1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 15
Текст из файла (страница 15)
0= {Х~ АIХверхняя грань Х в-для любого Х Е У.21}Предпо21не имеет максимальных элементов. Тогда семействоХI Х Е У}= {В(Х) \состоит из непустых множеств. Действитель- максино, если В(Х) ~ Х для некоторой цепи ХЕ У, то х Е В(Х)мальный элемент в А, поскольку из (х, у) Е И следует у Е В(Х) ~ Х,откудаем,(у, х) Е И, так как х Е В(Х). Из аксиомы выбора получачто существует такоеh(X)Е В(Х)\отображениеhмножества УвА,чтоХ для всех Х Е У. В дальнейшем начальный отрезок(наименьший элемент) линейно упорядоченного множества (Х, Иn Х2 )будем называть начальным отрезком (наименьшим элементом) Х.Цепь Х назовем отмеченной, если для любого собственного начального отрезка Х1 цепи Х элементh(X1)является наименьшим§ 2.2.Частично упорядоченные множества71элементом в Х \ Х1.
Множество всех отмеченных цепей обозначимчерезZ.Так как цепь е не имеет собственных начальных отрезков, тое Еи СZ. Ясно, что если ХЕ Z, то Х u {h(X)} Е Z. Пусть Х 1 , Х2 Е Z-объединение всех общих начальных отрезков Х1и Х2. Поп.3) предыдущего предложения С - общий начальный отрезок Х1и Х2. Тогда С = Х1 или С = Х2, так как в противном случае поп. 4) предыдущего предложения и условия Х1, Х2 Е Z множествоС U {h(C)} было бы общим начальным отрезком Х1 и Х2, что противоречит определению С и условию h( С) (j С. Таким образом, длялюбых отмеченных цепей Х 1, Х2 одна изотрезком другой. Следовательно, С*= Uних является начальнымХ будет цепью в Qt и любаяXEZотмеченная цепь Х будет начальным отрезком цепи С*.Покажем, что С* является отмеченной цепью. Пусть Аный начальный отрезок цепи С*.
В силу пп.2)иl)-собственпредыдущегопредложения для любой отмеченной цепи Х либо выполняется включение Х ~ А, либо А является собственным начальным отрезком Х,следовательно,h(A)будет наименьшим элементом в ХС* является объединением отмеченных цепей, тошим элементом в С*h(A)Е Z,\А. Так какбудет наимень\ А. Мы показали, что С*следовательно,U {h(C*)} Е Z, а это противоречит определению С* и условиюh(C*) (j С*.ОС*=Определение. Если Qtдоченное множество, то121(А, И)-фундированное линейное упоряназывается вполне упорядоченным множеством.Теорема2.2.7(принцип полного упорядочения).
Каждое множество А может быть вполне упорядочено, т. е. для каждого множества А существует И ~ А 2 , для которого Qt(А, И) - вполне=упорядоченное множество.До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим множествоW= {(Х, И)1(Х, И) -Определим на множествевполне упорядоченное множество, Х ~ А}.W бинарное отношение ~:Ясно, что это отношение будет частичным порядком наПусть { (Xi, Ui) 1 i ЕI} -W.цепь в (W, ~).
Очевидно, что Qt== ( U Xi, U ui) является линейно упорядоченным множеством и поiEJiEJсвойствам начальных отрезков каждоеXiявляется начальным отрез-72Гл.комU XiПусть У ~2t.2.Теория множестви У -=1- е. Тогда Уn Xio-=1- е для некоторогоiEJioЕ(Уn Xi 0 , Иiо n У 2 )J. Так как (Xio, Ui0 ) - вполне упорядоченное множество, тоимеет минимальный элемент уо. Так как Xio - на-чальный отрезок 2t, то уо1i ЕUi) n У2 ).iEJЯсно, что 2( является верхней гранью для цепиТаким образом,{ (Xi, Ui)минимальный элемент \ У, ( U-2t Е W.J} в (W, -<,).Поэтому по принципу максимума(W, -<,)имеет максимальный элемент (А*, И*).
Если существует ао Е А \ А*,то (АоU {ао},И1)ЕW, где И1=И*U {(а,ао) 1 а Е А*} U {(ао,ао)},(W, -<,). Таким образом,что противоречит максимальности (А*, И*) в(А, И*)-вполне упорядоченное множество.Предложение2.2.8жеств). Пусть 2(=О(характеризация вполне упорядоченных мно(А, И)-линейно упорядоченное множество.Следующие условия эквивалентны:1) 2( - вполне упорядоченное множество;2) любой собственный начальный отрезок 2( открыт;3) (J, ~) - вполне упорядоченное множество, где I множествовсех начальных отрезков2t.До к аз ат ель ст в о.
Ясно, что для любых элементов а, Ь Е А условие (а, Ь) Е И равносильно условию О(а,1)=}2).Если 2( -ственный начальный отрезок2t,то Хэлемент множества (А\ Х, (А\ Х)2)=}3).2t)~ О(Ь,2t).вполне упорядоченное множество и Х= О(ао, 2t),где аособ-- наименьшийn U2 ).Предположим, что непустое подмножествоJ ~ I не имеет2) любой собственныйХ = О( ах, 2t). В силу замечания{ах I Х Е J} не имеет наименьнаименьшего (по включению) элемента. В силуначальный отрезок Х ЕJимеет видв начале доказательства, множествошего (по отношению И) элемента. С другой стороны Псобственным начальным отрезком и покак а*2)не принадлежит этому пересечению, то а*какому-то Х* изJ.По2)имеет место Х*J являетсяимеет вид О(а*,2t).= О(ао, 2t)для некоторогоэлемента ао, тогда (ао, а*) Е И. Так как ао не принадлежит Па*= ао.Следовательно, Х*-Такне принадлежитнаименьший элемент вJ,тоа это невозJ,можно по предположению.3)=}1).
Предположим, что множество У ~ А не имеет наименьшего (по отношению И) элемента. Тогда множество {О(а,имеет наименьшего (по отношению~)2t)элемента.Определение. Вполне упорядоченное множество 2(1а Е У} неО=(А, И) называется кардинально упорядоченным множеством, если не существуетинъективного отображениязок2t.fни в какой собственный начальный отреТеорема73Частично упорядоченные множества§ 2.2.(принцип кардинального упорядочения). Каждое2.2.9множество А может быть кардинально упорядочено, т.
е. для каждого множества А существует И ~ А2 , для которого 21(А, И) -=кардинально упорядоченное множество.До к аз ат ель ст в о.По принципу полного упорядочения существует Ио ~ А 2 , для которого 210(А, Ио) -=вполне упорядоченноемножество. По предыдущему предложению существует Хо ~ А, являющийся наименьшим (по включению) начальным отрезкомкоторого существует инъективное отображениеf:для21,А --+ Хо. Возьмемследующее бинарное отношение на А:И=Покажем, что21 ={ (а, Ь)(А, И)1(!а,fb)Е Ио}.кардинально упорядоченное множество.-Рефлексивность, антисимметричность и транзитивность и линейностьотношения И сразу следуют из этих свойств отношения Ио.Еслинепустое множество У ~ А не имело бы наименьшего элемента по отношению И, то множествоJ(Y)не имело бы наименьшего элемента по21 -отношению Ио.
Таким образом,вполне упорядоченное множество.Предположим, что существует инъективное отображение g : А--+--+ Х1, где Х1-собственный начальный отрезок=предложению Х121.Ясно, что g · f будет инъективным отображением А вкакПо предыдущемуО(а1,21) для некоторого элемента а1 Е А\ Х1.O(f(a1), 210).минимальности Хо.ООпределение. Пусть21 =(А, И)21на~.=и ~упорядоченных множества. ОтображениефизмомТаксобственное подмножество Хо, то это противоречитO(f(a1), 210) -(В,Аf:V) --..два линейноВ назовем изоморесли(а, Ь) Е И -<===? (!а,Будем говорить, что21fb)ЕV.(2.2)и ~ изоморфны, если существует изоморфизмодного из них на другое.Заметим, что изоморфизмжением.
В самом деле, еслиf:faА-..= fb,В является инъективным отобрато из рефлексивностиVи(2.2)получаем (а, Ь) Е И и (Ь, а) Е И, следовательно, из антисимметричностиИ получаем а= Ь. Если1- 1-Предложение-изоморфизм2.2.10. Если f 21 на линейноченного множестваХf -21на~.то очевидно, чтоизоморфизм~ на 21.изоморфизм линейно упорядоупорядоченное множество ~ и(открытый, замкнутый) начальный отрезок(открытый, замкнутый) начальный отрезок~-21,тоf(X) -Гл.74До к аз ат ел ь ст в о.Теория множеств2.оставляетсячитателювкачествелегкогоупражнения.ОВ оставшейся части параграфа мы докажем важные свойства вполнеупорядоченных множеств.Если Х и Уначальные отрезки линейно упорядоченных мно-жеств ~ = (А, И) и ~ = (В, V) соответственно и (Х, И n Х 2 ) изоморфно (У, V n У 2 ), то в дальнейшем будем говорить просто, что Хизоморфно У.ПредложениеЕсли2.2. lt.f:А ---+ В иg: А ---+ В - два изоморфизма вполне упорядоченного множества ~=(А, И) на некоторыеначальные отрезки линейно упорядоченного множества~= (В,то!=V),g.Q = {а Е А 1 /а= ga }.fb = inf(B \ g[O(b, ~)], ~), следовательно, fb =предложению 2.2.4 имеем Q = А, и предложение 2.2.11 докаДо к аз ат ель ст в о.
Рассмотрим множествоЕсли О(Ь,= gb.Пото~) <;;; Q,зано.ОПредложение2.2.12.Никакие два различных начальных отрезкавполне упорядоченного множества ~ не изоморфны между собой.До к аз ат ел ь ст в о. Пустьf -изоморфизм начального отрезка Хна начальный отрезок У. Так какidxто по предложениюfТеорема2.2.13жеств). Если ~=2.2.11имеемявляется изоморфизмом Хна Х,= idx,следовательно, Х= У.О(об изоморфизме вполне упорядоченных мно(А, И) и ~=(В,V) -вполне упорядоченныемножества, то выполняется ровно одно из следующих условий:1)~ изоморфно~;2) ~ изоморфно собственному начальному отрезку ~;3) ~ изоморфно собственному начальному отрезку ~При этом соответствующие изоморфизмы единственны.До к аз ат ел ь ст в о.нияЕдинственностьследуетизпредложе2.2.11.Рассмотрим множество Р= {!1f -изоморфизм некоторого начального отрезка ~ на начальный отрезокнийF2.2.10= Uи2.2.11для любыхf, gЕР либо~}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
