1611143569-ed123092d132ff77d44213ca2a0f5b5a (825029), страница 33
Текст из файла (страница 33)
44. Проще всего удовлетворить условию задачи, пронеся однупластину мимо другой по кратчайшему пути и расположив их на расстоянии d одну от другой (могут быть и другие перемещения). Приэтом работа сил взаимодействия зарядов с полем неподвижной пластины по ту и другую сторону от нее компенсируется. Остается лишьвклад внешнего поля: A = −qE · 2d Можно найти работу и черезизменение энергии системы:A = Wкон−Wнач = C (E − Eконд)2 d2 2−C (E + Eконд)2 d2 2,A = −2CEEкондd2 = −2qEd.3. 45. В электрическом поле на плоскостях пластины наводятсязаряды q и −q такие, чтобы внутри пластины поле было равно нулю.
Поэтому q = U C = EdC. При выключении поля происходитпостепенная разрядка возникшего во внешнем поле заряженного конденсатора, при этом вся энергия конденсатора переход и в теплоту:Q = 4πε0E 2Sd/2.Закон сохранения энергии позволяет при решении избежать детализации процессов, происходящих при переходе из начального состояния вконечное.253Электрическая емкость.
Конденсаторы3. 46. При удалении пластины заряды стекают на пластины другого конденсатора. Поэтомуq = CU, 2q = C · 2U, U 0 = 2U, W = 4U 2 C 2 = 2CU 2.3. 47. Через время t высота электрона над плоскостью ABy = at2 2, где a – его ускорение, а вертикальная составляющая скорости vy = at. Через время `/v0 − t координата y = 0, т. е.2at2`a `+ at−t −− t = 0.2v02 v0Однозначно, так как t < `/v0, получаем√2− 2 `t=.2 v03. 48. Пусть ускорение и время движения частицы между пластиной A и сеткой равны a1 и t1, а между сеткой и высшей точкойтраектории a2 и t2. Потенциалы ϕA = 0, ϕG = ϕ, ϕB = 3ϕ, ускорение a2 = 2a1 = 2eϕ/m`.Тогда для движения частицы из высшейточки траектории имеем a2t22 2 = `/2. Из закона сохранения энергииследует, чтоmv02 mv02 cos2 α=+ 2eϕ.22Условие равенства нулю вертикальной составляющей скорости в высшей точке даетv0 sin α − a1t1 − a2t2 = 0.Искомая длина√ L = v0 cos α · 2 (t1 + t2) = 2 4 − 2 ` ctg α.3.
49. Ток прекратится, когда потенциал сетки G1 из-за осевшихна ней электронов станет равным потенциалу катода, т. е. нулевым.Так как тока нет, всю систему электродов можно рассматривать как254ОТВЕТЫ. Электричество и магнетизмсистему плоских конденсаторов. В частности, анод, две поверхностисетки G1 и сетка G2 образуют два конденсатора. Искомый заряд qравен сумме зарядов этих конденсаторов:q = q1 + q2, где q1 = −U1C1, q2 = −U2C2.Следовательно,U1U2q = −ε0S+.` − d1 d1 − d23. 50. ϕA = E/2, ϕB = 2E/3 или ϕB = E/3 в зависимости отрасположения конденсатора емкости 2C. ОкончательноϕAB = ϕA − ϕB = ±E/6 = ±1 В.3.
51. При сведении схемы к более простой эквивалентной нетрудно заметить, что трижды повторяется один и тот же элемент, которыйпонижает напряжение вдвое. Таким образом, искомая разность потенциалов UDF = 2B.3. 52. Пусть число пластин i = 4, тогда C = 3ε0S/d (три параллельных конденсатора), аналогично при i = 6 C = 5C0, гдеC0 = ε0S/d и т.
д. Окончательно, когда полное число пластин равно2n,C = (2n − 1) C0 = (2n − 1) ε0S/d.3. 53. Потенциал шара и ближайшей к нему пластины одинаков,потенциал заземленной пластины равен нулю. Так как потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, а шар по условию задачи удаленный, фактически шар и конденсатор оказываются соединеннымипараллельно:qq0 − qq0=, откуда q =.4πε0rC1 + C/4πε0r3.
54. Пусть на обкладке конденсатора окажется заряд q, тогдана шаре останется заряд Q − q. На другой обкладке возникнет заряд255Электрическая емкость. Конденсаторы−q, а на шаре радиуса R – заряд +q (из-за сохранения заряда). Приравнивая разности потенциалов между обкладками и между шарами,получаем−14πε0q Q − qq1 4πε0=− , откуда q = Q 1 + r+.CrRRC3. 55.
Заряд соединенных друг с другом обкладок конденсаторовравен нулю, их общий потенциал обозначим через U1 . Тогдаq2 = q1 + q2 ,C2 (U − U1) = C1U1 + C3U1 .Отсюдаq1,3 =U C2C1,2,C1 + C2 + C3q2 =U (C1 + C3) C2.C1 + C2 + C33. 56. Заряд на конденсаторе емкости C1 в положении ключа 1q0 = C1ε1. Когда ключ переводят в положение 2, имеем U1 +U2 = ε2.1 C1q1 +q2 = −q0, т. е. C1U1 −C2U2 = −C1ε1 отсюда U1 = ε2 CC21−ε+C2 .3. 57. Емкость батареи конденсаторов, подключенных к конденсатору 1, равна 2C.
Для напряжений на конденсаторах имеемU4 = U1 = 2U2 = 2U3 = 2U5 = 2U6.Окончательноq1 = q4 = U C/3,q2 = q3 = q5 = q6 = q4/2 = U C/6.3. 58. Пусть конденсатор заряжен и разность потенциалов на немравна U . Тогда при очередном замыкании ключа в положение 1 через резистор с сопротивлением R1 в начальный момент пойдет токI1 = (E⊥ − U )/R1. За время включения заряд конденсатора изменится на ∆q = I1τ , где τ – время включения. Когда ключ замкнут в положение 2, через резистор с сопротивлением R2 идет токI2 = (E2 − U )/R2.256ОТВЕТЫ. Электричество и магнетизмТак как U – установившееся напряжение, то I1τ = −I2τ , т. е.
после двух переключений заряд на конденсаторе остается без изменения:E1 − UE2 − U=−.R1R2ОтсюдаE 2 R1 + E 1 R2.R1 + R2R1 +E1 R2Искомый заряд q = CU = C E2R.1 +R2U=3. 59. При зарядке конденсатораU0 = I1R1 + UC = I1R1 + I2R2,∆q = (I1 − I2) τ,при его разрядке∆q =UC(T − τ ) ,R2(I1 − I2) τ −UC(T − τ ) = 0,R2откудаUC = I2R2,TI1 = I2 ,τU0 = I2TR1 + R2 .τОкончательноτ.R1 T + R2 τ3. 60. По закону сохранения заряда имеемUC = U0 R2q1 − q2 = q10 − q20 ,q2 − q3 = q20 − q30 .Если провести вдоль цепи единичный заряд, вернувшись в первоначальную точку, то работа по перемещению этого заряда будет равнанулю. Это дает0=1 (U10+U20+q10 = (1/3) (2q1 − q2 − q3) ,U30 )q10 q20 q30= + + .C C Cq20 = (1/3) (2q2 − q3 − q1) ,257Электрическая емкость. Конденсаторы-q12+q121- -q13+2+q131-+323(-q02+q03)+q2 -q2 1 +q3 -q3+q1 -q1Рис. O.3.61q30 = (1/3) (2q3 − q1 − q2) .3.
61. В первом и втором случаях (рис. O.3.61) конденсаторы оказываются соединенными так, что для разностей потенциалов на конденсаторах получаем следующие соотношения:q12 q02 − q12q12 q03 − q13=,=,C1C2C1C3где q02 и q03 – первоначальные заряды на конденсаторах 2 и 3. Длятретьего случая из закона сохранения заряда следует, чтоq2 + q1 = q02,−q3 − q1 = −q03.На конденсаторе 1 после соединения с конденсаторами 2 и 3 разностьпотенциалов оказывается равной суммарной разности потенциалов назаряженных конденсаторах 2 и 3:q1q2q3=+ .C1 C2 C3Заметим, что у соединенных между собой конденсаторов 2 и 3 суммарный заряд q3 − q2 = q03 − q02 на внутренних обкладках отличенот нуля.
Отсюдаq1 =q12 (C1/C2 + 1) + q13 (C1/C2 + 1).1 + C1/C2 + C1/C23. 62. Пусть расстояние между поршнями до и после зарядки равно `0 и `. Напряженность электрического поля, создаваемого однимпоршнем, равна q/2ε0S, поэтому сила, действующая на заряд каждого поршня, равна q 2 2ε0S. Условие равенства сил, действующих на258ОТВЕТЫ. Электричество и магнетизмпоршни после их зарядки, даетp0S + q 2 2ε0S = pS.По закону Бойля–Мариотта имеем p0S`0 = pS`. Из этих уравненийнаходим`0q2= 1+.`2ε0p0S 23. 63. Пусть установившиеся заряды на пластинах qA , qB , qC .Поле, создаваемое одной пластиной, имеетнапряженность E = Q/2ε0S.
Разность поUC1C2тенциалов между B и C равна разности потенциалов между B и A: UBC = UBA = U .Рис. O.3.63С учетом суперпозиции полей находимUBC = U =d2(qA + qB − qC ) ,2ε0Sd1(−qA + qB + qC ) .2ε0SЗакон сохранения заряда: qA + qB + qC = q. В итоге1112U ε0SqB = U ε0S+.qA =q−,d1 d22d112U ε0SqC =q−.2d2Сведение задачи к схеме, изображенной на рис. O.3.63, неверно, таккак ведет к нарушению закона сохранения заряда: пропадает поле внепластин.UBA = U =3. 64. Закон сохранения заряда: Q1−Q2 = Q01−Q02 (рис. О.3.64, а).С учетом суперпозиции полей от пластинQ01E1 =,ε0 SQ01 − Q1E2 =,ε0 SQ01 − Q1 + Q2E1 =.ε0 S259Электрическая емкость.
КонденсаторыQ’112 d E1 -Q13 d E 2 Q24 d E3 -Q’212 dQ’1-Q’1-Q’Q’Q’2-Q’23 d4 dбaРис. O.3.64Из-за замыкания проводником имеемU14 = (E1 + E2 + E3) d = 0, откуда Q01 = (2Q1 − Q2) /3.Следовательно,Q1 + Q2U23 = E2d = −d.3ε0SДругое решение (см. рис. O.3.64, б):Q1 = Q01 + Q0 , Q2 = Q02 + Q0 ,(1)U14 = 0, т. е. ∆U12 + ∆U23 + ∆U34 = 0, иначеQ01/C − Q0 /C + Q02/C = 0.(2)Складывая равенства (1), имеем Q1 + Q2 = Q01 + Q02 + 2Q0; отсюдас учетом (2) получаем Q1 + Q2 = 3Q0 .
ОкончательноQ1 + Q2Q0d.U23 = − = −C3ε0S3. 65. Закон сохранения заряда: 2CU = Q1 + Q2. Из равенстваразностей потенциалов на обкладках конденсаторов имеем Q1/2C =Q2/C, т. е. Q1 = 2Q2 = 4CU /3. Наконец, закон сохранения энергиидает 2M v2CU 2Q1Q22CU 22= WНАЧ − WКОН = 2−+=.222 · 2C 2C3260ОТВЕТЫ. Электричество и магнетизмВ результате получаемq2v = CU 3M .3. 66.
Заряд q0 переносится с металлической пластинкой с одной надругую пластину конденсатора: q0 = CU = ε0SU /(d1 − d2). Работаисточника q0U идет на разгон пластины:s22mvε0SU2ε0Sq0U ==откуда v = U.2d1 − d2m (d1 − d2)Заметим, что сила F , действующая на отошедшую на расстояние xq02металлическую пластинку, равна 2ε0S 1 + d12x, а ее работа−d2q02(d1 − d2) = q0U.A=ε0 S3. 67. Количество теплоты, выделившееся на сопротивлении, равно разности установившихся значений энергии, запасенной в конденсаторах. Найдем эти значения для всех вариантов соединений в цепи(рис. O.3.67).CqCqCаqCq2q1вqCqCC/2q1Cqq2C/2бCгРис.
O.3.67а) После первого размыкания ключа K заряды q = CU сохраняютсвое значение. Таким образом, энергия Ea (см. рис. О.3.67, а) имеет261Электрическая емкость. Конденсаторыследующее значение:q23q2+= CU 2.E0 =2C 2C/2 2б) После замыкания ключа K (см. рис. O.3.67, б) заряды на конденсаторах приобретают новые значения: q1 и q2 соответственно. Иззакона сохранения заряда имеем q1 + q2 = 2q, из равенства потенциалов на обкладках имеем q1/C = q2/(C/2). Из этих соотношенийполучаем, что q1 = 4q/3, q2 = 2q/3. Таким образом, энергия Eб вэтом случае имеет видq12q224Eб =+= CU 2.2C 2C/2 3в) После второго размыкания ключа K (рис.
О.3.67, в) зарядына конденсаторах сохранят свои значения: q1 = 4q/3 и q2 = 2q/3.Следовательно, энергия EB здесь также легко вычисляется:q12q2210EB =+= CU 2.2C 2C9г) Наконец, в результате последнего замыкания ключа K приходимк первоначальной схеме с начальными значениями зарядов, напряжений и емкостей. Соответственно2q 2Ex == CU 2.2CКоличество теплоты, выделившееся на сопротивлении после первогозамыкания ключа,341Q1 = Ea − Eб = CU 2 − CU 2 = CU 2.236После второго замыкания ключаQ2 = EB − EГ =101CU 2 − CU 2 = CU 2.99262ОТВЕТЫ. Электричество и магнетизмТаким образом, полное количество теплоты, выделившееся на сопротивлении,Q = Q1 + Q2 = (5/18) CU 2 = 5 Дж.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
