 ). Тогда () ⇉ () и ∃ ′ () = ().→∞→∞→∞Формулировка для рядов:∞′′∑∞=1 () , = (, ), ∃ () на ; ∑=1 () сходится равномерно на D,∞∞∞′0′∑=1 ( ) сходится. Тогда ∑=1 () сходится равномерно и (∑∞=1 ()) = ∑=1 ().Билет 32.Сумма ряда ∑∞=1sin =−2, где ∈ (0,2) − разрывна, рядсходится равномерно на (, 2 −���������билет 25).Если можно было бы дифференцировать, то производная ∑∞=1 cos – расходящийся ряд, ноконечную сумму ∑=1 cos посчитать можно.−Рассмотрим вспомогательный ряд ∑∞⋅=1 например ∈ (−, ). (0) = ∑sin sin = ().

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий