1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 18
Текст из файла (страница 18)
, an - ординалы, то наибольший поупорядоченного множестваотношению ~ элемент множества {а,,... , an}будем обозначать черезmax{ а,, ... , an}Определение. Ординал х называется кардиналом, если он не является равномощным никакому меньшему ординалу.Гл.842.Теория множествЗаметим, что ординал а является кардиналом тогда и только тогда;когда (а, Е(а))- кардинально упорядоченное множество.ПредложениеНатуральные числа и множество w всех2.5.3.натуральных чисел являются кардиналами.До к аз ат ель ст в о. Так как 0от 0, то 0пусть п+ 1-наименьшее натуральное число, не являющееся кардина+лом.
Пусть f: п1 ----> пЕсли п - 1 (/с rangf илимножествоwне имеет подмножеств, отличныхкардинал. Предположим, что утверждение не верно и-+1-инъективное отображение и п (/с rang f.п - 1, то fп отображает п в подf(n) =п - 1 (/с w, что<::;; п,(Напомним, что пrневозможно по минимальности п+ 1 = {О, 1, ... , п}.)J(ko) =которого g(i)Еслиопределим отображениеi-/=- ko,п- 1 (/сиg(ko)v, что=g: п----> п, дляJ(n). Ясно, что g инъективно+ 1.- 1, ko < п,= J(i) для i <отображает п в v <::;;птоп,п,+ 1. Если бы wlnl для некоторого натурального числа п.lwl ~ lnl, т. е. п + 1 - не кардинал, чтоопять противоречит минимальности пне был кардиналом, тоТогда было быln + lllwl~~противоречит предыдущему.ОСледующая теорема позволяет выделить среди равномощных множеств канонического представителяТеорема-кардинал.Для любого множества Х существует един2.5.4.ственный кардиналIXI, равномощный Х.До к аз ат ел ь ст в о.
Единственность Х следует из определениякардинала, так как по свойствам ординалов из двух неравных ординалов один из них является собственным начальным отрезком другого.По принципу полного упорядочения и теореме о представлениивполнеупорядоченныхный Х. В качествеIXIмножествсуществуетберем ординал(3ординалао,равномощ~ ао, равномощный ао, всеэлементы которого не равномощны ао. Такой ординал существует повполне упорядоченности (ао, Е(ао)).ООпределение.
Для множества Х кардиналIXIиз теоремы2.5.4называется мощностью множества Х.Очевидно, чтоlal~ а для ординала а и а тогда и только тоlal = а. Заметим, что определенноеIXI ~ IYI на множествах Х и У сокардиналах IXI и IYI, введенному вышегда является кардиналом, когдав начале параграфа отношениеответствует отношению ~ натак: х1 ~ х2{=::::}(х1 Е х2 или х1=х2). Дадим точное определениесвойства быть конечным множеством, которым ранее мы пользовалисьинтуитивно.Определение. Множество Х называется конечным, еслии счетным, еслиIXI = w.IXIЕw,§ 2.5.Если ХОрдиналы и кардиналы85не конечное множество, то говорим, что Х бесконечно.-Заметим, что существуют бесконечные несчетные множества, болеетого, в силу теоремы Кантора мощность любого множества Х меньшемощности множества Р(Х).
Так как w -наименьший бесконечныйкардинал, то счетные множества имеют наименьшую мощность средибесконечных множеств. Очевидно, что конечное или счетное множество Х можно представить в виде Х= {an I пЕw},при этом последовательностьао, а1,... , an, ... ,nЕw,будем называть нумерацией множества Х. Ясно, что если У~ Х, тоIYl~IXI.Заметим,чтобесконечныйкардиналхнеможетиметьвид1 = а U {а}. В самом деле, предположим, что х = а+ 1.
Так какх бесконечен, то х (/:. w и, по свойствам ординалов, w - начальныйотрезок (а + 1, е-( а + 1)), поэтому отображение f: а + 1 ~ а, дляа+которого/3, если /3 (/:. w U {а},{J(/3) = 0, если /3 = а,/3 + 1, если /3 Е w,будет инъективно отображатьа+1-la + l l на а.Это противоречит тому, чтокардинал.ОДокажем следующую важную теорему.Теорема 2.5.5. Если множество А бесконечно, тоIAI = IA2 1.До ка за тел ьств о. Отображение f: А-+ А 2 , для которого f(a) =(а, а), будет инъективным, следовательно, IAI ~ IA2 1.
Предположим,что IA2 1~ IAI не выполняется. Тогда множество=Х= {аf а - бесконечный кардинал, а~не пусто, и пусть а 0 -IAIи а<la 2 1}наименьший элемент множества Х. Определимна множестве а5 отношение ~:max{/31, /32} < max{ ,'1, ,12} или{(/31,/32) ~ (,11,,12} ~ max{/31,/32} = max{,11,,12}, /31 < ,'1, илиmax{/31, /32} = max{ ,'1, ,12}, /31 = ,'1, /32 ~ 1'2·Очевидно, что ~ -линейный порядок на а5. Кроме того (а5,~) -вполне упорядоченное множество, так как для любого непустого подмножества У ~ а5 существуют непустые подмножестваУ1= {(/3, ,1)Е УI max{/3, ,'}~max{/3', ,1'} для любого (/3', ,1') Е У},86Гл.½ = {(8, 1 )Уз=Е У112.Теория множеств(3 ~ (3' для любого ((3', 1 ') Е У1 },{((3, 1 ) Е ½ 1 1 ~ 1 ' для любого ((3', 1 ') Е У2},и очевидно, что Уз содержит ровно один элемент и он является наименьшим по отношению ~ элементом У.Так как ао< la5I, то по теореме об изоморфизме вполне упорядоченных множеств и свойствам начальных отрезков вполне упорядоченных множеств (ао, е(ао)) изоморфно(Z, e(Z))для собственногоначального отрезка Z вполне упорядоченного множества (а5, ~).
Пусть(/Зо, 1о) Е а5 \ Z и до= max{f3o, 1 o}. Очевидно, что Z ~(до+ 1) 2 . Таккакао бесконечно, тоZи до также бесконечны и jдо+ ll =lдol<ао.Тогда по минимальности кардинала ао мы имеемПолучили противоречие.СледствиеоПусть А, В2.5.6.множества и хотя бы одно из-них бесконечно, тогдаа). Если А# 0 и В# 0, тоб).IAхBI = max{IAI, IBI};IA U BI = max{IAI, IBI}.Доказательство.
ПустьIAI =max{IAl,IBI}.а). Пусть Ьо Е В. Тогда отображениеf(a) =(а, Ьо), инъективно, поэтомуIAI~f:IAА -+ А х В, для которогохBI.ИзIBI~IAIи предыдущей теоремы получаемб). Очевидно, чтоIAI~IA U BI. Пусть f: В-+ А g: А U В-+ А х {О, l },отображение, тогда отображениеg(a) ={(а,О),(!а,1),инъективноедля которогоесли а Е А,если а ЕВ\ А,будет инъективным, поэтому из утверждения а) получаемIAUBI ~ IA х {О, l}I = IAI.оСледствие 2.5.7. а).
Если множество А бесконечно, то IAklдля любого натуральногоk>б). Если А бесконечно и А*= U{Ak I k Е w}, то IA*Iв). ЕслиW = max{IAl,w}.= IAIО.= IAI.множество слов алфавита А# 0, тоIWI =§ 2.6.Аксиоматическая теория множествДо к аз ат ель ст в о.цией поа) выводится из следствия872.5.6, а),индукk.б). Пусть ао Е А и/k:Ak -+ А, О<инъективные отобk < w, -ражения, существующие в силу утверждения а).
Тогда отображениеf:А*-+ w х А, для которогоfa= { (О, ао),если а= 0 Е л 0 ,(k, /ka),если а Е Ak \ (А0u ... u лk-l ), k >будет инъективным, поэтому в силу следствияIA*I~lw х AI = IAI.IAIОбратное неравенствоб). Так как для а Е А слова а, аа, ааа,w~ IWI.~...а),2.5.6,IA*IО,получаемочевидно.попарно различны, тоЕсли А бесконечно, то утверждение в) следует из утверждеIAI = п Е w,w.ния б). Еслиполучаем~IWIто очевидно, чтоIWI~lw*I,и снова по б)ОУпражненияПоказать, что множества целых, рациональных и алгебраических1.чисел счетны.Показать, что множества действительных и комплексных чисел2.равномощны, а множества действительных н натуральных чиселне равномощны.
(Указание. Заметить, что мощность множествадействительных чисел равнаIP(w)I,и применить теорему Кантора.)§ 2.6.Аксиоматическая теория множествZFи аксиома выбораОпределим множестваа)б)в)Vo = 0;Va = P(Vr,),Va = U Vr,,Va,если а=если агде а-ординал, следующим образом:{3 + 1;- предельный ординал.{,<аМножество Х, для которого существует ординал а с условиемХЕVa,назовем регулярным. Регулярному множеству Х можно сопоставить ординал р(Х), который называется рангом Х и определяетсякак наименьший ординал, для которого Х Е Vp(X).
Очевидно, что еслиХЕ У, то р(Х)< р(У),и если все элементы множества У регулярны,то само множество У регулярно и р(У)= (U{p(X)1Х Е У})+ 1.Отсюда получаем, что если множество Уо не регулярно, то оно имеетнекоторый нерегулярный элемент У,. Продолжая этот процесс, получаем последовательность Уа,Yi, ... , Уп, .. . ,для которойYn+IЕ Уп, п Еw.88Гл.Напомним,2.Теория множествчто аксиома регулярности утверждает, что в любомнепустом множестве Х существует элемент а Е Х, для которого выполнено Хnа =fZi.Еслибыуказанная вышеIпсуществовала, то множество {УпЕпоследовательностьпротиворечило бы аксиомеw}регулярности.
Таким образом, в силу аксиомы регулярности все множества регулярны, т. е.<<регулярногонакаждомкаждое множество получается на некотором шагепроцесса,>,шагеприполучаютсякотором,всеисходямножества,изпустогоэлементымножества,которыхужеполучены на предыдущих шагах. Это вполне согласуется с нашимиинтуитивными представлениями об образовании множеств.Аксиомы экстенсиональности и регулярности налагают определенные условия на отношение Е (принадлежности) и=(равенства), т. е.в определенном смысле ограничивают <<универсум,>, состоящий из множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
