L-16-Autmn2017 (824161), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(⇒) ®áª®«ìªã h | «¨­¥©­ ï ¨§®¬¥âà¨ï, â®h|u| = hu, ui1/2= d(0, u) = d(0, h(u)) = hh(u), h(u)i1/2 = |h(u)|∀u ∈ Rn .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, h | «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, á®åà ­ïî饥 ¤«¨­ã ¢¥ªâ®à , ⮣¤ ¯® ã⢥ত¥­¨î 14.3 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü14 ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï h ®à⮣®­ «ì­ , §­ ç¨â ¯® ⥮६¥ 14.2 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü14 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ h ®à⮣®­ «ì­®.6(⇐) ãáâì ®à⮣®­ «ì­ ï ¬ âà¨æ A | ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï h, ⮣¤ (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ 10 ⇐ 20 ¢ ⥮६¥ 12.1) ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à u ∈ Rn ¬ë ¨¬¥¥¬hh(u), h(u)i = hAu, Aui = hu, ui. ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª X, Y ∈ Rn , ãç¨âë¢ ï«¨­¥©­®áâì h, ¬ë ¯®«ãç ¥¬d(X, Y ) =qp−−→ −−→hXY , XY i = hu, ui;q­−−−−−−→ −−−−−−→® ph(X )h(Y ), h(X )h(Y ) = hh(u), h(u)i,d(h(X ), h(Y )) =®âªã¤ d(X, Y ) = d(h(X ), h(Y )).¥’¥®à¥¬ 16.4.

‹î¡ ï ¨§®¬¥âà¨ï f áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠(Rn , d)¨¬¥¥â ¢¨¤ f (x) = Ax + b, £¤¥ A ∈ O(n).„®ª § ⥫ìá⢮. ˆá¯®«ì§ãï ⥮६ã 16.3 ¨ «¥¬¬ã 16.1, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® h(x) =f (x) − f (0) = Ax, £¤¥ A ∈ O(n). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­ «¨â¨ç¥áª ï ä®à¬ § ¯¨á¨®â®¡à ¦¥­¨ï f (x) ¢ áâ ­¤ àâ­®© ¥¢ª«¨¤®¢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (x1 , . . . , xn ) ¨¬¥¥â¢¨¤ f : x → Ax + b, £¤¥ b = f (0).¥ˆ¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ã⢥ত¥­¨¥, ®¡à â­®¥ ª ⥮६¥ 14.2.’¥®à¥¬ 16.5. ‹î¡®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f (x) = Ax + b, A ∈ O(n), b ∈ Rn , ï¥âá﨧®¬¥âਥ© áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠Rn .„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâì x, y | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ í«¥¬¥­âë ¯à®áâà ­á⢠Rn . Ž¡®§­ −−−→→. ’®£¤ −−稬 u = −xyf (x)f (y ) = Au, ¨ ¯à¨ í⮬qpp→ −→ = d(x, y ).d(f (x), f (y )) = hAu, Aui = hu, ui = h−xy,xyi¥ áâ殮­¨¥ ¨ £®¬®â¥â¨ïŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ 16.2. ãáâì (X, dX ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, â. ¥. ­¥ª®â®à®¥¬­®¦¥á⢮ á § ¤ ­­ë¬ ­ ­¥¬ à ááâ®ï­¨¥¬ dX . Žâ®¡à ¦¥­¨¥ f : X → X ­ §ë¢ ¥âáï à áâ殮­¨¥¬ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, dX ) á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ K , ¥á«¨dX (f (A), f (B )) = KdX (A, B )∀A, B ∈ X.à¨¬¥à 16.1. à®á⥩訬 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ à áâ殮­¨ï áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠Rn á® áâ ­¤ àâ­®© ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥âਪ®© ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®¥ à áeâ殮­¨¥ ¨«¨ £®¬®â¥â¨ï HO,λe á 業â஬ ¢ â®çª¥ O ¨ ª®íää¨æ¨¥­â®¬ λ, ª®â®à®¥®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ãá«®¢¨ï¬¨:10 â®çª Oe ®áâ ¥âáï ­¥¯®¤¢¨¦­®©,720 ¢áïª ï â®çª M−−→−−→e 0 | = λ|OMe |.|OM¯¥à¥å®¤¨â ¢ â®çªãM 0,e ) â ªãî, ç⮫¥¦ éãî ­ «ãç¥ [OM“¯à ¦­¥­¨¥ 16.1.

Ÿ¢«ï¥âáï «¨ ª®¬¯®§¨æ¨ï ¤¢ãå £®¬®â¥â¨© £®¬®â¥â¨¥©? áᬮâਬ «¨­¥©­ãî £®¬®â¥â¨î Hλ áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠Rn(業âà £®¬®â¥â¨¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ç «®¬ ª®®à¤¨­ â). ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï «¨­¥©­®©£®¬®â¥â¨¨ áà §ã ¦¥ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï Hλ ï¥âáï ¤¨ £®­ «ì­®©, ­ ¤¨ £®­ «¨ áâ®ïâ ç¨á« λ, â. ¥.Hλ : x = x1...→xn0   x1 ...  ...  = x.λ ...0...λxn’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî £®¬®â¥â¨î HO,λe áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠Rn á 業â஬ Oe = (~x1 , . .

. , x~n ). ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨£¥ 業âà ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , . . . , en ) ­ «¨â¨ç¥áª ï ä®à¬ § ¯¨á¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï HO,λe ¨¬¥¥â ¢¨¤0   x1 − x~1   x~1 ..  +  .. ... ...  → HO,λ..e :0 ... λxnxn − x~nx~nx1λ ...=λx1 + (1 − λ)~x1.. . (16.9).λxn + (1 − λ)~xn’¥®à¥¬ 16.6. ‹î¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ à áâ殮­¨ï f á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ λ ¢ áâ ­-¤ àâ­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Rn ï¥âáï ª®¬¯®§¨æ¨¥© £®¬®â¥â¨¨ ¨ ¨§®¬¥âਨ.„®ª § ⥫ìá⢮.

Œë ¨¬¥¥¬d(f (x), f (y )) = λd(x, y ) ∀x, y ∈ Rn .‡ 䨪á¨à㥬 ª ªãî-­¨¡ã¤ì â®çªã¯à®¢¥à¨âì, çâ®e ∈ Rn .Oˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã (16.9), ­¥á«®¦­®vu nuX¡¢1212t (x1 − x2 )2 ,d HO,λ(x),H(x)=λd(x,x)=λkkeeO,λk=1xi= (xi1 , . . . , xin ), i = 1, 2. (16.10)8’®£¤ ¯® (16.10) ¯®«ãç ¥¬³¡¢¡¢´d HO,e 1/λ f (x) , HO,e 1/λ f (y ) = d(x, y ),á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ HO,e 1/λ ◦ f = gOe ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.

’ ª ª ª¢−1¡¢eHO,= HO,λe 1/λe , â® f = HO,λe ◦ gOe . ãáâì â®çª O ᮢ¯ ¤ ¥â á ­ ç «®¬ª®®à¤¨­ â, ⮣¤ , ¨á¯®«ì§ãï ⥮६ã 16.4, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® f (x) = Ax + b, A ∈O(n).¥¡‘«¥¤á⢨¥ 16.1. ãáâì| à áâ殮­¨¥ áâ ­¤ àâ­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠R á® áâ ­¤ àâ­ë¬ ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ à ááâ®ï­¨¥¬ d. ’®£¤ f | ä䨭­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥.„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ £®¬®â¥â¨ï, ¨ ¨§®¬¥âà¨ï ïîâáï ä䨭­ë¬¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï¬¨,â ª çâ® á«¥¤á⢨¥ 16.1 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 16.6 ¨ ᢮©á⢠14.1 «¥ªæ¨¨ ü14.

¥fn‘¦ ⨥ ª ¯àאַ©Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 16.3. ‘¦ ⨥ Pl : R2 → R2 ª ¯àאַ© l á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ k ¥¢ª«¨-¤®¢®© ¯«®áª®á⨠R2 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãîâ®çªã A ∈ R2 , A ∈/ l. ãáâì A0 = l ∩ l⊥ , £¤¥ l⊥ | ¯àï¬ ï, ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ ïl, ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çªã A. ’®£¤ â®çª A1 = Pl (A) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬®¡à §®¬:10 A1 ∈ l⊥ ,−−−→−−→20 |A0 A1 | = |k||A0 A|,30 ¥á«¨ k > 0, â® â®çª¨ A0 , A1 ­¥ à §¤¥«¥­ë ¯àאַ© l, ¥á«¨ k < 0, â® â®çª¨ A0 ,A1 à §¤¥«¥­ë ¯àאַ© l.…᫨ l ᮢ¯ ¤ ¥â á ®áìî ¡æ¨áá ¯àאַ㣮«ì­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ¥¢ª«¨¤®¢®©¯«®áª®áâ¨, â® ­ «¨â¨ç¥áª ï § ¯¨áì ä䨭­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï Pl ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶µx1→y0¶µ ¶x,ky0µ¶1 0 = A.0 k‡ ¬¥ç ­¨¥ 16.1. €­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 16.3 ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ᦠ⨥ ª£¨¯¥à¯«®áª®á⨠¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Rn .à¨¬¥à 16.2 (Œ®¤¥­®¢,  à宬¥­ª®, ü1168).

‡ ¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã ᦠâ¨ï Plª ¯àאַ© l : 2x + y − 2 = 0 á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ k = 3 ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠ᮠáâ ­¤ àâ­®© ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨­ â (O, e1 , e2 ). Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ O1 â®çªãá ª®®à¤¨­ â ¬¨ (0, 2).  áᬮâਬ ä䨭­ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â (O1 , v1 , v2 ), £¤¥(v1 , v2 ) | ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¯«®áª®áâ¨,9£¤¥ ¢¥ªâ®à v1 ï¥âáï ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ¯àאַ© 2x + y − 2 = 0, á®­ ¯à ¢«¥­­ë¬ ¢¥ªâ®àã á ­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ O1 ¨ ª®­æ®¬ ¢ â®çª¥ á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (1, 0). ãáâì(~x, y~) | ª®®à¤¨­ âë ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â (O1 , v1 , v2 ). ’®£¤ ᦠ⨥ Pl ¢á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O1 , v1 , v2 ) ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶µx~ → 1y~003¶µ ¶x~ .y~(16.11)‡ ¯¨è¥¬ ᦠ⨥ Pl ¢ ä䨭­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O1 , e1 , e2 ), £¤¥ e1 , e2 | áâ ­¤ àâ­ë¥ ®àâë (¥¤¨­¨ç­ë¥ ¢¥ªâ®àë) ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâ¨.

Œë ¨¬¥¥¬(=v2 =v1(√2e15 e1 − 5 e2 ,⇔√2 e1 + √1 e2 ,e255√1= √15 v1 + √25 v2 ,= − √25 v1 + √15 v2à 1√5W =√25!− √25.√15’®£¤ , á«¥¤ãï ®¡é¥¬ã ¯à ¢¨«ã (á¬. «¥ªæ¨î ü15), ¢ ¡ §¨á¥ (e1 , e2 ) ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â¢¨¤Ã 1!µ! µ¶ à √113 4 ¶√√2√2−10−15555W AW == 54 57 .√2√10 3− √25 √155 555‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O1 , e1 , e2 ) ä䨭­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (16.11)¨¬¥¥â ¢¨¤µ 13 4 ¶ µ 0 ¶µ 0¶xx→ 54 57,(16.12)0yy055£¤¥ (x , y ) | ª®®à¤¨­ âë ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â (O1 , e1 , e2 ).

Žáâ ¥âáï § ¯¨á âì ä䨭­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (16.12) ¢ ä䨭­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , e2 ).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O1 , e1 , e2 ) â®çª O ¨¬¥¥â ª®®à¤¨­ âë (0, −2).’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨£¥ 業âà ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â, ¬ë ¯®«ãç ¥¬µ ¶µ 13 4 ¶ µ¶ µ ¶ µ 13¶x + 54 y − 58xx0555→ 4 7+ 2 = 474 .yy−25 55x + 5y − 500.

Характеристики

Список файлов лекций