L-11-Autmn2017 (824151), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[a, b] = −[b, a]. ¬¥â¨¬, çâ® 20⇒ [a, a] = 0 ∀a ∈ V .∀t1 , t2 ∈ R,7¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.5. ª®¡®ç ï ®¯¥à æ¨ï §ë¢ ¥âáï ᪮¡ª®© ¨, ¥á«¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ⮦¤¥á⢮ ª®¡¨:[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0∀a, b, c ∈ V.¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ V , á ¡¦¥®¥ ᪮¡ª®© ¨, §ë¢ ¥âáï «£¥¡à®© ¨. áᬮâਬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¥ 3-¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ V á ¡ §¨á®¬ e1 , e2 , e3 .ãáâì ¬ ¨§¢¥áâ®, ª ª ᪮¡®ç ï ®¯¥à æ¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à å (¯®¤à㣮¬ã, § ¤ â ¡«¨æ ª®¬¬ãâ â®à®¢), â. ¥.[ei , ej ] =3Xk=1ckij ek ,ckij= const .(11.1) ¬¥â¨¬, çâ® 20 ⇒ ckij = −ckji ∀i, j, k = 1, 2, 3.®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ¡¨«¨¥©®áâì ¨ ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç®áâì ᪮¡®ç®© ®¯¥à 樨, ¯à¨¯®¬®é¨ (11.1) ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì § 票¥ ᪮¡ª¨ [a, b] ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢33PPa=a n en , b =b m em :n=13hXn=1a n en ,m=13Xm=1ibm em= (a1 b2 −a2 b1 )[e1 , e2 ]+(a3 b1 −a1 b3 )[e3 , e1 ]+(a2 b3 −a3 b2 )[e2 , e3 ]¡= (a1 b2 − a2 b1 )c112 + (a3 b1 − a1 b3 )c131 + (a2 b3 − a3 b2 )c123¡(a1 b2 − a2 b1 )c212 + (a3 b1 − a1 b3 )c231 + (a2 b3 − a3 b2 )c223¡¢¢e1e2(a1 b2 − a2 b1 )c312 + (a3 b1 − a1 b3 )c331 + (a2 b3 − a3 b2 )c323¢e3 .(11.2) ¬¥ç ¨¥ 11.2.
⬥⨬, çâ® ¨§ (11.1) ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¥ á«¥¤ã¥â, çâ® â ª ®¯à¥-¤¥«¥ ï ᪮¡ª ï¥âáï ᪮¡ª®© ¨. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ â ¡«¨æãª®¬¬ãâ â®à®¢ [e1 , e2 ] = e3 , [e2 , e3 ] = e1 + e2 , [e3 , e1 ] = 0. ë ¨¬¥¥¬[e3 , [e1 , e2 ]] + [e1 , [e2 , e3 ]] + [e2 , [e3 , e1 ]] = [e1 , e3 ] + [e1 , e1 + e2 ] + [e2 , 0] = e3 6= 0.¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.6.
áᬮâਬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮V¡ §¨á®¬ e1 , e2 , e3 . ª®¡®çãî ®¯¥à æ¨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî â ¡«¨æ¥© ª®¬¬ãâ â®à®¢[e1 , e2 ] = e3 = e1 ⊗ e2 , [e2 , e3 ] = e1 = e2 ⊗ e3 , [e3 , e1 ] = e2 = e3 ⊗ e2 ,á(11.3) §®¢¥¬ ä®à¬ «ìë¬ ¢¥ªâ®àë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ V .ᯮ«ì§ãï (11.2), (11.3), ¬ë ¯®«ãç ¥¬a ⊗ b = (a2 b3 − b2 a3 )e1 + (a3 b1 − b3 a1 )e2 + (a1 b2 − a2 b1 )e3 .(11.4)8 ¬¥ç ¨¥ 11.3. ®¯®áâ ¢ì⥠ä®à¬ã«ã (11.4) ¨ ä®à¬ã«ã (10.2) ¨§ «¥ªæ¨¨ ü10.¢®©á⢮ 11.4. ãáâì a, b | ¥ª®««¨¥ àë¥ ¢¥ªâ®àë.
®£¤ ¢¥ªâ®àë a, b, a ⊗ b«¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¡®«¥¥ ⮣®, ¡ §¨á {a⊗b, a, b} ®¤®¨¬¥¥ á ¡ §¨á®¬ {e1 , e2 , e3 }.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (a1 , a2 , a3 ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à a, (b1 , b2 , b3 ) | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à b. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (11.4), ¬ë ¯®«ãç ¥¬a2 b3 − b2 a3det b1a1a3 b1 − b3 a1 a1 b2 − a2 b1b2b3a2a3= (a2 b3 − b2 a3 )2 + (a3 b1 − b3 a1 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 > 0.¥¢®©á⢮ 11.5. ãáâì a, b | ¥ª®««¨¥ àë¥ ¢¥ªâ®àë. ®£¤ ha, a ⊗ bi = hb, a ⊗ bi = 0.®ª § ⥫ìá⢮.
஢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®.¢®©á⢮ 11.6 (¡ æ ¬¨ãá æ ¡).¥a ⊗ (b ⊗ c) = bha, ci − cha, bi.®ª § ⥫ìá⢮. ஢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®.¥¢®©á⢮ 11.7 (⮦¤¥á⢮ ª®¡¨). a ⊗ (b ⊗ c) + b ⊗ (c ⊗ a) + c ⊗ (a ⊗ b) = 0.®ª § ⥫ìá⢮. ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢮ ý¡ æ ¬¨ãá æ ¡þ, ¬ë ¯®«ãç ¥¬a⊗ (b⊗c)+ b⊗ (c⊗a)+ c⊗ (a⊗b) = bha, ci−cha, bi + chb, ai−ahb, ci + ahb, ci−bhc, ai = 0.¥¥ªâ®à®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.6. ¥ªâ®àë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 §ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï[ , ] : R3 × R3 → R3 ,ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¤¢ã¬ ¢¥ªâ®à ¬ a, b âà¥â¨© ¢¥ªâ®à c = [a, b] (¯¨èãâ â ª¦¥ c = a⊗b),®¡« ¤ î騩 á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨10 hc, ai = hc, bi = 0,20 |c| = ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a, b,30 a, b, c | ¯à ¢ ï âனª .9§ 20 á«¥¤ã¥â, çâ® [a, 0] = [0, b] = 0.¯à ¦¥¨¥ 11.1.
¥ªâ®à c ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 11.6 | ¥¤¨á⢥ë©. ®ç¥¬ã?§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 11.6 áà §ã ¦¥ ¢ë⥪ îâ ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢e1 ⊗ e1= 0,e2 ⊗ e1= −e3 ,e3 ⊗ e1= e2 ,e1 ⊗ e2= e3 ,e2 ⊗ e2e3 ⊗ e2e1 ⊗ e3= 0,= −e2 ,e2 ⊗ e3= −e1 ,= e1 ,e 3 ⊗ e3= 0. «¥ªæ¨¨ 10 ¡ë«® ¯®ª § ®, çâ® ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), à ¢ p(a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 .®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (11.3), (11.4), ᢮©á⢠11.4, 11.5, â ª¦¥ ¥¤¨á⢥®áâì ¢¥ªâ®à c, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ç¥à¥§ ª®®à¤¨ âë ᮬ®¦¨â¥«¥©µ¶µ¶µ¶a2 a3a3 a1a1 a2c = dete1 + dete2 + dete3 .bbbbbb233112®ïâ®, ç⮠⥠᢮©á⢠, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ¬¨ ¤®ª § ë ¤«ï ä®à¬ «ì®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¨ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 11.6.§ ¨¬®á¢ï§ì ¢¥ªâ®à®£® ¨ á¬¥è ®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨©.
ë ¨¬¥¥¬a1 a2 a3(a, b, c) = V3 (a, b, c) = det b1 b2 b3 c1 c2 c3µ¶µb2 b3= a1 det c c + a2 det cb3233b1c1¶µ+ a3 detb1c1b2c2¶= ha, b ⊗ ci..