Пределы и непрерывность функций (821418)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н,Э. БауманаМетодические указанияВ.В. Дуров, А.В. Мастихин, А.С. СавинПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИЙИздательство УНЦ М1ТУ имени Н.Э. Баумана«Криоконсул»МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТим. Н.Э. БАУМАНАВ.В. Дуров, А.В. Мастихин, А.С. СавинПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬФУНКЦИЙМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э.
Баумана2004УДК 517.1ББК 22.151.5Д84Рецензенты А.В. Неклюдов, ЕМ. ПоповаД84Дуров В.В., Мастихин А.В., Савин А.С.Пределы и непрерывность функций: Метод, указания к выполнению типового расчета. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 62 с : ил.ISBN 5-7038-2473-7Даны определения и формулировки теорем о пределах числовых последовательностей и функций. Подробно разобраны примеры вычисленияпределов различных функций. Приведены примеры сравнения функций призаданном стремлении аргумента, выделения главных частей функций и использования эквивалентных функций при вычислении пределов. Дана классификация точек разрыва функций. Приведены задачи типового расчета.Для студентов всех факультетов МГТУ им.
Н.Э. Баумана.Табл. 4. Библиогр. 3 назв.УДК 517.1ББК 22.151.5ISBN 5-7038-2473-7© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20041. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИОпределение 1. Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое действительное число хп , то говорят,что задана (числовая) последовательность х\, x<i,..., хп,... к о торую обозначают {хп}.
Отдельные числа Xk, к = 1,2,... называют членами или элементами последовательности {хп}.Замечание. Как правило, последовательность задается формулой для вычисления значений ее членов по их номерам.Пример 1. Формула хп =задает числовую последовап -f 112 3птельность-,-,-,...,—,...Определение 2. Число а называется пределом последовательности {хп}у если для любого е > О найдется число N = N(e) такое, что при всех п> N выполняется неравенство \хп — а\ < е. Приэтом пишут lim хп = а, или lim хп = а,или хп —> а при п —> со.п—юоВ логических символах определению предела последовательности можно придать вид ( lim хп — а) <=> (Ve > О 3N = N(e) :\п—юо/\: \/п > N => \хп - а\ < е)Определение 3. Последовательность {хп}> имеющая предел а,называется сходящейся (к числу а).
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.Замечание. Доказательство того, что число а является пределомпоследовательности {х п }, обычно начинают с формальной записинеравенства \хп - а\ < е, далее путем различных упрощений находят достаточное условие его выполнения в виде п > N(e)Ve > 0.3Точное решение неравенства \хп — а\ < е относительно п для доказательства того, что limбольшинстве случаев очень сложно и совершенно не обязательно.~ тт2п - 1пПример 2. Доказать, что последовательность хп Зп + 1 сходится к числу а = - , определив для каждого е > 0 число N = N(e)отакое, что \хп - а\ < е при всех п> N(e). Заполнить таблицу:е0,10,010,001\Ще)Р е ш е н и е.
Из цепочки соотношений, |2п-1хп - а\ = l 3 n + l2|3l5< е3(3n + l)следует, что для любого е > 0 неравенство \хп — а\ < е выполняетсяпри всех п > -11 1 = N(e). Вычислив N(e) при значениях,О у о€Jравных 0,1, 0,01 и 0,001, заполняем таблицу:е0,10,010,001№555555Пример 3. Показать, что последовательностьп2 + п sin nsимеет предел а = 1.Р е ш е н и е . Оцениваем модуль разностихп - а =| пг + п sin nxlIJeinnlпхп =1<е>п1Очевидно, последнее неравенство — < е в этой цепочке выполняется при п > - = N(e) Ve > 0, это и означает, что lim x n = 1.еп-юоМногие оценки основаны на формуле бинома Ньютона:V a , 6 € R , V n 6 N,п(а + Ь)п = Y, С*ап-кЪк = С°пап + С1пап~1Ь + ...
+ С£6П,fc=0где так называемые биномиальные коэффициенты С* подсчитываются по формулепk\(n-k)VВ частности, при a = 1, Ь > - 1 , удержав в правой части формулыбинома Ньютона лишь два слагаемых, получим неравенство Бернулли(1 + Ь)п > 1 + пЬ.(1)Определение 4. Если lim хп = 0, то последовательность {жп}п-юоназывается бесконечно малой.2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙТеорема 1.
Последовательность {х п } имеет предел а тогда итолько тогда, когда хп = а -f a n , где {a n } — бесконечно малаяпоследовательность.Пример 4. Показать, что последовательность хп = qn, где\q\ < 1, является бесконечно малой.Р е ш е н и е . При q = О это очевидно. Пусть 0 < \q\ < 1. Воспользовавшись неравенством Бернулли (1), получим цепочку соотношений1^ в [ 1+ (ш- 1 )Г^ 1+ Чш- 1 )>Чш- 1 )'из которой следует, что1а*-о| = Ы"<lf. <еприп>/^= N(e).•(ш-0nЭто и означает, что lim q = 0.п—юоТеорема 2. Если последовательности {хп} и {з/п} сходятся и,начиная с некоторого номера по, выполняется неравенство хп < уПуто lim xn < lim yn.п—юоп-юоЗамечание. Из неравенства хп < уп не следует, что lim xn <п—юо< lim 2/n» а следует лишь нестрогое неравенство lim xn< lim yn.п—Юоп—юоп—юоПример 5.
Пусть хп = 0, уп = —. Очевидно, что х п < уп припвсех п, но lim xn = lim yn = 0.п—>ооп—юоТеорема 3 (о пределе «зажатой последовательности»). Есличлены последовательностей {x n }, {yn}i {zn}> начиная с некоторогономера по, удовлетворяют неравенствам хп < уп < zn и при этомlim хп = lim zn = а, то последовательность {уп\ сходится кn-юоп-юочислу а.Пример 6. Показать, что последовательность хп = у/п 4-1—>/пбесконечно малая.Р е ш е н и е . Из соотношений1110 < Хп =.— < - - 7 = < —7=Vn 4-1 4 у/п2i/nл/пвидно, что последовательность зажата бесконечно малыми последовательностями {0} и {-^}, таким образом, lim xn = 0.Определение 5.
Последовательности {хп 4 t/ n }, {xn — уп},{хпУп}, {—} называются соответственно суммой, разностью, проУпизведением и частным последовательностей {хп} и {уп}' В случаечастного предполагается, что {уп} Ф 0 при и = 1,2, —Теорема 4. Если lim xn = a, Hm yn = Ь, то lim (xn ± уп) =п—юоn-юоп-юо= а ± Ъ\ lim (xn2/n) = ab\ lim (—) = —,6^0.6n-юоn-юо y n6Теорема 5. Если f(x) элементарная функция, а элементы последовательности и ее предел лежат в области определения функции/(ж), то lim f(xn) = / ( lim хп).п-юоп-»ооПример 7. Найти предел последовательностихп =^—-+г^—^ + '' • +Р е ш е н и е .
Поскольку в сумме, определяющей жп, каждоеппоследующее слагаемое меньше предыдущего, .< хп <2\/п + п<. Таким образом, последовательность {хп} зажата поV п 2 -Ь 1ппследовательностями уп = .и г п = — = = , пределы ко2Vп + пv п2 + 1торых равны единице. Действительно, в силу теорем 4 и 5lim у п = limп-юо,= lim —.п-юо у/п2 _|_ пВтZn= 1{ т -п-»оо7п-юо= 1;/ i l l^ = = lim - , 2 = = 1.п-юо ^/ п 2 + -Jп-юоД, 1По теореме 3 lim rcn = 1.п—юо2пПример 8. Доказать, что lim —- = 0.п-юоп!2пР е ш е н и е .
Пусть # п = —, тогдап!2 2 22 _/2\л"2 9/2\п0<Ж2" = Т - 2 - 3 - ^ Ч з )=2(з) ^ °при п -> оо, в силу примера 4 и теоремы 4. Таким образом, последовательность зажата бесконечно малыми последовательностями,тогда по теореме 3 lim xn = 0.п-юоапПример 9. Доказать, что Va e R lim — = 0.п-юо п\Решение:о < |^| = И И'п! 11М _Н_ N < И* Г |a| Y~k <2 "" fc fc + l ' " n_fc! Vfc + 1 /< (* L± l^ ( Ja L y.k\ \k + l)при n —> oo, если значение к выбрано (и пзафиксировано) из усло\а\авия< 1. Последовательность {I—-1}является бесконечно«+ 1'п! 1малой, так как зажата бесконечно малыми последовательностями.Тогда является бесконечно малой и последовательность {—г}.п\Пример 10.
Доказать, что lim —-п = 0.п—too пР е ш е н и е. Из оценкип!1 2 3п0 < —п =пп п пп1...-<-,ппверной для любого п € N, следует, что последовательность\ —- > зажата бесконечно малыми последовательностями, т. е.lim — = 0.n—too ппПример 11. Доказать,что lim у/а = 1 Va > 0.п->ооР е ш е н и е .
При a = 1 это очевидно, пусть а > 1, тогда и>/а > 1. С помощью неравенства Бернулли (1) получаема= [ l + ^ - 1 ^ ] П > l + n ( ^ / a - l ) > n ( ^ / a - l ) > 0,откуда следует, что 0 < л/a - 1 < — или 1 < л/а < 1 И—. Такимппобразом, последовательность { \Уа} зажата последовательностями{1} и {1 Н—}, имеющими общий предел, равный единице. Тогдапlim \Уа = 1.П-ЮОПусть 0 < a < 1, тогда - > 1 и, по доказанному,аг-,.1n->oo {/av17—lim -^=n->oo ^ohm \ja — lim —7= = -п-юоПример 12. Доказать, что lim (/n = 1.п-юо8= 1-Р е ш е н и е .
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, вкоторой удержано только третье слагаемое, получимn=[l+(^-l)]n= fc=0^Cn(^-1)'e ==l+n ( ^ - l ) + ^ f ^ ( ^ - l ) 2 + -+(^-l)n>п(п - 1) (>_^_2(^_1у,пА( \fn - 11\/< 1 -\-\<2или 1 < tfn <п—1-. Таким образом, последовательность { tfn) зажатаV ft — 1последовательностями {1} и < 1-К /[.имеющими общий предел, равный единице.
Тогда, lim фг = 1.п-юо71Пример 13. Доказать, что Va > 1lim — = 0.n->oo anР е ш е н и е . Поскольку а — 1 > 0, можно применить приемиз примера 12. В результате для п > 2 получим ап = [1 ++ (a - l)J n >— - ( a — 1) , откуда следует, что 0 < — <2п< 177о7тт —> 0 при п —> оо, что означает lim — = 0.(a - l ) 2 ( n - 1)n-юо a nloCTa 71Пример 14. Доказать, что Va > 1 lim= 0.n-»oonР е ш е н и е .
Зафиксируем произвольное число е > 0. НеравенствоI lQ g Q nI = log a n <c\ пIпэквивалентно неравенству п < (a c ) n . Поскольку ае > 1, в силупримера 13, lim -—г—= 0. Отсюда следует, что существует чип->оо (ае)плтftело JM такое, что неравенство -—— < 1» и л и эквивалентное ему(аЕ)п9п < (а е ) п , будут выполняться при всех п> N. Для тех же п очевидlog a n,. log a nно, что выполняется неравенство —-—< е, тогда lim —-—= 0.пп-юо пЗамечание.
Из примеров 13 и 14 следует, что при любом a > 1последовательность {п} возрастает медленнее, чем последовательность {a n }, и быстрее, чем последовательность {loga n}.3. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.ЧИСЛО ЭЙЛЕРА еОпределение 6. Последовательность {хп} называется ограниченной, если существует число С такое, что |х п | < С, п = 1,2, —Теорема 6.
Сходящаяся последовательность ограничена.Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, последовательность {(—1)п} ограничена, но не сходится.Теорема 7. Для сходимости последовательности {хп} необходимо, чтобыlim (xn+i - хп) = 0.(2)n—tooПример 15.Рассмотримпоследовательность{хп}:—1,1, — 1 , . . . (-1) п ,Так как |x n +i - хп\ = 2, то очевидно,что условие (2) не выполняется и последовательность расходится.Определение 7. Последовательность {хп} называется неубывающей, если хп < хп+\ Vn e N.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
