L-11-Autmn2017 (824151), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[a, b] = −[b, a].‡ ¬¥â¨¬, çâ® 20⇒ [a, a] = 0 ∀a ∈ V .∀t1 , t2 ∈ R,7Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 11.5. ‘ª®¡®ç­ ï ®¯¥à æ¨ï ­ §ë¢ ¥âáï ᪮¡ª®© ‹¨, ¥á«¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ⮦¤¥á⢮ Ÿª®¡¨:[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0∀a, b, c ∈ V.‚¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ V , á­ ¡¦¥­­®¥ ᪮¡ª®© ‹¨, ­ §ë¢ ¥âáï «£¥¡à®© ‹¨. áᬮâਬ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®¥ 3-¬¥à­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ V á ¡ §¨á®¬ e1 , e2 , e3 .ãáâì ­ ¬ ¨§¢¥áâ­®, ª ª ᪮¡®ç­ ï ®¯¥à æ¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à å (¯®¤à㣮¬ã, § ¤ ­ â ¡«¨æ ª®¬¬ãâ â®à®¢), â. ¥.[ei , ej ] =3Xk=1ckij ek ,ckij= const .(11.1)‡ ¬¥â¨¬, çâ® 20 ⇒ ckij = −ckji ∀i, j, k = 1, 2, 3.’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ¡¨«¨­¥©­®áâì ¨ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç­®áâì ᪮¡®ç­®© ®¯¥à 樨, ¯à¨¯®¬®é¨ (11.1) ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì §­ 祭¨¥ ᪮¡ª¨ [a, b] ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢33PPa=a n en , b =b m em :n=13hXn=1a n en ,m=13Xm=1ibm em= (a1 b2 −a2 b1 )[e1 , e2 ]+(a3 b1 −a1 b3 )[e3 , e1 ]+(a2 b3 −a3 b2 )[e2 , e3 ]¡= (a1 b2 − a2 b1 )c112 + (a3 b1 − a1 b3 )c131 + (a2 b3 − a3 b2 )c123¡(a1 b2 − a2 b1 )c212 + (a3 b1 − a1 b3 )c231 + (a2 b3 − a3 b2 )c223¡¢¢e1e2(a1 b2 − a2 b1 )c312 + (a3 b1 − a1 b3 )c331 + (a2 b3 − a3 b2 )c323¢e3 .(11.2)‡ ¬¥ç ­¨¥ 11.2.

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ (11.1) ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ­¥ á«¥¤ã¥â, çâ® â ª ®¯à¥-¤¥«¥­­ ï ᪮¡ª ï¥âáï ᪮¡ª®© ‹¨. ‚ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ â ¡«¨æ㪮¬¬ãâ â®à®¢ [e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 + e2 , [e3 , e1 ] = 0. Œë ¨¬¥¥¬[e3 , [e1 , e2 ]] + [e1 , [e2 , e3 ]] + [e2 , [e3 , e1 ]] = [e1 , e3 ] + [e1 , e1 + e2 ] + [e2 , 0] = e3 6= 0.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 11.6.

 áᬮâਬ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮V¡ §¨á®¬ e1 , e2 , e3 . ‘ª®¡®ç­ãî ®¯¥à æ¨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî â ¡«¨æ¥© ª®¬¬ãâ â®à®¢[e1 , e2 ] = e3 = e1 ⊗ e2 , [e2 , e3 ] = e1 = e2 ⊗ e3 , [e3 , e1 ] = e2 = e3 ⊗ e2 ,á(11.3)­ §®¢¥¬ ä®à¬ «ì­ë¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ­ V .ˆá¯®«ì§ãï (11.2), (11.3), ¬ë ¯®«ãç ¥¬a ⊗ b = (a2 b3 − b2 a3 )e1 + (a3 b1 − b3 a1 )e2 + (a1 b2 − a2 b1 )e3 .(11.4)8‡ ¬¥ç ­¨¥ 11.3. ‘®¯®áâ ¢ì⥠ä®à¬ã«ã (11.4) ¨ ä®à¬ã«ã (10.2) ¨§ «¥ªæ¨¨ ü10.‘¢®©á⢮ 11.4. ãáâì a, b | ­¥ª®««¨­¥ à­ë¥ ¢¥ªâ®àë.

’®£¤ ¢¥ªâ®àë a, b, a ⊗ b«¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë, ¡®«¥¥ ⮣®, ¡ §¨á {a⊗b, a, b} ®¤­®¨¬¥­¥­ á ¡ §¨á®¬ {e1 , e2 , e3 }.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (a1 , a2 , a3 ) | ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à a, (b1 , b2 , b3 ) | ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à b. ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (11.4), ¬ë ¯®«ãç ¥¬a2 b3 − b2 a3det b1a1a3 b1 − b3 a1 a1 b2 − a2 b1b2b3a2a3= (a2 b3 − b2 a3 )2 + (a3 b1 − b3 a1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 > 0.¥‘¢®©á⢮ 11.5. ãáâì a, b | ­¥ª®««¨­¥ à­ë¥ ¢¥ªâ®àë. ’®£¤ ha, a ⊗ bi = hb, a ⊗ bi = 0.„®ª § ⥫ìá⢮.

à®¢¥àï¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­®.‘¢®©á⢮ 11.6 (¡ æ ¬¨­ãá æ ¡).¥a ⊗ (b ⊗ c) = bha, ci − cha, bi.„®ª § ⥫ìá⢮. à®¢¥àï¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­®.¥‘¢®©á⢮ 11.7 (⮦¤¥á⢮ Ÿª®¡¨). a ⊗ (b ⊗ c) + b ⊗ (c ⊗ a) + c ⊗ (a ⊗ b) = 0.„®ª § ⥫ìá⢮. ˆá¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ ý¡ æ ¬¨­ãá æ ¡þ, ¬ë ¯®«ãç ¥¬a⊗ (b⊗c)+ b⊗ (c⊗a)+ c⊗ (a⊗b) = bha, ci−cha, bi + chb, ai−ahb, ci + ahb, ci−bhc, ai = 0.¥‚¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ áâ ­¤ àâ­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ R3Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 11.6. ‚¥ªâ®à­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ áâ ­¤ àâ­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ R3 ­ §ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï[ , ] : R3 × R3 → R3 ,ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬ a, b âà¥â¨© ¢¥ªâ®à c = [a, b] (¯¨èãâ â ª¦¥ c = a⊗b),®¡« ¤ î騩 á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨10 hc, ai = hc, bi = 0,20 |c| = ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ­ âï­ã⮣® ­ ¢¥ªâ®àë a, b,30 a, b, c | ¯à ¢ ï âனª .9ˆ§ 20 á«¥¤ã¥â, çâ® [a, 0] = [0, b] = 0.“¯à ¦­¥­¨¥ 11.1.

‚¥ªâ®à c ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 11.6 | ¥¤¨­á⢥­­ë©. ®ç¥¬ã?ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 11.6 áà §ã ¦¥ ¢ë⥪ îâ ¢¥ªâ®à­ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢e1 ⊗ e1= 0,e2 ⊗ e1= −e3 ,e3 ⊗ e1= e2 ,e1 ⊗ e2= e3 ,e2 ⊗ e2e3 ⊗ e2e1 ⊗ e3= 0,= −e2 ,e2 ⊗ e3= −e1 ,= e1 ,e 3 ⊗ e3= 0.‚ «¥ªæ¨¨ 10 ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , ­ âï­ã⮣® ­ ¢¥ªâ®àë a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), à ¢­ p(a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 .’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (11.3), (11.4), ᢮©á⢠11.4, 11.5, â ª¦¥ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ¢¥ªâ®à c, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ç¥à¥§ ª®®à¤¨­ âë ᮬ­®¦¨â¥«¥©µ¶µ¶µ¶a2 a3a3 a1a1 a2c = dete1 + dete2 + dete3 .bbbbbb233112®­ïâ­®, ç⮠⥠᢮©á⢠, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ­ ¬¨ ¤®ª § ­ë ¤«ï ä®à¬ «ì­®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 11.6.‚§ ¨¬®á¢ï§ì ¢¥ªâ®à­®£® ¨ á¬¥è ­­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨©.

Œë ¨¬¥¥¬a1 a2 a3(a, b, c) = V3 (a, b, c) = det  b1 b2 b3 c1 c2 c3µ¶µb2 b3= a1 det c c + a2 det cb3233b1c1¶µ+ a3 detb1c1b2c2¶= ha, b ⊗ ci..

Характеристики

Список файлов лекций