Пределы и непрерывность функций (821418), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вычислить А = limх.Xzх-+0Реш е н и е. Домножив числитель и знаменатель на выражение-Ь ж2 + 1, сопряженное числителю, с учетом формулы разностиквадратов (а - Ь)(а + Ь) = а2 — Ь2 получим--2__(ЛТ^-1)(/Г+д*+1) _ , .жvvv vА = lim * —.\ '—;—'—- = lim= lim , ,г = -.*-*б/Пи?+1)2х—4ПримерFr 30.
Вычислить А = lim - = — - .х-^^/ж - 2Р е ш е н и е . Задача решается домножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное знаменателю, или разложениемчислителя на множители (/ж — 2) (/ж 4- 2). При любом из этих способов после сокращения дроби получаемА = lim Ux + 2) = 4.Пример 31. Вычислить А = lim ,=.Р е ш е н и е .
Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и на выражение, сопряженное знаменателю, с учетом формулы для разности квадратов получаем(s/2xT7-3)(/2xTT+3)(/x^^+^ _"х™ ^ Т Г 2 - у ^ ( / ^ Г ^ + ^ ( / 2 5 Т Т + 3 ) "=% - 4)^2+Л)*->4 (ж - 4) (/2жТТ + 3)= Ц ту ^ 2 +У2 д 2ygх->4у/2х + 1 + 33= 2Ц тПри раскрытии неопределенностей иногда применяются формулыа 3 - Ь3 = (а - Ь)(а2 + аЬ + б2), а 3 + б3 = (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь2).19Пример 32. Вычислим предел,.х-8,.
( ж - 8 ) ( ^ 2 + 2 ^ + 4 )hm -7=—- = limx->s ух -2x-+sx- 8= lim(v^2 + 2 ^ + 4) = 12.Пример 33. Вычислим предел,.у/хТТ-1hm .,=х->о ^ж + 1 - 1,. х ( ^ ( х + 1 ) 2 4 - ^ Т Т + 1 )3= hm —^, .г= -.*-юя(/ж4-1 + 1)2Этот пример может быть решен и путем замены переменной х 4+ 1 = У6у У -> 1 при х -> О,hm _,= hm -~—- =*->о $ х + 1 - 1 у->1 у2 - 1у-и( j / - l ) ( y + l)y->iJ/4-12л/ж — 1Пример 34. Вычислить lim -~=•Р е ш е н и е . Положим х = y n m , у —» 1 при ж -* 1,ж-> 1^/х - 1у->1 у п - 1п(см. пример 22).Неопределенности вида [оо — оо] обычно раскрываются путемпреобразования к отношению.20Пример 35.
Вычислим пределlim ( —^x-+2\Xz) = lim— 4Х — 2/х-+2*->2 ( х - 2 ) ( х + 2)Пример 36. Вычислим предел— =ъXz — 4x->2i + 24lim Ux2 - 1 -\Jx2 4- l ) =lim(y/x2^!-ч/х^ТТ) (s/x^^lН-ч/х^ТТ)V^^T+v/iTTT-2=hm,v = 0.Пример 37. Найти А± = lim Ux2 4-1 - ж).x-+±oo v'Р е ш е н и е . Домножаем и делим\/х2 4-1 — х на сопряженноевыражение в первом пределе, во втором это не требуется:1,.Ал. = lim .= hm.л 1= 0,a?->+°°Vx2 4-1 4- х з->«Ух2 + 1 + |х|А_ = lim Ux2 + 1 - х) = lim Ux2 4-14- |x|) = H-oo.x-y-oo 4x->-oo v''Пример 38.
Вычислить А = lim (v^x3 4- 2x2 + 3x + 1 — x).x-*oov'Решение. Используем формулу для разности кубов, домножаяна неполный квадрат суммы, получаем(х3 + 2х2 4- Зх + 1) - х 3А — hm21»*-юо (жз + 2х2 + Зх 4- 1)з 4- х(х 3 4- 2х2 + Зх + 1)з + х2выносим старшие степени в числителе и знаменателе, в результате*2(2 + - + Л)А -lirv,x-liXо Г/. . 2X'LXX1'32 . 13 ч! . ,.. . 2 . 32 . 13 ч1XXXXX21Сократив дробь на х 2 , находим пределп31+ - + -21 ч| /, 231л+ ( 1 +^х + ^ + ^2х^о ,л(1 +23х+ ^ +2~ з*+ 18. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГОЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛАТеорема 11sinxhm= 1.х->0(первыйзамечательныйпредел).ПределXПример 39.
Вычислим пределlim *** = 1,х->0X1. ^gx.. /sinx1 \.. sinx ..1hm= hm I•I = hm• hmx->0Xx->0 \XCOS X /x->0Xx->0 COS X= 1.Пример 40. Вычислим пределhmx->0arcsinx= 1.XПоложим arcsin x = y, x = sin i/, у —» 0 при x —» 0, получимlim —— = lim — T l — = 1.j/->osiny y-»o (__*__\^siny'Пример 41. Вычислим пределhmx-vOarctgx= 1.XПоложим arctgx = y, x = tgy, у -* 0 при x -» 0, получимlim22= lim —j-.— = 1.Ktgy>,„,.
sin ахл~ г*Пример 42.Пусть а Ф 0, тогда lim= a,пi-*0limx-yQsin axXX,. sin ax.. sin у= a hm= lim= a.x-+0axy-+0уПри a = 0 этот же результат получается непосредственно.1 — cos х 1Пример 43. Предел limх— = - ;x-voх22,. 1-COSX ,. 2 s l n 2 flr/Smf\2lim= lim2^27г^ = — lim ( v •x-+o xx-+o x2x-*o\ ± )2Пример 44. Вычислим пределtgx — sinx.. sinxlim= lim6x-»oxx->o x1= -.21 —cosx11= -.z5xcosx 2Пример 45. Вычислим предел..limz-*0fr gcos ax -—coscosbxbx ,... - 2 sin i£±£H s i n (° 2 ) ^тX2= limя-УОX.2sin*^,.
Sini^a + 6 a_6&2_a222= - 2 lim—lim-— = -2(——)(——) = — - — .vx->oxx-»ox2 M 2 y2Часто прямое применение первого замечательного предела илиследствий из него невозможно из-за того, что аргумент не стремитсяк нулю. Требуется замена переменной.Пример 46. Вычислить А = lim ctg2x • ctg(^ - х).Р е ш е н и е . Введем новую переменную у = -г — ж, у -> 0 при7Гх —> —, получимА = lim ctg(J-2y).ctgy = lim Ь&» = lim (Щ.lim(-Цy->0 &V2 *У b * y->0 tgyy-+0\ у / y->0Vtgy/=2.23„*-^лSin27TXПример 47. Вычислить А = hm -—-—.х->1 Sin77TXР е ш е н и е . Положим у = ж — 1, у —> 0 при х -> 1, получимsin27r(y4-l),.
sin(27ry 4-27г)А = hm , п ; — - £ = hm . '——{ =у->0 SHI 77Г(у + 1).= 1m Jin^=у->0 — Sin(Y7ry)_l i m^у-»0 Sin(77T2/ + Y7T)( i zу-+0^ИтЖПример 48. Найти А = limх-Игj_^=У"^ 0 Sin(77Tt/j2/2-7Г_2!r=2Y7T72Sin XР е ш е н и е . Преобразуем исходное выражение: А =I X — 7Г) ( X 4~ 7Г)= limг^-. Положим у = ж - 7Г, у -> О при х -> ячх->тгSin XполучимА = limУ(У + 2 *)у-»о sin(y 4- 7г)= lim_4_. lim(у-+о - sin у у-+оCOSXПример 49. Найти А = limx-+f 2Х - 7ГРешение.1Хлучим_27Г..Преобразуем исходное выражение: А =COS X= - lim+ 2п) =7Г7Гтр. Положим у = х - —, у -» О при х -> —, по21cos(y + | )I_sinxА = - hm^- = - hm= --.2 у-*оу2 у->о у2Замечание. Теорема 11 может быть сформулирована так:sin OL[ x)limт—r-^ — 1) гДе а(х) -> О ПРИ х ~~^ хох->х0 а(х)sin хПример 50. Предел lim —^— = 1.„^* ^1.
sin(x - 1)Пример 51. Предел hm —-г— = 1.х~>1(X — 1). 1sin —Пример 52. Предел lim —г-^- = 1.х-»оо1X249. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОГОЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛАТеорема 12 (второй замечательный предел), lim (1 4- — J = е.Пример 53. Предел lim ( 1 + у ) v = е, что доказывается заменой12/ = - хПример 54. Пределlim Ь ( 1+ Х)x-+QX= lim ln(l + x)i = lne = 1.х->0Пример 55. Вычислим предел lim 2 ^ 1 = lne, a > 0.х->0ЖР е ш е н и е .
Пусть а ф 0, тогда положим у = а х - 1, у -> 0при х —> 0 а х = 1 + у, xlna = ln(l 4- у), х = —^In аах - 1уIn аlim= hm —7г • In а =1 , ч = In а.х-*о ху-ю ln(l + у)lim HWl+V)При а = 1 это равенство проверяется непосредственно. При а = ех-+0Ж(1 + х) а — 1Пример 56. Вычислим предел lim= а.х-»охуР е ш е н и е . Сделаем замену 1 4- х = е ) х = еу - 1, у -» 0при х —> 0, после замены_ !,. е0* - 1 „уlim— = а limlim= а.у-+о еу - Iу->о ау у-+о еу - 1Второй замечательный предел используется при раскрытии неопределенности вида [1°°].х \х) .х 4-1/еау(25Решение:A =Hm[l + ( ^ - l ) l " = lim [(1 + ^ ) ^ 1 *x-»ooL\X + 1Положим у =/J-, x =х+ 1x-»oo|_\X + l/J, у -> О при х ->• оо?/П-(1+У)Л = lim [(l + 2/)Jlх—>ooL,= eJ.Другой способ раскрытия неопределенности вида [l°°], т.
е. вычисления предела при х -> а выражения uv> где и -> 1, г; -» оо,основан на преобразованииI»vтx->olimvlnuhm t r = lim evmuu m u= ex^ax—юСделаем замену w — и — 1 и вычислим предел lim v In гл =ae-to= lim vln(iy + 1) = Hm vwx->a= lim(i;iu) = lim v(u — 1),x->oгУs-tox-+aпоскольку к; —> 0 при х —> а.Таким образом, справедливо следующее утверждение._г. _...„lim v(u—l)Утверждение 1. Если и -> 1 при ж -* а, то х—>аhm u v = е*-"»_/cos3x\^rПример 58.
Вычислим предел lim А — ..х-^Ох-^о\ cosx /_lim - ^ ( s a L S a - i )эЯ-»0х-« у coax1 /cos3xhm - rLх->0 Xу\,. c o s З х - c o s x..2sin2xsin(-x)1 = hm= hm=ъъ\ COS X= - 2 limх-И)Jsin2xXХг COS Xх->0_. sinxlimx->0X..limх->01x-»0 COS XX* COS X_ _ л .,= -2 • 2 • 1 • 1 = -4.Таким образом, А = e~ 4 .Пример 59. Вычислить А = lim (cos x ) ^ 7 .x-*0l j m сов x - 1jР е ш е н и е . В силу утверждения 1, число А = ех-*° *2 = е~2.26Пример 60. Вычислим пределlim ж[1пж-1п(ж + 1)1 = lim ж1п/Jх->+оо= lim lnf(lя-Ц-ооLV—)-(х-Ц-ооя+1)1-А= lim ln(х+1=X + llimх->+оо-)х=VX +1lne"^=lne"1-=-l.x-v+oo10.
СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ЗАДАННОМСТРЕМЛЕНИИ АРГУМЕНТАаДля сравнения чисел а и Ь рассматривают их отношение -. Дляосравнения функций /(ж), д{х) при заданном стремлении аргументах —> * рассматривают предел их отношения lim , ч .f(x)Определение 15. Если lim —7-7 = 0, то fix) называют бескох->* д{х)нечно малой по сравнению с д(х) при х —> *.Здесь принято обозначение /(ж) = о(р(ж)) (ж —>• *) или короче/(ж) = о(р) (ж -> *).Пример 61. Рассмотрим три случая, иллюстрирующие определение 15:1) функция /(ж) = о(1) (ж -> *) <$ f бесконечно малая прих —> *;2) ж2 = ж • х = о(х) (ж -> 0);3)ж = о(ж2) (ж -> оо).Особый интерес представляет сравнение бесконечно малыхфункций (бесконечно больших).Определение 16. Пусть функции а (ж), /3(х) бесконечно малые^,.
<*(х),при ж -> *. Если lim -77-7 = 0, то а (ж)чназывается бесконечнох->* р(х)малой более высокого порядка (малости), чем /3(х) при ж -> *. Соответственно (3(х) называется бесконечно малой более низкого порядка (малости), чем а(ж) при ж -> *.27Определение 17. Пусть функции а (ж), (5{х) бесконечно больOL\X)шие при х -» *. Если lim _, . = 0, то а (ж) называется бесконечно*-•*р(х)большой более низкого порядка (роста), чем /3(х) при х —> *. Соответственно /3(ж) называется бесконечно большой более высокогопорядка (роста), чем а(х) при х —> *.Определение 18. Пусть функции а (ж), /3(ж) бесконечно малыеOt\X)(бесконечно большие) при х —> *.
Если lim -тт-т не существует, тоа(ж), /?(ж) называются несравнимыми между собой при х -> *.Пример 62. Рассмотрим а(х) = ж s i n - и /3(х) = ж, функцияха(х) = ж sinбесконечно малая при х -> 0, так как \а(х)\ =х= |ж|• | sin — | < |ж| < £при|ж-0| <\х\ < 6 = е\ функция(З(х) = хXCt(X)1бесконечно малая при х —> О, lim „) ( = lim sin — не существует,х->0/3(х)х-+0Xпоэтому а(х) = х sin — и р(х) = х несравнимы при х —> 0.хfix)Определение 19.
Если lim —)—£ = 1, то /(ж) и р(ж) называютх->* д[х)эквивалентными при ж -> *.Здесь принято обозначениеf{x)~g(x)(x->*).Пример 63. Функция sin ж ~ ж(ж -* 0) (теорема 6).Теорема 13 (критерий эквивалентности функций). Функции/(ж) ~ д(х) (ж -> *) <=> /(ж) = р(ж) + о(д(х)) (ж -> *).Пример 64. Показать, что1)/ ~ / (ж -> *);2)/ ~ р (ж -> *) <^> g~f(x->*);3)f ~ д, д ~ h(x -+ *) = > / ~ /i (ж -> *).На основании теорем 11, 12 и примеров 39—41, 54, 55 можносоставить список функций, эквивалентных ж при ж -» 0:sin х ~ tg ж ~ arcsin ж ~ arctg ж ~~ е х - 1 ~ 1 п ( 1 + ж)~ж (ж-»0).28(3)Из примера 56 следует, что Va E R(1 + х) а - 1 - ах ( х - * 0 ) .(4)В частности, при a — £, n G N> / Г Т х - 1 ~ - (х->0).(5)пИз примера 55 следует, что Va > Оa x - l ~ xlna (х->0).(6)Замечание. Соотношения эквивалентности (3)-(6) сохраняютсвою истинность при замене х на любую бесконечно малую функцию а(х) при х —> XQ.
Например,. 1 1sin — ~ х— при х —» оо;,114,11 ~ — при х —> оо;ПХ^In x = 1п[1 + (х - 1)] ~ х - 1 при х —» 1Xи т. д.При вычислении пределов полезна следующая теорема.Теорема 14. Пусть / ~ / i , д ~ д\ при х —> *, тогда:а) если существует предел lim —т~т — Д т о существует и равх-+* дг(х)ный ему предел lim —— = А;х-»* д[х)б) если существует предел lim /i(x) • д\{х) = В, то существуетX—• *и равный ему предел lim f(x) - д(х) = В.Пример65. Предел lim —— = lim x • — = - .rx->otg2x *-+о 2х 2X—У*Пример 66.
Предел lim xsin— = lim x— = 1.х->оохх-ЮохЗамечание. Заменять функции на эквивалентные им в суммах иразностях, вообще говоря, нельзя.29пл^ и -vМ П " X) + 1п(1 - X)Пример 67. Найдем А = hm ——~—-. Если вое-X2х-+0пользоваться формулами 1п(1 + х) ~ х, 1п(1 - х) ~ - х и заменитьх—хфункции на эквивалентные, то получим А — lim —~~~ = 0> однако2 х—УО х1п(1 - х )-х2это не верно, поскольку А = lim —-—~—=lim—5 - = — 1«-•ох2х->о х 2•^g^p sin xПример 68. При вычислении предела limgзаменаtg х и sin х на эквивалентную им при х —> 0 функцию х приводит кошибке, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
