1611143569-ed123092d132ff77d44213ca2a0f5b5a (825029), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тепловое расширениеyратного уравнения. Нетрудно видеть,что корень x1 соответствует неустойчивому положению равновесия поршня, акорень x2 – устойчивому. Следовательyно, из физических соображении подхо0xxxдит лишь один корень, соответствующийРис. O.2.8знаку «–» в скобках. Таким образом,"1/2#24mω `p0 S1−1−,x=2mω 2p0 Smω 2`x≈` 1+при mω 2 ` p0S.p0 Sy21212. 9. Условие равновесия столбика ртути: p0 = ρg (H − h) + p1,где p1 – давление воздуха над ртутью, a S – сечение трубки. ЗаконБойля–Мариотта дает p1 = p0V /Sh.Из этих двух уравнений получаемpp0 V0h2 +−H h−= 0,ρgSρgоткуда"#s1p04p0Vh=1+ 1+H−.22ρgSρg (H − p0/ρg)2.
10. Система вначале находится в состоянии равновесия, поэтомуp0 + ρgH1 = p1,где p1 – давление газа под поршнем в начальный момент. Из законаБойля–Мариотта следует, чтоp1hS = (p0 + ρgH2 ) (H1 + h − x − H2) S.Таким образом,x = H1 + h − H2 −p0 + ρgH1h.p0 + ρgH2216ОТВЕТЫ. Тепловые явления2. 11. Воздух не проходит в отверстие, пока толщина слоя водыудовлетворяет условиюp0 + ρ0g (h − x) = p0h,h−xp0x2 − 2h +x + h2 = 0,ρ0g"#1/22p0p0−h+− h2.x=h+2ρ0g2ρ0gЗнак «+» отброшен,как x < h. Окончательноимеем так1/2ρ0 ghρ0 ghx = h + 21 ρp00g 1 − 4ρp00gh+1≈hпри 1.gp0p0 g2. 12. Закон Бойля–Мариотта даетp0h = p (h − x) .Из условия равновесия воды на дне сосуда следует, чтоp0 + ρ0g` = p + ρ0 gx.Отсюдаp0x2 −+ ` + h x + h` = 0.ρ0gОкончательно, контролируя ответ при малых ` и h, получаем"#1/221 p0p0ρ0g`+`+h−+ ` + h − 4h`≈ 2hx=2 ρ0gρ0 gp0приρ0 g`p0 1.2.
13. Условие равновесия воды (рис. O.2.13):p0 + ρgh = p + ρgh1 .(1)217Газовые законы. Тепловое расширениеСохранение объема воды приводит к условию3h/2 + 3h1/2 = H.(2)По закону Бойля–Мариотта имеемp0HS/2 = p (H − h1) S/2 + p (H − h1) S.(3)Из (2) h1 = 2H/3 − h, из (3) p0H = 3p (H − h1) = p (H − 3h),т. е. p = p0H/(H − 3h). Подставляя полученное значение p в (1),имеемp0 h2H − 3hp0 + ρgh =+ ρg,H + 3h3откуда!r2p0h = 4ρg− 1 ≈ 29 ρgH1 + 4ρgh3ρ0p0 H при ρgH p0 .FPP0hxEPP0h1APEF=0DB’C3h-xC’D’BAhPCD=P/2PAB=PРис. O.2.13hFРис.
O.2.162. 14. В первом шаре давление p1 = α/R1, а во втором – p2 =p1 + α/R2. После, того как остался один шар, давление p = α/R,объемы газа соответственно равныV1 = 4π R13 − R23 3, V2 = 4πR23 3, V = 4πR3 3.По закону Бойля–Мариотта находимpp1V1 + p2V2 = pV ; отсюда R = R12 + R22.218ОТВЕТЫ. Тепловые явления2. 15. Из условий равновесия получаемp0`1S = (p0 + ∆p) `2S = (p0 + ∆p) xS,где ∆p – изменение давления газа при повороте пробирки. Если `1 ≥ 2`2,то капля выпадает. Таким образом,`1 `2x=, `2 < `1 < 2`2.2`2 − `12. 16. ВначалеpEF = 0,pAB = p = 2ρgh,pCD = ρgh = p/2.После поворота трубкиp0C 0D0 = p1,pF = p1 + p/2,p0AB 0 = p2,где AB 0 = x, C 0 D 0 = 3h − x. Закон Бойля–Мариотта дает(p/2) h = p1 (3h − x) ,ph = p2x.Из условий равновесия капелек ртути имеем (рис.
O.2.16)p1 − p2 = ρgh − p/2,p0F = p1 + ρgh = p1 + p/2.Для p0F получаем уравнение26p0F0− 12pp F + 5p = 0, откудаp0F.√ =p 1±16 .Знак « – » отбросим, так как давление растет. Окончательно.√ 06 .pF = p 1 + 12. 17. Так какmgmg− p0 >+ p0 ,S2Sто правый поршень сразу опустится до горизонтального участка трубки. Введем высоту поршня в левом колене x. Тогда по закону Бойля–Мариотта имеемp (2x + 3h) S = p0 · 6hS.Газовые законы.
Тепловое расширение219Из условия равновесия поршней следует, чтоp = p0 + mg/2S.Таким образом,3 p0 − mg/2Sx= hпри mg/2S < p0.2 p0 + mg/2S(при mg/2S < p0/5 левый поршень перемещается вверх: x > h),x = 0 при mg/2S ≥ p0.2. 18. Введем искомое смещение x, начальную и конечную высотыуровня ртути h1 и h2, начальное и конечное давления воздуха p1 и p2,плотность ртути – ρ. Условие неизменности объема ртути:h1` = h2 (` + x) .Из условий равновесия поршня до и после изменения температурыимеемh1h21p1h1 = p1срh1 = ρg h1 = ρg ,22h2h22p2h1 = p2срh2 = ρg h2 = ρg ,22p1/p2 = (h1/h2)2.Используя уравнение газового состояния, получаем 2 2p1 T1V2 T1 (` − x) 3 (` − x)h1`+x=====.p2 T2V1T2``h2`Отсюда√33 − 5x=`.22. 19. (p1 ± ∆p) (V ∓ ∆V ) = mRT, p2 (2V ∓ ∆V ) = 2 mRT,µµ1 ± ∆p/p1.1 ± ∆p/2p1Знаки «+» и «–» соответствуют вдвиганию или выдвиганию поршня.p2 = p1220ОТВЕТЫ.
Тепловые явления2. 20. Из условия равновесия поршней начальное давление в верхнем и нижнем отсеках равно соответственно 2p0 = p0 + mg/S и3p0 = p0 + 2mg/S. Используя закон Бойля–Мариотта, получаем3p0`S = x (F + 2p0S) ,2p0`S = (` − x) (F + p0S) ,где x – искомое расстояние, F – сила дополнительного давления наверхний поршень; отсюда√ x = ` 3 − 6 = 5, 5 см.Второй корень уравнения не удовлетворяет условию x < `.2. 21. Введем смещение поршней x.Объем воздуха между поршнями после их смещенияV 0 = V0 + x (S2 − S1) .Из закона Бойля–Мариотта имеемp 0 V0 = p 0 V 0 .где p0 – давление воздуха между поршнями после их смещения.
Изусловия равновесия стержня получаем(p − p0) S1 = (p0 − p0) S2.Совместное решение этих уравнений даетx=V0p − p0·.S1 − S2 p + p0S2/S12. 22. Пусть внешнее атмосферное давление увеличилось до значения p. Тогда поршни сдвинутся вправо на расстояние x. По законуБойля–Мариотта имеемp0V = p (V − S2x + S1 x) , откуда x =(1 − p0/p) V.S2 − S1221Газовые законы. Тепловое расширение2. 23. Условия равновесия до и после изменения температуры даютp1S1 = p2S2,p01S1 = p02S2.Уравнение состояния газа даетV1p1 V10 p01=,T0T10V2p2 V20p02=.T0T20Учитывая, что V10/V1 = 3/2, V20 /V2 = 1/2, получаемT10 /T20 = V10 V2/V1V20 = 3,T10 = 3T20 .2. 24. Условия равновесия для пробок дают (рис. O.2.24)p1S = f + p0S,p2S = f + p1S,где f – сила трения между поверхностью трубы и пробкой.По закону Бойля–Мариотта`Sp0 = p1xS,Таким образом,`Sp0 = p2 (` − x) S..√2.f = p0 S2.
25. Условие равновесия левого поршня (рис. O.2.25):p0S − κx − p1S = 0.(1)Условие равновесия правого поршня:p1S + F − p0S = 0.(2)Из закона Бойля–Мариотта имеемp0` = p1 (2` − x) .(3)Из (1) и (2) следует, что F = κx, т.е. x = F/κ. Из (2) p1 =p0 − F/S, из (3) p0` = (p0 − F/S) (2` − F/κ). Таким образом,F 2 − F (2κ` + p0S) + p0`κS = 0.222ОТВЕТЫ. Тепловые явления21xLP0P13P1P0P02LFχ1xx2L-xP2 P1 P0Рис. O.2.24Рис. O.2.25ОтсюдаF = κ` + p0S/2 −q(κ`)2 + (p0S/2)2. (F → 0при κ → 0).2.
26. Следует рассмотреть два случая:1) kmg ≥ κ`; 2)kmg < κ`.1) Камера покоится:(p − p0) S = κ`,p·2S`S`= p0 .TT0ОтсюдаTκ`=2 1+при kmg ≥ κ`.T0pS2) Камера покоится до момента достижения максимального значения силы трения покоя. Найдем соответствующую этому моментутемпературу T 0 . Деформация пружины x = kmg/κ, кроме того,kmgpS (` + x) p0S`,=,ST0T0T0kmgkmg= 1+1+.T0p0 Sκ`p − p0 =223Газовые законы. Тепловое расширениеПосле возникновения проскальзывания камеры процесс увеличенияобъема идет при постоянном давлении:TV2`S2===.T 0 V 0 (` + x) S 1 + kmg/κ`Подставляя в это выражение значение T 0 , получаемTkmg=2 1+при kmg < κ`.T0p0 S2. 27.
m = µh (p0S + mg) /RT .2. 28. F = mg (µB /µ − 1).2. 29. За время t в трубку входит объем воздуха V1 = S1v1t aвыходит объем V2 = S2v2t. Так как это равные массы, то из обобщенного газового закона p1V1/T1 = p2V2/T2 находимv2 =p1 T2 S1v1 .p2 T1 S22. 30. В сосуде, падающем свободно, газ находится в состоянииневесомости. Поэтому искомая разность сил давления F = mg. Массу газа можно найти из уравнения газового состояния:pV =mp 0 V0RT =T.µT0Таким образом,pV T0.p 0 V0 T2. 31.
Имеем p2/p1 = m2/m1 = n, p1 = p2 − mg/S. ОтсюдаF = mg = µgp1 = mg/S (n − 1) ,p2 = kmg/S (n − 1) .2. 32. Газ просачивается сквозь поршень, пока его давление по обестороны не станет одинаковым. Тогда его можно не учитывать присравнении сил, действующих на поршень. Тем самым задача свелась к224ОТВЕТЫ. Тепловые явлениясовсем простой: в одном отсеке давление равно нулю, в другом (длины L + x) давление стало p0.
По закону Бойля–Мариотта имеемp0 (L + x) = pL. Условие равновесия поршня дает F = p0S. Отсюдаx = L (pS/F − 1) при pS/2 < F < pS,x = 0 при pS ≤ F, x = L при pS/2 ≥ F.2. 33. Условие равновесия поршня до проникновения гелия:pHe + mg/S = pO2 ,где pO2 – давление кислорода. После выравнивания концентрации гелия по всему сосуду имеемp0O2 = mg/S.Закон Бойля–Мариотта даетpHe`S = 2p0He`S,pO2 hS = p0O2 (h + x) S.Окончательно для смещения поршня получаемx=hpHeSmgmgпри pHe <, x = h при pHe ≥.mgSS2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
