1610914832-f5278c7b2b130001fbeed8bbb9a3c57d (824729)
Текст из файла
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗАЛектор — Иван Викторович ПодвигинПрограмма курса лекций(1-й семестр, 32 лекции, 32 семинара, экз.)I. Одномерный вещественный анализВведениеПредпосылки возникновения математического анализа. Три важнейшие задачи (задача о касательной, задача о площади, приближённые вычисления). Общематематические понятия (числа, функции иотображения, графики и их преобразования, непрерывность и производные, интегралы). Логическая символика. Высказывания. Кванторы.
Математическая индукция. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.I.1. Предел и непрерывность функций одной переменнойВещественные числа. Аксиома полнота. Принцип вложенных отрезков. Точные границы. Наибольший элемент. Существование точных границ. Расширенная числовая прямая. Критерий точной верхней границы.Предел последовательности. Сходящиеся последовательности. Последовательности, стремящиеся к бесконечности. Предел и неравенство. Теорема о зажатой последовательности.
Предел и ограниченность. Предел и арифметические операции. Подпоследовательностии частичные пределы. Теорема Больцано — Вейерштрасса. ТеоремаВейерштрасса о монотонной последовательности. Фундаментальныепоследовательности. Критерий Коши.Предел функции. Предельные точки. Определение предела функции. Окрестности и проколотые окрестности. Определение предельной точки и предела на языке окрестностей.
Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши. Предельный переход в неравенстве. Пределе и алгебраические операции. Предел композиции. Критерий Коши.1Асимптотические сравнения. Сравнения o-малое и O-большое.Преобразование выражений с o-малыми и O-большими. Главная частьфункции.Элементарные функции и замечательные пределы.
Существование предела последовательности (1 + x/n)n . Показательная функцияи ее свойства. Число e. Натуральный логарифм и его свойства. Степенная функция и ее свойства. Тригонометрические функции. Замечательные пределы. Сравнение степенной, показательной и логарифмической функций.Непрерывность. Классификация разрывов. Непрерывность суммы, разности, произведения, отношения, композиции. Теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях.
Теорема Вейерштрасса онаибольшем и наименьшем значениях.I.2. Дифференциальное исчисление функций однойпеременнойДифференцируемые функции. Определение производной функции.Физический и геометрический смысл производной. Определение дифференциала. Геометрическая интерпретация дифференциала. Связьпроизводной и дифференциала. Дифференцирование и алгебраические операции. Производная композиции, обратной функции. Производные элементарных функций.Приращения дифференцируемых функций. Локальный экстремум.Теорема Ферма о необходимых условиях экстремума.
Теоремы Ролля,Лагранжа, Коши о приращении.Формула Тейлора. Определение старших производных. ФормулаТейлора с остатком в форме Лагранжа и Пеано. Разложения Тейлораосновных элементарных функций.Исследование функции. Монотонность. Достаточное условие локального экстремума. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты. Правила Бернулли — Лопиталя.Первообразная. Интегрирование по частям для первообразной.
Замена и подстановка для первообразной. Первообразная рациональнойфункции. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.I.3. Интеграл Римана2Определение интеграла Римана и его свойства. Разбиения и интегральные суммы. Определение интеграла Римана. Суммы Дарбу.Критерий Дарбу. Критерий интегрируемости в терминах колебанияфункции.
Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемостьнепрерывной и монотонной функции. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла. Первая теорема о среднем.Интеграл и первообразная. Связь интеграла и первообразной. Формула Ньютона — Лейбница. Формула дифференцирования интегралас переменными пределами. Формула Тейлора с интегральным остаточным членом.Несобственный интеграл. Определение несобственного интеграла для бесконечной и конечной точки. Критерий Коши сходимостинесобственного интеграла.
Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Интегрирование степенных особенностей. Теорема сравнения. Признаки Абеля и Дирихле. Сходимость в смыслеглавного значения.Эйлеровы интегралы. Определение Γ-функции и B-функции и ихосновные свойства. Интеграл Эйлера — Пуассона.Приложения интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Площадь эллипса.
Объем тел вращения. Длина кривой. Площадь поверхности вращения. Независимость длины пути от параметризации. Масса и центр масс однородного стержня.I.4. Числовые и функциональные рядыСходимость ряда. Определение ряда, частичных сумм, сходящегося ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости ряда.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Абсолютная сходимость рядов. Теорема сравнения для рядов. Интегральный признак сходимости. Сходимость эталонных рядов. Гармонический ряд.
Признаки Коши и Даламбера.Условная сходимость рядов. Признаки Абеля и Дирихле. ПризнакЛейбница.Равномерная сходимость последовательностей. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Непрерывность предела функциональной последовательности. Равномерная норма.Равномерная сходимость рядов. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. Непрерывность суммы ряда. Почлен3ное интегрирование и дифференцирование ряда.
Критерий Коши. Признак Вейерштрасса. Признаки Абеля и Дирихле.Степенные ряды. Определение степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Сходимость на границе области сходимости. Равномерная сходимость степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Ряд Тейлора основных элементарных функций.Литература1. Зорич В. А. Математический анализ.2.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления.3. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и е„ приложения к физике.4. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.5. Смирнов В. И. Курс высшей математики.6. Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления.7. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.8. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.9. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическомуанализу.10. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.Сборник задач по математическому анализу.План семинаров1-ый семинар: Графики элементарных функций. Преобразованияграфиков.2-ой семинар: Математическая индукция. Бином Ньютона.3-ий семинар: Верхние и нижние грани последовательностей.
Определение предела последовательности. Верхние и нижние пределы.4-5-ый семинары: Вычисление пределов последовательностей.6-ой семинар: Определение предела функции. Непрерывность иточки разрыва.7-ой семинар: o-малое и O-большое. Техника асимптотических разложений.
Замечательные пределы.48-9-ый семинары: Вычисление пределов функций (неопределенности 1∞ , 00 , ∞∞ , 0 · ∞).10-11-ый семинары: Производная и дифференциал. Дифференцирование обратной, неявной и параметрически заданной функции.12-ый семинар: Теорема Лагранжа. Правило Бернулли–Лопиталя.13-ый семинар: Исследование функций на монотонность и выпуклость. Неравенство Йенсена14-ый семинары: Построение графиков функций по характеристическим точкам.15-16-ый семинары: Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Коши и Лагранжа. Приближенные вычисления значений функций.17-18-ый семинары: Нахождение простейших неопределенных интегралов (линейность, замена переменных, интегрирование по частям)19-ый семинар: Интегрирование рациональных функций. Простейшие иррациональности20-ый семинар: Интегрирование тригонометрических функций.21-22-ый семинары: Вычисление определенных интегралов.
Дифференцирование интеграла с параметром.23-24-ый семинары: Несобственный интеграл Римана. ИнтегралыЭйлера24-25-ый семинары: Сходимость числовых рядов. Условная и абсолютная сходимость. Признаки Коши и Даламбера, интегральныйпризнак, признаки Абеля и Дирихле.25-26-ый семинары: Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Признак Вейерштрасса.26-ой семинар: Степенные ряды.
Радиус и интервал сходимости.27-28-ой семинар: Интегрируемость и дифференцируемость степенных рядов. Ряд Маклорена элементарных функцийОставшееся время 4 семинаров распределяются на проведение проверочных работ и повторное изучение наиболее трудных тем.Задания по основам математического анализаЗадание 1 (сдать до 6 октября)51. [8 баллов] С помощью элементарных преобразований построить графики функций:(а) f (x) =x+3,2x − 5(б) f (x) = |3x2 + 2x − 1|.2. [5 баллов] Методом математической индукции доказать неравенство1 1111 + + + · · · + 2 ≤ 2 − , n ≥ 1.4 9nn3. [6 баллов] Найти все a, для которых существует такое b, что привсех c выражение 2b2 − ab + 3ac − c2 − b не положительно. Запишитеусловие задачи в терминах кванторов всеобщности и существования.4.
[6 баллов] Для всех a ∈ R найти точные границы последовательности2xn = (−1)n (1 + a/n).5. [10 баллов] Исследовать последовательности на ограниченность имонотонность, и найтиих предел: √√(a) x1 = 3, xn+1 = 7xn ; (б) xn = n n.6. [5 баллов] Доказать, что последовательностьно малой.ann!является бесконеч-7. [12 баллов] Доказать, что последовательность xn = sin n расходится. Однако, для каждого x ∈ [−1, 1] найдется подпоследовательность xnk =sin nk , сходящаяся к x.8. [5 баллов] Используя асимптотические разложения элементарныхфункций, вычислить пределln(1 + 2tg2 x)lim.x→0 (1 + 2x2 )1/2 − 19. [5 баллов] Используя замечательный предел, найти предел (tg x)tg 2xпри x → π4 .10.
[6 баллов] Верно ли, что существуют такие числа a, b, чтоctg x −1 + ax2= O(x5 ) при x → 0.2x(1 + bx )611. [10 баллов] Подобрать функции вида C(x − a)λ , которые лучшевсего аппроксимируют функции (a) tg x при x → π/2; (б) ln cos x приx → 0.Задание 2 (сдать до 7 ноября)1. [5 баллов] Найти производную функцииqsin(e4x ) − 2 cos(ln(2 + tg x2 ))+ 2x arcsin x + 2 + 4 ctg3 x .y=x+12. [7 баллов] Доказать, что существует единственная функция y =y(x), определенная для всех значений переменной x и удовлетворяющая уравнению Кеплера y − ε sin y = x, 0 ≤ ε < 1. Доказать, чтоэта функция бесконечно дифференцируема. Найти ее значение и всепроизводные до третьего порядка включительно при x = 0.3. [5 баллов] Вспоминая неравенство Йенсена, обосновать справедливость неравенстваx + 3y− arctg x ≥ 3arctg y, x, y ≥ 0.4arctg44.
[5 баллов] Определить число действительных корней уравнения 3x4 −4x3 − 6x2 + 12x − 20 = 0 и локализовать их.5. [5 баллов] Используя правило Бернулли–Лопиталя, найти пределxlim x π − 2 arcsin √.x→+∞1 + x26. [6 баллов] Множество вещественных решений уравнения xy = y x состоит из двух кривых. Первая угадывается легко: y = x, вторая задается параметрически: x = (1 + t)1/t , y = (1 + t)1/t+1 , t > −1. Найтиугол, под которым эти кривые пересекаются.7. [7 баллов] Найти разложение функции y = ln(1 + 2 arcsin 3x) поформуле Тейлора в окрестности нуля до x2 с остаточным членом вформе Пеано, Лагранжа и Коши.78. [8 баллов] Построить график функцииrx3.y =1−x+3+x9. [15 баллов] Найти неопределенные интегралыZx(а)dx,2 + 1)(x + 1)2(xZdx(б),3sinx+cosxZx2 dx(в).(x2 + a2 )3/2Задание 3 (сдать до 30 ноября)1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
