Пределы и непрерывность функций (821418), страница 4
Текст из файла (страница 4)
А = lim —^— = 0. Правильный результат получен впримере 44.Последовательно применяя соотношения (3)—(6), можно вычислять и более сложные пределы.In cos хПример 69. Вычислить предел А = lim --—гг.:х-И) ln(l + s m r )Р е ш е н и е . При х -» 0 получаем In cos x = - ln(l - sin 2 x) ~.
2Sin X22* ^ i / ^.9\. 91~ — — ,ln(l 4- sinx ) ~ s m x ~ х , поэтому2х2Л = lim —2- -i2х-*о х2',,ln[l + ln(l + x 3 )lПример 70. Вычислить предел А = lim — . , 9 ЁТ—-.s-юsin(x^ - х&)Р е ш е н и е . При х ->> 0 получаем In [l + ln(l + х 3 )] ~ 1п(1 ++ х 3 ) ~ х 3 , sin(x 3 - х 5 ) ~ ж3 - х 5 = х 3 + о(х 3 ) ~ х 3 . Отсюдазследует, что А = lim — = 1.х->>0 X*5lnx•=.Пример 71. Вычислить предел А = limXИ»С"у JCР е ш е н и е . При х -> 1 получаем In х = 1п[1 + (х - 1 ) ] ~ х - 1,поэтомуЛ - Hm - b f L „ l im ^х-»1 X —VX30х-»1- ^ +у/Х^/х— 1)Ц = lim ^ * + 1> - 2.ж->1VXПример 72.
Вычислить предел А = lim.х-+о хР е ш е н и е . При х -> 0 получаем e sinx - ех = e x (e s i n x ~ x - 1 ) ~~ e x (sinx - ж), поэтомуA = l i m e - f 5 " £ - l U l i m e * r i i m ^ - l ) = l . ( l - l ) = 0.х-УО\X/х-»0\х->0X/Пример 73. Вычислить предел А = lim— , а > 0.х->о In a; — In aРе ш е н и е . При х -> а получаем ех - е° = е а (е х ~° - 1) ~а~ е (х - а) и In ж - In о = Inаf = lnfl+ ( - - 1)1 ~ - - 1 = ^ ^ ,l'aaaотсюдаех-еаае°(ж - а)аА = lim— = lim^ = ае .х-*а In х — In а х-»а ж — а1 - sin fПример 74.
Вычислить предел А = lim -:-ту.х—^2 ^Ж^уР е ш е н и е . При ж -> 2 получаем1 _ sin 1x=1-snr —cos2 —sinz(—)3L =E_ =1Я 21 „1 + sin — 1 + sin —1 + sin —жжж/7Г ^7Гч2V/r ~О'7Г2 / 2 - Ж8vЧж '27Г 232v27Г"Таким образом, А = lim(д_2)2= ^.2хПример 75. Вычислить предел А = limх-+22_2х+2:.Sin 7ГЖРешение:2Х2 _ 2Х+2=2^+2/2Х 2 -х-2 _ -Л _ 2*+2/2( х - 2 )( ж + 1 ) _ l ) rsj~ 24(ж - 2)(ж + 1) In2 - (3 • 241п2)(ж - 2) = (481п2)(ж - 2),31sin7rx = sin[7r(2 + x - 2)] = sin[27r + 7r(x - 2)] == sin[7r(x — 2)] ~ 7r(x — 2),при х —> 2, отсюда получаемА=Ит(481п2)( Я -2)x-f27г(х - 2)=481п27ГПример 76. Вычислить А = lim (у/х7 + 2х6 - х 4 — х).х-юо4'Р е ш е н и е .
Вынося из-под корня старшую степень х, получимА= lim х({/1+ ( - - ^ J) - 1 ) .х-к» ч ух xПри х -У оо величина^ бесконечно мала, поэтомухх°iM-?>-4<!-?>-->~ОтсюдаА = lim - (х) = lim (- - —«) = - .x-^oo7vx x 3 /x-^oov7 7x 2/7Пример 77. ВычислитьА= lim (v / x 7 + 2 x 6 - x 4 - \/x 5 + 3 x 4 - x ) .х—юоР е ш егнниие е:Л = lim Ul/x7 + 2х6 - х 4 - х ) - ( \ / х 5 + Зх4 - х - х)1 == lim (<Ух7 + 2 х 6 - х 4 - х ) - Нт (\/х 5 + Зх4 - х - х).Так как первый из этих пределов найден в примере 76, второй подсчитаем тем же методом:lim (\/х 5 + З х 4 - х - х ) =x->oov32'= lim xffli+llx->ooVyvx*)-i)=X4/lim | (- - \)=х-юо 5XX*f.5Окончательно находим ^ = т ; - - г = - ^ 7 7 535СИ X )Определение 20. Пусть lim . .
, /..К = С,0 < С < +оо, тогда:х->* ЦЗ(Х)\а) если функции а(х), /?(х) бесконечно малые при х -» *, тофункция а{х) называется бесконечно малой порядка к (малости)относительно /3(х) при х -> *;б) если функции а(х), 0(х) бесконечно большие при х —> *, тофункция а(х) называется бесконечно большой порядка к (роста)относительно (5{х) при х -> *.Пусть lim ^ Ь = С, 0 < С < +оо, тогда т ^ ^ = С +*->* [/3(x)]fc[Р{х)\к+*у(х)ч где функция 7(ж) бесконечно малая или бесконечно большаяпри х —> * = » а(х) = С(Р(х))к + о((/3(х))Л), х -> *; функцияС(/3(х))к называется главной частью бесконечно малой или бесконечно большой функции а(х).В качестве «масштабной» функции бывает удобно брать простейшую (х - а),,• • •.х—аПример 78.
Найти порядок малости относительно х и главнуючасть бесконечно малой при х -> 0 функции /(х) = 2 \/~х* + Зл/х^.Р е ш е н и е . Порядок малости А: определяется из условияf(x)lim ^ Vк " = С, 0 < С < +оо,2х->0 Х;°.*<з_. /(х).. 2 ^ 2 + Зл/х^lim —4т= limгЛ2,* = §;Кх->-0Хх->0Х2foo,fc>-.2аОтсюда следует, что порядок малости к = —, т. е. /(х) ~ 2хз приох ->• 0 или в силу критерия эквивалентности функций (теорема 13)3322/(х) = 2хз + о(хз). Таким образом, главная часть бесконечно ма2лой при х ->• 0 функции /(х) есть 2хз.
Более краткое решениеможно получить из соотношений /(х) = 2хз + Зхг = 2хз(1 +3 i\Л2,3бч+ -хб) ~ 2хз при х -> 0, поскольку hm(l + - x e j = 1.Пример 79. Найти порядок роста относительно х и главнуючасть бесконечно большой при х —> -Ьоо функции /(х) = 2 \/х* ++ Зл/хАРешение.ооо*/ко/(х) = 2хз + 3x2 = 3x2 (1 + - х " в ) ~ 3x2 при х -» +оо,опоскольку lim (l + i x _ e ) = l.
Таким образом, главная часть беся-юо ч°'конечно большой при х -> +оо функции /(х) есть 3x2, порядок ее3роста относительно х равен - .Пример 80. Записать главные части бесконечно малых функцийпри указанном стремлении аргумента:а) fix)=sm(х^3o i -11—)> ж —>• 3. Поскольку (3х3 - x- ) -> 0 при31,^х-^-9(а:-3)'^3;х2б) #(ж) = sin(l — cosx) ~ —, х -> 0 (см. пример 41);х Н- 1IГв) h(x) = vx + 1 sin In, х -> +00, /i(x) = v W H — x' ^ х - 3=xужx sinlnfl + - ) ~у/х\п{\ + - ) ~ — = -7=, x -» +oo.4X7vx'Xy/X11.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИРАЗРЫВА ФУНКЦИИОпределение 21. Функция /(х) называется непрерывной в точке хо, если в этой точке выполняется соотношениеlim /(x) =,/(х 0 ).X—Но34Это определение предъявляет к функции следующие требования:а) функция f(x) должна быть определена в точке хо;б) функция f(x) должна иметь предел в точке хо;в) этот предел должен совпадать со значением функции f(x) вэтой точке.Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то говорят,что функция /(х) разрывна в точке хо, а сама точка хо называетсяточкой разрыва функции /(х).Если при этом односторонние пределы /(хо — 0) и /(хо + 0)существуют и конечны, то точка хо называется точкой разрыва1-го рода.
В частности, если /(хо - 0) = /(хо + 0), т. е. в точке хо функция /(х) имеет предел, то говорят, что хо есть точкаустранимого разрыва. Разрыв в этом случае можно устранить, доопределяя или переопределяя значение функции /(х) в точке хо:/(хо) = lim /(х). Эта процедура называется продолжением функх—•хоции по непрерывности.Всякая точка разрыва функции /(х), не являющаяся точкой разрыва 1-го рода, называется точкой разрыва 2-го рода. Другими словами, в точке разрыва 2-го рода по крайней мере один из односторонних пределов функции не существует или бесконечен. Наиболеетипичный случай разрыва 2-го рода—это именно бесконечный разрыв.Пример 81.
Функция /(х) = arctg— имеет в точке х = 0 разрывхпервого рода, поскольку /(-0) = --, /(+0) = —.sin хПример 82. Функция f(x) =не определена в точке х = О,ходнако имеет в этой точке предел lim /(x) = 1. Следовательно,х—>0х = 0 — точка устранимого разрыва функции /(х). После доопределения /(0) = 1 функция /(х) станет непрерывной в этой точке.Пример 83. Функция /(х) = -\ имеет в точке х = 0 разрыввторого рода, поскольку /(—0) = /(+0) = + со.Пример 84. Функция /(х) = е* имеет в точке х = 0 разрыввторого рода, поскольку /(+0) = + со. Заметим, что / ( - 0 ) = 0.35Пример 85.
Функция /(х) = sin^ имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, поскольку в этой точке не существует ни один изодносторонних пределов / ( - 0 ) или /(+0).Пример 86. Точки разрыва функциия*)arctg—, х < 1;х1К х < 2;х- 1ln(x - 1)х >2х-2'следует искать как среди точек, выпавших из ее области определения, так и среди точек х = 1 и ж = 2, в которых осуществляетсясклейка разных ее ветвей. Рассмотрим точки 0,1,2. В точке х = 0функция/(х) имеет разрыв первого рода, как известно из примера81.В точке х = 1 предел слева вычисляется от левой ветви, т. е./(1 - 0) =lim /(х) =х-*1-017ГX4lim arctg— = —, предел справа вычи-3-+1-0сляется от правой ветви, т.
е. /(1 + 0)= lim f(x)=rV'x->l-0JV 'lim-=1Ч1+0Х-1= +oo, следовательно, в точке х = 1 функция f(x) имеет разрыввторого рода.В точке х = 2 односторонние пределы /(2 - 0) = lim f(x) =ж->2-0=lim- J _X-+2-0 X — 1= 1H/(2+0)=limX-+2+0f{x)=limx-*2+01п ж(X -~ *)=x2следовательно, в точке х = 2 функция /(х) имеет устранимый разрыв и, более того, непрерывна в этой точке.3612. ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1.
Доказать, что lim xn = а, определив для каждогоп—юое > 0 число N = N(e) такое, что \хп - а\ < е для всех п > N(e).Заполнить таблицу:€0,10,010,001N(e)Варианты задачи приведены в табл. 1.Таблица 1№ вариан- Последовательность и еепределЗп-23а=2^~V27п-13 х =пп +- г1- , о, = 71-2п2__15 Жп =й2 + 4п 2 '~~22 п5~_27 Жп"Зп+1' а ~ 3_ 4п2 + 1_ 49 Хп~ З п 2 + 2' а ~ 3—5п11а = —5п + 1'1-2п213о = -2п2 + 3 'п_ 1.15Зп-l' а~ 31Xn=№ваПоследовательность и еерианпредел246810121416_ 7п + 4_ 7~2n + V a~ 2_ 9-п3_ -1Жт1~ 1 + 2п 3 ' а " 24п-1Xn•Тл=2пП'а= 2п-1Хп. =1» Л =п1-2п'24п-3хп = -z—-тг, а = 22п+ 12п+ 12Хп.п« Д = —Зп-5'3Зп2, а = -32-п23Зп , а = 3п3-1=37Окончание табл. 1№ ваПоследовательность и ее|рианпределта171921232527294+ п*П = Г ^ 'а=1"з3-п21~ 1 + 2п 2 ' а " 2Зп-135п + 15_ 1 - 2п21* п ~ 2 + 4п 2 ' а ~ 2_ 2-2п1* п ~ 3 + 4п' а~2l + 3nQжп = —б — п, а = —оЗп2 + 2_ 3жп — 4 п 2 - 1 ' _ а ~ 4Х п№ ваПоследовательность и еерианпределта182022242628305п+15а = -56—п2п-122 - З п ' а = "з4п-32n+l' а = 25п + 11Юп-3' а = —23-4п22-п '2п + 3хп — п + Ь '2-Зп2__34 + 5п2> а ~ 5Задача 2.
Вычислить пределы функций: а), б), в), г), д), е).Варианты задачи приведены в табл. 2.38Задача 3. а) Показать, что данные функции fug являются бесконечно малыми или бесконечно большими при указанном стремлении аргумента; б) для каждой функции / и д записать главнуючасть (эквивалентную ей функцию) вида С(х — хо)а при х —» хоили Сха при х -> оо, указать их порядки малости (роста); в) сравнить f ид.Варианты задачи приведены в табл. 3Таблица 3№ вариантаФункции2х - 8,1у/х23х 2 + -{/x + sinx,5/(ж) = ^6№№№8з22 lw ЗЖ+ 2ж + 1, X -+ +00Зж2ж-4 +0• In cosyj,ж In: In х,47ж-> 31п29{x№xI9&arctgж -> +ooх->1ж -> 1=v^sin—,x= 2ж3 - 5ж2 + 1,9ж -* 1ж+2#(* = ln ж + 1'2#(* = 4 ( ж - 1 ) ,339& =\/ж + 1 — \/ж — 1, ж -> +оо19(x.ж —• + 0 01 - cosч/ж^т:10№= y/x2 + Xy/x}211f(x) = x + x - 2,12№••13№-y/x+y/xy14№= y/x+y/x,549& =у/х3 + ж + 1,1п(ж + 3)9(x =ж • +оо:—Г7===»х - -2arcsiny ж + 2- 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
