L-15-Autmn2017 (824159)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

‹…Š–ˆŸ ü15„ â : 13.12.2017‘¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¬ âà¨æ ¬¨, § ¤ î騬¨ ¢ à §­ëå ¡ §¨á 室­® ¨ â® ¦¥ «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥Œ â¥à¨ « ¤ ­­®£® ¯ à £à ä | ¯®¢â®à¥­¨¥ ¬ â¥à¨ « , ª®â®àë© ¨§« £ «áï ¢ªãàᥠ«¨­¥©­®© «£¥¡àë, §¤¥áì à §¬¥é¥­ ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì­¥©è¥£® ¨§«®¦¥­¨ï.ãáâìC=c11...c1n...cn1...=cnnc11...cn1......c1 n’| ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®âcnn¡ §¨á {e1 , .

. . , en } ª ¡ §¨áã {e~1 , . . . , e~n } ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V , â. ¥. e~1 = c11 e1 + · · · + c1n en ,...e~n = cn1 e1 + · · · + cnn en .ãáâì A = (aij )i,j =1,...,n | ¬ âà¨æ «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f , ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ¡ §¨á¥ {e1 , . . . , en }:n³Xfj =1´x j ej=nXj =1xj f (ej ) =nXj =1xj e^j=nXj =1xjnXj =1aji ei ,£¤¥ {e^1 , . . . , e^n } | ­¥ª®â®àë© ­ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ V .ãáâì B = (bij )i,j =1,...,n | ¬ âà¨æ ⮣® ¦¥ á ¬®£® «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïf , ª®â®à®¥ ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¢ ¡ §¨á¥ {e~1 , .

. . , e~n }:fn³Xj =1xj e~j´=nXj =1xj f (~ej ) =nXj =1xj e^j=nXj =1xjnXi=1bji e~i .‚ëïá­¨¬ ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A ¨ B . Œë ¨¬¥¥¬f (~ej ) =nXi=1bji e~i=nXi=1bjinXk=1cik ek=nXk=1eknXi=1bji cik .‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,f (~ej ) = fn³Xi=1´cji ei=nXi=1cji f (ei ) =nXi=1cjinXk=1aik ek=nXk=1eknXi=1aik cji .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨, çâ®nXk=1eknXi=1bji cik=nXk=1eknXi=1aik cji ⇒nXi=11bji cik=nXi=1aik cji ,j, k= 1, . . .

, n.2¥á«®¦­® ¢¨¤¥âì, çâ® í⨠⮦¤¥áâ¢ íª¢¨¢ «¥­â­ë ⮬ã, çâ®c11...c1n......⇐⇒ CBcn1cnnb11...b 1n......bn1=bnna11...a1n......an1annc11...c1n......cn 1cnn= AC⇐⇒ A = CBC −1⇐⇒ B = C −1 AC(ª ª § ¯¨á âì ý­®¢ãîþ ¬ âà¨æã ¢ ýáâ ஬þ ¡ §¨á¥)(ª ª § ¯¨á âì ýáâ àãîþ ¬ âà¨æã ¢ ý­®¢®¬þ ¡ §¨á¥).’¥¯¥àì ¯®á¬®âਬ ­ ­¥á®¡á⢥­­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠á â®çª¨ §à¥­¨ï ¨§«®¦¥­­®£® ¢ëè¥ ¬ â¥à¨ « .

 áᬮâਬ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨽⮣¤ v1αv2αµ= cos α2 e1 + sin α2 e2 ,= − sin α2 e1 + cos α2 e2 ,¶µ¶cos α2 − sin α2 , C −1 = C ’ = cos α2 sin α2 ,C=sin α2 cos α2− sin α2 cos α2¨ ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠ᵶα cos α¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A = sinsin α − cos α ¨¬¥¥â ¢¨¤C−1µ1AC =00−1¶(15.0),â. ¥. ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¡æ¨áá ¢á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®© ª®®à¤¨­ â­ë¬ ९¥à®¬ (O, v1α , v2α ).‘®¡á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« «¨­¥©­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©‹¥¬¬ 15.1.

ãáâì A | (n × n)-¬ âà¨æ , λ ∈ R. ’®£¤ det(A − λE ) = 0 ⇔ ∃v 6= 0Av= λv.„®ª § ⥫ìá⢮. det(A − λE ) = 0 ⇔ á⮫¡æë ¬ âà¨æë (A − λE ) «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë⇔ ∃v ∈ Rn , v 6= 0 â ª®©, çâ® (A − λE )v = 0 ⇔ Av = λv .¥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.1. ãáâì ¢ ¢. ¯. V § ¤ ­® «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ f . …᫨¢¥ªâ®à v 6= 0 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î f v = λv ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ç¨á« λ, â® ¢¥ªâ®à v3­ §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f , ç¨á«® λ | ᮡá⢥­­ë¬ç¨á«®¬ (§­ 祭¨¥¬) í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï, ¯à¨ç¥¬ £®¢®àïâ, ç⮠ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®àv ®â­®á¨âáï ª ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ (®â¢¥ç ¥â ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮡá⢥­­®¬ãç¨á«ã λ).‘¢®©á⢮ 15.1. ’ ª ª ª v 6= 0, â® ç¨á«® λ, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î f v = λv,®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï v ®¤­®§­ ç­® (¯à®¢¥à¨âì!).‘¢®©á⢮ 15.2. ‘®¡á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â¢¥ç î騥 à §«¨ç­ë¬ ¢¥é¥á⢥­­ë¬á®¡á⢥­­ë¬ ç¨á« ¬ «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f , «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë.„®ª § ⥫ìá⢮.

„®ª § ⥫ìá⢮ ¡ã¤¥¬ ¯à®¢®¤¨âì ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢.k = 1. Ž¤¨­ ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à, ¡ã¤ãç¨ ®â«¨ç­ë¬ ®â ­ã«ï, á®áâ ¢«ï¥â «¨­¥©­®­¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã.k → k + 1. ãáâì f vi = λi vi , i = 1, . . . , k + 1, λi 6= λj ¢ á«ãç ¥ i 6= j . ãáâìᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë vi , i = 1, . . . , k + 1, «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë, â. ¥. vk+1 = µ1 v1 + · · · +µk vk , ¢¥ªâ®àë vi , i = 1, . . .

, k , «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. ’®£¤ λk+1 vk+1= f (µ1 v1 + · · · + µk vk ) = µ1 f v1 + · · · + µk f vk = µ1 λ1 v1 + · · · + µk λk vk ,λk+1 vk+1= µ1 λk+1 v1 + · · · + µk λk+1 vk ,®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬0 = v1 µ1 (λ1 − λk+1 ) + · · · + vk µk (λk − λk+1 ).(15.1)‘®¡á⢥­­ë¥ ç¨á« λ1 , . . . , λk+1 à §«¨ç­ë, µ1 , . . . µk ­¥ ¢á¥ à ¢­ë 0, ¯®í⮬㠭 ©¤¥âáï å®âï ¡ë ®¤­® ç¨á«® µl (λl − λk+1 ), ­¥ à ¢­®¥ ­ã«î, íâ® §­ ç¨â, ãç¨âë¢ ï (15.1),çâ® ¨«¨ ¢¥ªâ®àë v1 , . . . , vk «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë, ¨«¨ ª ª®©-â® ¢¥ªâ®à ¨§ v1 , . . . , vkà ¢¥­ ­ã«î. à®â¨¢®à¥ç¨¥.¥‹¥¬¬ 15.2. ‚ᥠᮡá⢥­­ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æë A ∈ O(n) ¯® ¬®¤ã«îà ¢­ë 1.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì Av = λv, ⮣¤ hv, vi = hAv, Avi = λ2 hv, vi.¥’¥¯¥àì ¯®á¬®âਬ ­ ­¥á®¡á⢥­­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠á â®çª¨ §à¥­¨ï ¨§«®¦¥­­®£® ¢ëè¥ ¬ â¥à¨ « .

 áᬮâਬ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥f ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠ᵶsinα cos α¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï Aα = sin α − cos α .  ­¥¥ ¬ë ãáâ ­®¢¨«¨, çâ® ¢¥ªâ®à v1α ®áâ ¥âáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï, â.¥.µsin αsin αcos α− cos ᶵcos α2sin α2¶µ¶α2= cosαsin 2 ;4¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à v1α ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë Aα , ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ = 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ á ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v1α , ¯®í⮬㵶 µ¶¶µαsinα cos α− sin α2sinαα2f (v2 ) = Aα v2 =sin α − cos αcos α2 = − cos α2 ;¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à v2α ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ = −1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬¨ ãáâ ­®¢«¥­ á«¥¤ãîé ®à¥¬ 15.1. ‹î¡®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®¬ ¡ §¨á¥ ¨§ ᮡá⢥­­ë墥ªâ®à®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¡æ¨áá.¥á®¡á⢥­­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨋¥¬¬ (® ᤢ¨£¥ 業âà ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â).

 áᬮâਬ ­¥ª®-â®à®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : D → D0 , £¤¥ D, D0 | ¬­®¦¥á⢠áâ ­¤ àâ­®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠Rn á ä䨭­®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®© ९¥à®¬ (O, e1 , . . . , en ). ’®£¤ ¢ «î¡®© ¤à㣮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®©e e1 , . . . , en ), ®â®¡à ¦¥­¨¥ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ fb = L−b ◦ f ◦ Lb : Db → D0 ,९¥à®¬ (O,be£¤¥ b = (b1 , . . . , bn ) | ª®®à¤¨­ âë â®çª¨ O ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , .

. . , en ),Db = L−b D, Db0 = L−b D0 .„®ª § ⥫ìá⢮. ‘­ ç « ®¯¥à 樥© ᤢ¨£ Lb ý¢®§¢à é ¥¬áïþ ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , . . . , en ) (⥬ á ¬ë¬ ¬­®¦¥á⢮ Db áâ ­®¢¨âáï ¬­®¦¥á⢮¬ D), § ⥬®â®¡à ¦¥­¨¥ f ý¯¥à¥­®á¨âþ D ­ ¬¥áâ® D0 , ¯®á«¥ ¯®á।á⢮¬ ᤢ¨£ L−b ¬ëe e1 , . .

. , en ) | ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥á⢠D0 .ý¯®¬¥é ¥¬þ D0 ¢ á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â (O,¥b€ä䨭­®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fα,b ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶µ¶µ ¶ µ ¶xcosαsinαxb1fα,b :→+.ysin α − cos αyb2‡ ¯¨è¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fα,b ¢ ä䨭­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, v1α , v2α ), £¤¥ O |­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¯«®áª®áâ¨, v1α , v2α | ¡ §¨á ¨§ ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¬ âà¨æë Aα .Œë ¨¬¥¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå,µ ¶ µ¶µ ¶µ ¶ µ¶µ ¶ααααxcos−sinsinx~x~cosx= sin α2 cos α2⇔= − sin2α cos α2yy~y~y2222£¤¥ (~x, y~) | ä䨭­ë¥ ª®®à¤¨­ âë, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¥ ९¥à®¬ (O, v1α , v2α ), ⮣¤ ,á¬.

(15.0), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ª®®à¤¨­ â å (~x, y~) ®â®¡à ¦¥­¨¥ fα,b ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶¶µ ¶µ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µαα~b1x~ → 1 0sinb1x~ + ~b1 ,cos22.(15.2)~b2~b2 = − sin α2 cos α2y~b20 −1y~5Žâ®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª(~x, y~) → (~x + ~b1 , −y~ + ~b2 ).(15.3) ©¤¥¬ ­¥¯®¤¢¨¦­ë¥ â®çª¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï (15.3). „«ï í⮣® à¥è¨¬ á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©½x~ + ~b1 = x~,(15.4)−y~ + ~b2 = y~.®­ïâ­®, çâ® ¢ á«ãç ¥ ~b1 6= 0 à¥è¥­¨© ã á¨á⥬ë (15.4) ­¥â, ®¤­ ª® ¥á«¨ ~b1 = 0,¢¡­¥¯®¤¢¨¦­ë¥ â®çª¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï f~α,b ¨¬¥îâ ª®®à¤¨­ âë x~, ~b22 .e v α , v α ), £¤¥ â®çª Oe ¨¬¥¥â‡ ¯¨è¥¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O,1 2¡ ~b2 ¢ª®®à¤¨­ âë 0, 2 ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, v1α , v2α ).

ãáâì (x­ , y­ ) | ä䨭­ë¥e v α , v α ). ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨ª®®à¤¨­ âë, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¥ ९¥à®¬ (O,1 2£¥ 業âà ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ âe v α , v α ) ®â®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤(O,1 2µx­y­¶µ→100−1¶µx­ + 0~y­ + b22¶µ~b1 ¶ µ 0 ¶ µ x­ + ~b1 ¶+ ~ − ~b2 =.b2−y­2’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬ ãáâ ­®¢«¥­ á«¥¤ãîé ®à¥¬ 15.2 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ­¥á®¡á⢥­­ëå ®à⮣®­ «ì­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâ¨). ‹î¡®¥ ä䨭­®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ï¥âáï ª®¬¯®§¨æ¨¥© ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ ¨ ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨á¨¬¬¥âਨ.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.2.

Š®¬¯®§¨æ¨ï ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ ¨ ᤢ¨£ ¢¤®«ì ®á¨ ᨬ¬¥âਨ­ §ë¢ ¥âáï ᪮«ì§ï饩 ᨬ¬¥âਥ©.‘«¥¤á⢨¥ 15.3. ‹î¡®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ ä䨭­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ï¥âáï᪮«ì§ï饩 ᨬ¬¥âਥ©.‹¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï3-¬¥à­®£® ¥¢ª«¨¤®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.3. ‚¥ªâ®à v 6= 0 ­ §®¢¥¬ ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬(n × n)-¬ âà¨æë A, ¥á«¨ Av = v.

‚¥ªâ®à v 6= 0 ­ §®¢¥¬ ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬«¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f : V → V ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠V , ¥á«¨ f (v) = v.6’¥®à¥¬ 15.3 (® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨­¢ ਠ­â­®£® ᮡá⢥­­®£® ¢¥ªâ®à ).ãáâì A ∈ SO(3). ’®£¤ ­ ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à v ∈ R3 â ª®©, çâ® Av = v.„®ª § ⥫ìá⢮. Ž¡®§­ 稬A=a11 a12a13a21a22a23a31a32 .a33 ©¤¥¬ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æë A, ¤«ï í⮣® ¯® «¥¬¬¥ 15.1 ­¥®¡å®¤¨¬® ­ ©â¨ ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï0 = det(A − λE ) = −λ3 + (a11 + a22 + a33 )λ2 + bλ + det A,(15.4)£¤¥ b | ­¥ª®â®à ï ª®­áâ ­â .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций