phys_3sem_lection_all (823856), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Приложение 2Получаем систему из двух уравнений E01 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + E03 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = E02 cos α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )ε2 E01 sin α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) − E03 sin α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = ε E02 sin α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )1Из закона преломления n1 sin α1 = n2 sin α 2 следует, что уравнения выполняются вслучае нормального падения волны на границу α1 = 0 .Предположим, что α1 ≠ 0 .

Первое уравнение умножаем наε2sin α 2 , а второеε1на cos α 2 и, вычитая из первого уравнения второе, получаем:εE01  2 sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) − ε1ε+ E03  2 sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = 0 ε1Преобразуем это уравнение ε2 ε2 E01  sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  cos ( ϕ1 ) + E03  sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  cos ( ϕ3 )  cos ( ωt − ( k1 X x ) ) ε1 ε1εε−  E01  2 sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  sin ( ϕ1 ) + E03  2 sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  sin ( ϕ3 )  sin ( ωt − ( k1 X x ) ) = 0 ε1 ε1В этом уравнении коэффициенты при cos ( ωt − ( k1X x ) ) и sin ( ωt − ( k1X x ) ) не зависят отвремени. Поэтому они должны быть равны нулю. РавенстваεεE01  2 sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  cos ( ϕ1 ) + E03  2 sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  cos ( ϕ3 ) = 0 ε1 ε1εεE03  2 sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  sin ( ϕ3 ) + E01  2 sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  sin ( ϕ1 ) = 0 ε1 ε1выполняются одновременно при cos ( ϕ1 ) = cos ( ϕ3 ) и sin ( ϕ1 ) = sin ( ϕ3 ) .Перепишем эти условия в виде sin ( ϕ3 ) cos ( ϕ1 ) − cos ( ϕ3 ) sin ( ϕ1 ) = 0 и получим, чтоsin ( ϕ3 − ϕ1 ) = 0 , т.е.

начальные фазы падающей и отражённой волн либо равны, ли-бо отличаются друг от друга на π. Поэтомуможно записать4cos ( ϕ1 )cos ( ϕ3 )= ±1 (либоsin ( ϕ1 )sin ( ϕ3 )= ±1 ). ТогдаСеместр 3. Приложение 2 ε2 sin α 2 cos α1 − sin α1 cos α 2  ε cos ( ϕ1 )  .E03 = − E01  1 ε2  cos ( ϕ3 )  sin α 2 cos α1 + sin α1 cos α 2  ε1Для оптически прозрачных сред µ ≈ 1 , поэтому n ≈ ε . С учётом n1 sin α1 = n2 sin α 2 ,sin α1 ≠ 0 можно провести некоторые преобразования n2 cos α1 − cos α 2  n cos ( ϕ1 )  = − E ( sin α1 cos α1 − sin α 2 cos α 2 )  cos ( ϕ1 )  ,E03 = − E01  101sin α1 cos α1 + sin α 2 cos α 2 )  cos ( ϕ3 )  n2  cos ( ϕ3 ) ( cos α1 + cos α 2  n1ππ cos  2α1 −  + cos  2α 2 +  22    cos ( ϕ1 ) ( sin 2α1 − sin 2α 2 )  cos ( ϕ1 )  = − E  E03 = − E01,01ππ    cos ( ϕ3 ) ( sin 2α1 + sin 2α 2 )  cos ( ϕ3 )  cos  2α1 − 2  + cos  2α 2 − 2  π2 cos ( α1 + α 2 ) cos  α1 − α 2 − tg ( α1 − α 2 )  cos ( ϕ1 ) 2   cos ( ϕ1 ) E03 = − E01 = − E01.πcos ( ϕ3 ) tg ( α1 + α 2 )  cos ( ϕ3 ) 2 cos  α1 + α 2 −  cos ( α1 − α 2 )2Величины амплитуд Е01 и Е03 положительные.Т.к.

α1≤π/2 и α2≤π/2, то α1+α2≤π, поэтому tg(α1+α2)≥0.Следовательно, в случае α1−α2≥0, (т.е. когда tg(α1−α2)≥0) должно бытьcos ( ϕ1 )cos ( ϕ3 )= −1 - фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на π.В этом случае α1≥α2, поэтомуsin α1 n2= > 1 , т.е. волна отражается от оптическиsin α 2 n1более плотной среды.Случаю α1−α2<0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды и фаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.Возможен случай, когда нет отражённой волны Е03=0.Это возможно либо при tg(α1−α2)=0, т.е. α1=α2 - волна не преломляется, либо приtg(α1+α2)→ +∞, т.е. α1+α2 =π/2 - волновые векторы преломлённого луча и отраженного луча взаимно перпендикулярны.5Семестр 3.

Приложение 2Тогда равенство Е03=0 равносильноn2πcos α1 − cos α 2 = 0 . Но α 2 = − α1 , поэтомуn12n2cos α1 = sin α1 . Следовательно, если тангенс угла падения равен относительномуn1показателю преломления двух средtg α B =n2= n21n1то при отражении света от границы между ними нет волны, плоскость поляризации которой совпадает с плоскостью падения. Этот угол называется углом Брюстера.Теперь в системе уравнений E01 cos α1 cos ( ωt − ( k1X x ) + ϕ1 ) + E03 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = E02 cos α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )ε2 E01 sin α1 cos ( ωt − ( k1X x ) + ϕ1 ) − E03 sin α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = ε E02 sin α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )1первое уравнение умножим на sin α1 , а второе на cos α1 и сложим друг с другом.ε2 E01 cos α1 sin α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) = E02  sin α1 cos α 2 + 2 cos α1 sin α 2  cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )ε1Используем условие k1X = k2X()E01 sin 2α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) ) cos ( ϕ1 ) − sin ( ωt − ( k1 X x ) ) sin ( ϕ1 ) =εE02  sin α1 cos α 2 + 2 cos α1 sin α 2  cos ( ωt − ( k1 X x ) ) cos ( ϕ2 ) − sin ( ωt − ( k1 X x ) ) sin ( ϕ2 )ε1()ε2 E01 sin 2α1 cos ( ϕ1 ) − E02  sin α1 cos α 2 + cos α1 sin α 2  cos ( ϕ2 )  cos ( ωt − ( k1 X x ) )ε1ε−  E01 sin 2α1 sin ( ϕ1 ) − E02  sin α1 cos α 2 + 2 cos α1 sin α 2  sin ( ϕ2 )  sin ( ωt − ( k1 X x ) ) = 0ε1В этом уравнении коэффициенты не зависят от времени, поэтому они равны нулю:εE01 sin 2α1 cos ( ϕ1 ) − E02  sin α1 cos α 2 + 2 cos α1 sin α 2  cos ( ϕ2 ) = 0 ,ε1εE01 sin 2α1 sin ( ϕ1 ) − E02  sin α1 cos α 2 + 2 cos α1 sin α 2  sin ( ϕ2 ) = 0 .ε16Семестр 3.

Приложение 2Это возможно, если cos ( ϕ1 ) = cos ( ϕ2 ) и sin ( ϕ1 ) = sin ( ϕ2 ) . Объединяем эти соотношения в одно равенство sin ( ϕ2 ) cos ( ϕ1 ) = sin ( ϕ1 ) cos ( ϕ2 ) или sin ( ϕ2 − ϕ1 ) = 0 . Поэтомуначальные фазы прошедшей и падающей волн, либо равны, либо отличаются на π.Тогдаcos ( ϕ1 )cos ( ϕ2 )= ±1 (либоsin ( ϕ1 )sin ( ϕ2 )E02 = E01= ±1 ). Поэтому cos ( ϕ1 ) sin 2α1.  cos ( ϕ2 ) ε2 sin α1 cos α 2 + cos α1 sin α 2 ε1Для оптически прозрачных сред µ ≈ 1 , поэтому n ≈ ε . С учётом n1 sin α1 = n2 sin α 2 ,sin α1 ≠ 0 можно провести некоторые преобразованияE02 = E01E02 = E01 cos ( ϕ1 )  cos ( ϕ1 ) 2 sin α12 cos α1 sin α 2 = E01,sin α 2 cos α 2 + sin α1 cos α1 )  cos ( ϕ2 )   cos ( ϕ2 ) (n2 cos α 2 + cos α1 n1 cos ( ϕ1 ) 4 cos α1 sin α 2  cos ( ϕ1 ) 4 cos α1 sin α 2 = E01,ππ    cos ( ϕ2 ) ( sin 2α 2 + sin 2α1 )  cos ( ϕ2 )  cos  2α 2 − 2  + cos  2α1 − 2  E02 = E01 cos ( ϕ1 ) 2 cos α1 sin α 2.cos ( α 2 − α1 ) sin ( α 2 + α1 )  cos ( ϕ2 ) Величины амплитуд Е01 и Е02 положительные.Т.к.

α1≤π/2 и α2≤π/2, то α1+α2≤π, поэтому sin(α1+α2)≥0 и cos(α2−α1)≥0. Следовательно, должно бытьcos ( ϕ1 )cos ( ϕ2 )= 1 , т.е. фазы прошедшей и падающей волн сов-падают.2) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор E1 = ( 0,0,E1 ) параллеленгранице, а вектор H1 лежит в плоскости (XY), т.е. H1 = ( H1 X ,H1Y ,0 ) . Волна поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Так как на границедолжны выполняться условия E1t + E3t = E2t и H1t + H 3t = H 3t , тоE3 X = E2 X и E1 + E3 Z = E2 Z , H 3 Z = H 2 Z и H1 X + H 3 X = H 2 X .7Семестр 3.

Приложение 2Кроме того, на границе выполняются условияD1n + D3n = D2 n и B1n + B3n = B2 n , поэтому ε1 E3Y = ε 2 E2Y ,k3E1H1n1n2Yα1 α3µ1 ( H1Y + H 3Y ) = µ 2 H 2Y .E3Координаты E2X, E3X, E2Y, E3Y, H2Z, H3Z, не свяH3Zk1заны никакими уравнениями с параметрами падающей волны. Поэтому их можно не рассмат-ZXα2E2ривать, т.е. считать равными нулю.

Следовательно, прошедшая и отражённая волны явля-H2Zются линейно-поляризованными, т.к.k2E2 = ( 0 , 0 ,E2 ) , E3 = ( 0 , 0 ,E3 ) , H 2 = ( H 2 X ,H 2Y , 0 ) ,H 3 = ( H 3 X ,H 3Y , 0 ) .Законы преломления остаются прежними α3 = α1 , n1 sin α1 = n2 sin α 2 .Найдём соотношения между величинами напряжённостей.

Предположим,что векторы напряжённостей электрического и магнитного полей в падающей,прошедшей и отражённой волнах в некоторый момент времени имеют направления, указанные на рисунке. Поэтому H1 = ( − H1 cos α1 , − H1 sin α1 ,0 ) ,H 2 = ( − H 2 cos α 2 , − H 2 sin α 2 , 0 ) и H 3 = ( H 3 cos α1 , − H 2 sin α1 , 0 ) .Тогда условие H1 X + H 3 X = H 2 X примет вид− H10 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + H 03 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) == − H 02 cos α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )С учётом H = E− E10= − E02εε 0µµ 0ε1ε 0εεcos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + E03 1 0 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) =µ1µ 0µ1µ 0ε 2ε0cos α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )µ 2µ 0Условие E1 + E3 = E2 примет видE10 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + E03 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = E02 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )Получаем систему уравнений8Семестр 3.

Приложение 2ε1εcos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + E03 1 cos α1 cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) =− E10µ1µ1ε2cos α 2 cos ( ωt − ( k2 X x ) + ϕ2 )= − E02µ2 E cos ωt − k x + ϕ + E cos ωt − k x + ϕ = E cos ωt − k x + ϕ( ( 1X ) 1 ) 03 ( ( 1X ) 3 ) 02 ( ( 2 X ) 2 ) 10ε2cos α 2 и суммируем первое и второе:µ 2µ 0Второе уравнение умножим на εεεεE10  2 cos α 2 − 1 cos α1  cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ1 ) + E03  cos α 2 2 + 1 cos α1  cos ( ωt − ( k1 X x ) + ϕ3 ) = 0µ1µ2µ1 µ2Преобразуем εE10  2 cos α 2 − µ2ε+ E03  cos α 2 2 +µ2ε1cos α1  cos ( ωt − ( k1 X x ) ) cos ( ϕ1 ) − sin ( ωt − ( k1 X x ) ) sin ( ϕ1 )µ1()ε1cos α1  cos ( ωt − ( k1 X x ) ) cos ( ϕ3 ) − sin ( ωt − ( k1 X x ) ) sin ( ϕ3 ) = 0µ1()и получим εεεε E10  2 cos α 2 − 1 cos α1  cos ( ϕ1 ) + E03  cos α 2 2 + 1 cos α1  cos ( ϕ3 )  cos ( ωt − ( k1 X x ) )µ1µ2µ1 µ2 εεεε−  E10  2 cos α 2 − 1 cos α1  sin ( ϕ1 ) + E03  cos α 2 2 + 1 cos α1  sin ( ϕ3 )  sin ( ωt − ( k1 X x ) ) = 0µ1µ2µ1 µ2В этом уравнении коэффициенты при cos ( ωt − ( k1X x ) ) и sin ( ωt − ( k1X x ) ) не зависят отвремени.

Характеристики

Список файлов лекций