1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Показать, что i5 - эквивалентность наD - уль1J)афильтр тогда и только тогда, когда В разбиваетсяотношением D на два класса эквивалентности.2. Фильтр D на множестве J называется счетно полным, если длялюбых ai Е D, i Е w, множество П ai принадлежит D. Ясно, чтоВ илюбой главный фильтрчтонамножествеwDненаiE"'J является счетно полным. Показать,существуетнеглавногосчетнополногоультраф_ильтра.3.Пусть D - отношение эквивалентности на В из упражнения 1.Пусть B(D) = {Dь I Ь ЕВ} (множество Dь определено в §2.1и равно { а I aDb, а Е В}). Определим на B(D) операции U, n, следующим образом:а) m1U m2= Da1Ua2, б)m, П m2 = Dа1Па2,в) m, =DapГл.80где ai Еmi, i= 1, 2.2.Теория множествПоказать, что такое определение не зависитот выбора элементов ai Еmi и (B(D), U, n, -) является булевойалгеброй.§ 2.4.Мощность множестваДля бесконечных множеств обобщением понятия числа элементовможет служить понятие мощности.Определение.
Будем говорить, что мощность множества А меньше или равна мощности множества В (и обозначать !А! ~ !В!),если существует инъективное отображениеf:А----,В. Говорим, чтомощности множеств А и В равны или что А и В равномощны(обозначаемIAI = !BI),если существует биективное отображение Ана В.Заметим, что мы пока не определили, что такое мощность множества А, а определили только два двухместных отношения на множествах. Именно эти отношения и являются основными понятиями этогопараграфа, а введенная ниже мощность появляется лишь для удобстваизложения.Отметим некоторые свойства введенных отношений, вытекающиенепосредственно из определения:а)б)в)IAI ~ IA!;(IAI ~ IBI и IBI ~ ICI) ===} IAI ~ ICI;IAI = !BI ===} (IAI ~ IBI и IBI ~ IAI).Следующая теорема показывает, что в свойстве в) можно заменитьна===}-<=с} .Теорема2.4.1и В выполненоIAI(Кантора-Бернштейна). Если для множеств А~ !В! иIBIДоказательство.
Пусть~IAI,f:тоIAI = IBI.А----, В,g:В---, А-инъективныеотображения. По принципу кардинального упорядочения существуютотношения И~ А 2 и V ~ В 2 , для которых (А, И) и (В,V) - кардинально упорядоченные множества. По теореме об изоморфизме вполнеупорядоченных множеств и симметричности условий теоремы для Аи В можно считать, что существует биективное отображениеhмножества А на начальный отрезок Х вполне упорядоченного множества(В,Отображение g ·V).hбудет инъективно отображать В в Х.
Изкардинальной упорядоченности (В,зом,h-ТеоремаIP(A)I~V)получаем Хбиективное отображение А на В.!AI2.4.2=В. Таким обраО(Кантора). Для любого множества А условиене имеет места.§ 2.5.Ординалы и кардиналы81До к аз ат ел ь ст в о. Предположим, что существует инъективноеf:отображениеР(А) -+ А. Рассмотрим множествоК= {!(Х)1f(X).f. Х,Х ~ А}.Еслиf(K) Е К, то из определения К получаем J(K)J(K).f.К, то по определению множества К получаемПолученное противоречие показывает, что такоеТеоремаf.f.К. Еслиf(K) Е К.не существует.О(о сравнении множеств по мощности). Для лю2.4.3IAIбых множеств А и В либо~IBI, либо IBI ~ IAI.До к аз ат ель ст в о. По теореме 2.2.
7 существуют такие И ~ А 2и V ~ В 2 , что Qt = (А, И) и ~ = (В, V) - вполне упорядоченныемножества. Утверждение теоремы теперь следует из теоремы§ 2.5.Вдальнейшеммы2.2.13.ООрдиналы и кардиналыбудемиспользоватьаксиому регулярности,утверждающую, что в любом множестве Х есть элемент а Е Х, неимеющий общих с Х элементов, т.
е. аn Х = 121.Определение. Множество Х называется транзитивным, если длялюбого Ь Е Х выполнено Ь ~ Х.Из аксиомы регулярности вытекает, что любое транзитивное множество содержит в качестве своего элемента пустое множество 121. Изэтой аксиомы также следует, что не существует множествас условиемan+I{ апI п Е uJ}Е ап.
В частности, не существует множества Х сусловием ХЕ Х.Для множества Х определим двухместное отношение е(Х), состоящее из таких пар (а, Ь) Е Х 2 , что а Е Ь или а= Ь.Изаксиомы регулярности получаем, что еслитранзитивно, то (Х, е(Х))множество. В частности, если (Х, е(Х))множество, то (Х, е(Х))-отношение е(Х)фундированное частично упорядоченное--линейно упорядоченноевполне упорядоченное множество.Определение.
Множество а называется ординалом, если оно тран-зитивно и (а, е(а))Предложение-линейно упорядоченное множество.2.5.1(свойства ординалов).1).Элементы ординала являются ординалами.2).Если а3).Если аординал и--(3Е а, тоординал и Х(а, е(а)), то ХЕ а.-(3= 0((3, (а,е(а))).собственный начальный отрезок82Гл.Если а,4).5).Теория множествординалы и а(3 -Если Х(Х, е(Х))2.то а Е# (3,множество ординалов,(3или(3 ЕUХ -тоа.ординал и- вполне упорядоченное множество.Доказательство.тивности а следует(31).
Пусть а -~ а, поэтомуординал и((3, е((З)) -(3Е а. Из транзилинейно упорядоченноемножество. Для доказательства транзитивностиные 'У Е(3иt5(3 возьмем произвольt5 (j (3. Так как (а, е(а)) - линейнот. е. (3 Е б или (3 = б. В обоих слуЕ т Предположим, чтоупорядоченное множество, то (Зеб,чаях множество{(3, 'У, б}будет противоречить аксиоме регулярности.2).
Из определения отношения е((З) получаем (3 ~ 0((3, (а,е(а))).Обратное0((3,включениеследуетизопределенийначального3).Так как (а, е(а))-вполне упорядоченное множество, то существует наименьший элемент ао в ((а\ Х), е(аХотрезка(а,е(а))) и отношения е((З).= ао.\ Х)). Покажем, чтоУсловие ао ~ Х следует из транзитивности а и минимальностиэлемента ао. Для доказательства включения Х ~ ао возьмем произвольный а Е Х. Предположим, что а(jао. По определению отношенияе(а) и линейной упорядоченности (а, е(а)) мы имеем аоеа.
Так какХначальный отрезок (а,е(а)), то ао Е Х, что противоречит выбо-ру ао.4). Предположим, что а# (3, а (j (3 и (3 (j а. Пусть Х - объедине((3, е((З)). Тогда Х собственный общий начальный отрезок (а, е(а)) и ((3, е((З)). Из свойств2) и 3) получаем, что Х U { Х} - также общий начальный отрезок(а, е(а)) и ((3, е((З)). Получаем противоречие с выбором Х и условиемние всех общих начальных отрезков (а, е(а)) иХ(jХ.5). Транзитивность множестваUХследует из транзитивности элементов Х. Линейная упорядоченностьсвойствства4)1)и4).получается из(UX,e(UX))Вполне упорядоченность (Х,е(Х)) вытекает из свойи аксиомы регулярности.Если а-Оординал, то ясно, что множество аординалом, который будем обозначать через аОрдинал, отличный от 0также являетсяи не имеющий вид а+предельным. Ясно, что ординал бпредельным, когдаU {а}+ 1.-f.1,называется0 тогда и только тогда являетсяU б = б.Ординал называется конечным или натуральным числом, если онне является предельным икаждый его элемент также не являетсяпредельным.Очевидно, что множества:0, {0}, {0, {0} }, {0, {0}, {0, {0}} }, ...§ 2.5.Ординалы и кардиналы83(каждый последующий содержит все предыдущие) будут натуральнымиО,числами,которыемыбудемобозначатькакобычночерез1, 2, 3, ....Из свойств ординалов1)и2)вытекает, что элементы натуральныхчисел являются натуральными числами.
Таким образом, множествоw всех натуральных чисел транзитивно. Из свойства 5) получаем,что uJ ординал. Множество натуральных чисел w можно такжеопределить как такой ординал, все элементы которого не предельны.Теорема2.5.2(о представлении вполне упорядоченных множеств).Для любого вполне упорядоченного множества 2(ет единственный ординално=(А, И) существуa(2t) такой, что (a(2t),e(a(2t))) изоморф2t.До к аз ат ель ст в о.ния2.2.11,Единственностьтак как в силу предложенияординалов а,(32.5.1следуетизпредложеиз любых двух различныходин является начальным отрезком другого.
Рассмотрим множество Х ~ А всех таких а Е А, что существует ординал а(а)иизоморфизм !а вполне упорядоченного множества (а(а), е(а(а)))на (О[а], Иn (О[а]) 2 ),изоморфизм!агде О[а]определенпо=О[а, ~]. По предложению 2.2.11а Е Ходнозначно.Пустьс Е Хи(Ь, с) Е И. Очевидно, что ао = {f,;- 1a I а Е О[Ь]} - ординал. Так как!с ~ ао - изоморфизм (ао, е(ао)) на (О[Ь], И n (О[Ь]) 2 ), то Ь Е Х иfь!о=!с ~ ао,= UUa I агде fЗо-следовательно,fь ~ !с-ординал, равныйU{ а(а) 1адоказано. Предположим, что Х2tи так какТаким образом,отображениеЕ Х} будет изоморфизмом (fЗо, е(fЗо)) на (Х, И2t -=f.Е Х}. Если ХА.
Так как Х-=n Х 2 ),А, то всеначальный отрезоквполне упорядоченное множество, то существуеттакое ао Е А, что Х = О(ао). Очевидно, что fo U {(fЗо,ао)} являетсяизоморфизмом ординала fЗо U {fЗо} на Х U { ао} = О[ао], поэтому ао Е Х,что противоречит выбору ао.ООрдиналa(2t) из предыдущей теоремы назовем типом вполне2t.Будем говорить, что ординал (3 меньше ординала а (обозначать(3 < а), если (3 Е а. Если (3 < а или (3 = а, то будем писать (3 ~ а.В силу предложения 2.5.1 любое множество ординалов вполне упорядочено отношением ~- Если а,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
