metod-kavypt_rasch_tv_1_2 (820524)
Текст из файла
Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЛ.Г. Ветров, А.Л. Сунчалина, В.И. ТимонинВЫПОЛНЕНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТАПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙМетодические указанияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2011УДК 519.2.21ББК22.17В39ВВЕДЕНИЕРецензент А. В.
КотовичВ39Ветров Л. Г.Выполнение типового расчета по теории вероятностей :метод, указания / Л. Г. Ветров, А. Л. Сунчалина, В. И. Тимонин. -- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 35с. [1]: ил.Приведены примеры решения задач типового расчета по базовому курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».Рассмотрены задачи, посвященные определению вероятностей событий в классической схеме, а также геометрических вероятностей.Даны решения задач на применение формулы полной вероятности иформулы Байеса. Исследованы методы анализа распределений непрерывных и дискретных случайных величин, а также преобразований этих распределений при соответствующих изменениях случайных величин.
Часть задач посвящена определению различных характеристик случайных векторов и распределению функций откомпонент этих векторов.Для студентов 2-го и 3-го курсов факультетов «Машиностроительные технологии», «Инженерный бизнес и менеджмент», «Робототехника и комплексная автоматизация».Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФНМГТУ им. Н.Э. Баумана.УДК 519.2.21ББК22.17(О МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011Методические указания предназначены для приобретения студентами 2-го и 3-го курсов факультетов «Машиностроительные технологии», «Инженерный бизнес и менеджмент», «Робототехника и комплексная автоматизация» навыков самостоятельного решения различных задач по теории вероятностей, подготовки их к изучениюспециальных дисциплин, базирующихся на методах теории вероятностей (математической статистики, теории надежности, управления рисками и др.).
В методических указаниях подробно рассмотрены примеры решения задач из различных разделов теориивероятностей -- вычисление вероятностей в классической схеме,геометрических вероятностей, условных вероятностей с применением формул Байеса и полной вероятности. Большое вниманиеуделено анализу распределений случайных величин - - дискретных, непрерывных, скалярных и векторных. Проанализированыметоды определения распределений функций от случайных величин (как скалярных, так и векторных).Для овладения материалом студентам необходимо знаниестандартных курсов математического анализа — дифференциального и интегрального исчислений одной и нескольких переменных, — читаемых в МГТУ им.
Н.Э. Баумана.Ввиду ограниченности объема издания в методических указаниях отсутствуют теоретические сведения по рассматриваемойдисциплине. Их можно найти в литературе, рекомендованнойучебными планами МГТУ им. Н.Э. Баумана (см., например, [1, 2]).Решение. В качестве элементарных исходов эксперимента будемрассматриватьточкиквадратасосторонойТ:О.
= {со = (/[; (2), 0 < (} < Т, О < 12 < Т}, где ^ - - момент включе-1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПример 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости.Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: 1) равна 8;2) меньше 6; 3) больше 7; 4) заключена в промежутке [4; 8].Решение. В качестве пространства элементарных исходовданного эксперимента будем использовать множество упорядоченных пар: П = {<а = (/',_/), /' = 1,...,6, ^:- 1,...,6} (здесь / и у число очков, выпавших соответственно на первой и второй кости).Таким образом, общее число элементарных исходов N = 36.В рамках классической схемы вероятность любого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общемучислу исходов. Элементарные исходы, благоприятные для каждогоиз интересующих нас событий, отмечены на рис.
1.Рис. 1. Диаграммы благоприятных элементарных исходовТаким образом, р \ = 5 / 3 6 ; р2 =10/36 == 5/12; р4 = 23/36.Пример 2. На интервале времени [0; Т] = [0; 1 20] в случайныймомент /| включается радиолокационная станция (РЛС), котораясканирует местность в течение времени Т| = 15. В другой случайный момент /2 появляется цель, которая находится в зоне видимости РЛС в течение времени т 2 =10. Найти вероятность того, чтоРЛС запеленгует цель.ния РЛС, а /2 - - момент входа цели в зону видимости РЛС. Врамках геометрической схемы вероятность любого события А вычисляется как отношение меры множества благоприятных исходовк мере всего пространства элементарных исходов:Р(А) =8 (А)тез (П)Опишем множество благоприятных исходов:</ </ + т }(если цель появилась после включения РЛС, то она должна появиться до отключения РЛС, аналогично, если РЛС включилась после появления цели, то она должна включиться до выхода цели иззоны видимости РЛС).
Следовательно,Г 2 -(Г-т,) 2 /2-(Г-т 2 ) 2 /2Подставив численные значения,получим Р(Л)«0,197.На рис. 2 показано событие А ввиде подмножества пространстваэлементарных исходов.Пример 3. На рис. 3 изображенафизическая схема соединения системы, состоящей из пяти фильтров.Отказ фильтра происходит при проГрыве сетки (фильтр перестаетфильтровать жидкость). Событие А,Рис. 2. Геометрическое изображение события А- отказ /-го фильтра за некоторыйпромежуток времени. Вероятностибезотказной работы фильтров заданы: Р(А1) = 0,95, / = 1,3; Р(А^) == 0,9, 7 = 2,4;-ОпПусть события Б! — безотказная работа г'-го блока.
Тогда припараллельном соединении А = В} У В2 , А = В\ П В2 . Для последовательного соединения В1=А1Г\А4,В1=А1(^А4. Далее В2 - А2 П $3,В2 - А2 Ц! В3Рис. 3. Физическая схема системы фильтровСобытие А состоит в безотказной работе всей системы зарассматриваемый промежуток времени (события А, независимы всовокупности).
Требуется: 1) изобразить структурную схему надежности системы; 2) выразить событие А через события А, илиА] (1-1, ..., 5); 3) найти вероятность Р(А) безотказной работысистемы.Решение. Система будет функционировать, если не откажутпервый и четвертый фильтры или же второй и хотя бы один издвух оставшихся. Следовательно, структурная схема надежностиданной системы фильтров имеет вид, изображенный на рис. 4.И#з = 4 и 4' -^з = 4 П 4- Окончательно получаемА = (А} П4)и(4 П(4 и 4)); л = (Д 1М)п(Я 11(4 П4))Для подсчета вероятности безотказной работы системы воспользуемся формулой сложения вероятностей и формулой умножения вероятностей для независимых событий:= Р(А3) + Р(А5)-Р(А3)Р(А3)= 0,9925;Р(В2) = Р ( А 2 П Б 3 ) = Р(А2)Р(В,) = 0,89325;р(в1) = Р(4 П 4) = />иИ4) =» 0,989.Рис.
4. Структурная схема надежности системыДанная схема может быть представлена как параллельное соединение подсистем 5] и В2, где подсистема В{ состоит из последовательно соединенных блоков 1 и 4, а подсистема В2, в своюочередь, может быть представлена как последовательное соединение блока 2 и подсистемы В3. Подсистема В3 состоит из параллельно соединенных блоков 3 и 5.Пример 4. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, последовательно наугад извлекают пять шаров. Найтивероятность того, что среди извлеченных шаров окажется ровнодва белых шара при условии, что выборка производится: 1) с возвращением (извлеченный шар возвращается обратно в урну);2) без возвращения (извлеченный шар в урну не возвращается).Решение.
Введем следующие события: событие Д , / == 1, ..., 5 состоит в том, что /-Й в порядке извлечения шар оказался белого цвета. Тогда интересующее нас событие может быть выражено через события А^ следующим образом:А = 444Л4 и 44444 и 44444 и —... У Д12444 и 44444-Заметим, что все слагаемые попарно несовместны. Следовательно, вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:Подсчет вероятностей для произведений событий зависит отспособа извлечения шаров. Если выборка осуществляется с возвращением, то события А, , так же, как и Д , будут независимымимежду собой (вероятность извлечь белый шар не зависит от того,какого цвета шары извлекались до этого, а зависит только от количества белых и черных шаров в урне). Для независимых событийвероятность произведения равна произведению вероятностей сомножителей. В этом случае,,4 4 6 6 6^ '1010101010Р I А \ч —______I4 6 4 6 6_______1010101010НЧ6 6 6 4 4______1010101010*Все слагаемые одинаковы, а их число (число вариантов выбораТак же, как и в первом случае, все слагаемые равны между собой, поэтому10-^165 1 = 1 01 0 9 8 7 6 21Пример 5.
Из десяти стрелков пять попадают в цель с вероятностью 0,4, три — с вероятностью 0,6 и два оставшихся — с вероятностью 0,8. Найти1 вероятность того, что случайно выбранныйстрелок поразит цель. Известно, что случайно выбранный стрелокпопал в цель. Найти вероятность того, что он принадлежит группестрелков, поражающих цель с вероятностью 0,4.Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно выбранный стрелок поразил цель. Введем следующие события: Н\ что случайно выбранный стрелок поражает цель с вероятностью0,4; Н2 — с вероятностью 0,6; Я3 — с вероятность 0,8. СобытияЯ,, / = 1,2,3 попарно несовместны (Я, П Н} =0, \/1 Ф п и образуют полную группу событийV Я,= О , т.
е. являются гипоV ')тезами. Поэтому для нахождения вероятности события А можновоспользоваться формулой полной вероятностидвух из пяти) равно С52 = — - = 10. Таким образом,2!3!4263= 0,3456.В случае извлечения выборки без возвращения события Дявляются зависимыми (вероятность извлечь белый шар зависит оттого, какого цвета и сколько шаров извлекалось до этого). Поэтомупри подсчете вероятности слагаемых будем использовать формулуумножения вероятностей для зависимых событий:Р(В1В2...В„) =Р(В1}Р(В2В1)Р(В3\В1В2)...Р(ВП\В1В2...В„_1).Р(Я,)= — = 0,5; Р(Н22>) = — = 0,3; Р(Я,) = — = 0,2.171010' 10Условные вероятности:Таким образом,Р(А) = 0,4 • 0,5 + 0,6 • 0,3 + 0,8 - 0,2 = 0,54.Получим_, .V4365446354Р(А}=----- -----V' 109876 109876Априорные вероятности гипотез:6 5443- ---- .109876Для подсчета апостериорной вероятности гипотезы Н1 воспользуемся формулой Байеса:Р(Н,А} =р(А\н1]р(н1]Р(АяР(А]В нашем случае4Р(Я,Найдем0,54Пример 6.
Среди пятнадцати коммерческих банков регионапять являются нарушителями финансовой отчетности. Центробанк^для проверки отобрал случайным образом три банка. При проверке {Д"*банка-нарушителя комиссия с вероятностью 0,9 обнаруживает нарушения независимо от результатов проверки других банков. Най- $ти вероятность того, что в результате проверки будет обнаруженхотя бы один банк, нарушающий финансовую отчетность.Решение. Ясно, что вероятность обнаружить нарушения финансовой отчетности зависит от того, сколько банков-нарушителейокажется среди трех отобранных для проверки. Введем события://, — событие, состоящее в том, что среди трех отобранных дляпроверки банков оказалось ровно / нарушителей финансовой отчетности (/ = 0...3). События {//,} являются гипотезами, т.
е.образуют полную группу попарно несовместных событий. Следовательно, по формуле полной вероятностигде событие А состоит в том, что в результате проверки будет обнаружен хотя бы один банк-нарушитель.Сначала найдем априорные вероятности гипотез /*(//,-). Общее число способов отобрать три банка из пятнадцати (число сочетаний «из 15 по 3») равно С35 =приятныхС' С,3"3С,1510исходовравно?5 С 3 0 '.= 455. Число благоСледовательно,, / = 0... 3. Простой подсчет дает^= 0,22;455условныеу" 455вероятности-0,022.Р(А Я;).Ясно,что4|// 0 ) = 0. Далее Р(А\Н^ = 0,9. Для поиска остальных условных вероятностей воспользуемся формулой сложения вероятностей для независимых событий:Эта формула дает23п/>(лЯ 2 ) = 1-(1-0,9) =0,99; Р(А\Н3) = 1 -(1 -0,9) =0,999.Окончательно получаем, <-Р(А} = 0-0,264 + 0,9 -0,494 + 0,99 -0,22++0,999-0,022 = 0,684378 ~ 0,68.09^I/Пример 7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
