metod-kavypt_rasch_tv_1_2 (820524), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, последовательно наугад извлекают пять шаров (выборка с возвращением). Случайная величина 2, — число белых шаров в выборке. Для случайной величины ^ найти: 1) распределениевероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график;3) вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 5);4) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичноеотклонение.Решение.
Так как выборка осуществляется с возвращением,вероятность извлечь белый шар остается постоянной (р = 0,4) и независит от результатов предыдущих испытаний. Таким образом,случайная величина ^ — число успехов в схеме Бернупли с числомиспытаний п - 5 и вероятностью успеха р = 0,4. Для схемы Бернулли имеем р^ = Р(Ь, - 1с) - С*// (1 - р)", А: = 0,..., п. В нашемслучае11Следовательно,= 0) = С5°(0,4)° (0, б)5 = 0,07776;Р($ е (1; 5)) р} =4= 1) = С'(0,4)' (0,6) = 0,2592;= 0,98976-0,33696 = 0,6528.= 2) = С52(0,4)2(0,6)3 = 0,3456;= 3) = С53(0,4)3(0,6)2 = 0,2304;р46.989760.9ШЗ= 4) = С54(0,4)4 (0,6)' = 0,0768;р5 = Р(Ь = 5) = С55(0,4)5 (0,6)° = 0,01024.0,33696Таким образом, закон распределения случайной величинызадается таблицей**РА012345Рис.
5. График функции распределения0123450,077760,25920,34560,23040,07680,01024Найдем числовые характеристики случайной величины 2Математическое ожиданиеФункция распределения кусочно постоянна:= 0 • 0,07776 + 1 • 0,2592 + 2 -0,3456 +О,0,07776,х < О,0<*<1,0,33696,1<д:<2,+ 3 • 0,2304 + 4 • 0,0768 + 5 - 0,01 024 = 2.Дисперсия^=•0,68256, 2 < * < 3 ,0,91296, 3 < * < 4 ,0,98976, 4 < л : < 5 ,= 0-0,07776 + 1-0,2592 + 4 -0,3456 + 9 -0,2304 +На рис.
5 представлен ее график.Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле+ 16-0,0768 + 25-0,01024-4 = 1,2.Среднее квадратичное отклонение- Нт1213Пример 8. Непрерывная случайная величина ^ распределена2>по закону Рэлея с плотностью /(х) = 2Х хе~ ~х, х > 0. Для слу-чайной величины ^ с параметром /1 = 0,5 найти: 1) ее функциюраспределения Р(х) и построить графики функции распределенияПри подсчете числовых характеристик случайной величиныудобно использовать гамма-функцию Эйлера Г (ее) = 1а 1е *сообладающую свойствами:Р(х) и плотности распределения вероятностей / ( х ) ; 2) вероятГ(а + 1) = аГ(<х);ность попадания случайной величины в интервал (0,5; 1,5); 4) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.Решение.
Исходя из определения плотности распределенияслучайной величины запишемНайдем математическое ожидание ^:О, *<0,Графики функции распределения и плотности изображены нарис. 6.Здесь в интеграле использована замена переменнойАналогично найдем дисперсию ^:= х4/4.= { (х -Уо„3= 1~ео2X4<*>Лх - п =1 41е~'с1( -п = 4Г(2) - п = 4Г(1) - я = 4 - тт.оСреднее квадратичное отклонениеРис. 6. Функция распределения и плотность случайной величиныНайдем вероятность попадания в интервал случайной величины (0,5; 1,5):6 (0,5; 1,5)) = ^(1,5) -/Х0,5) = е~0'5625 - е~°'Ш5 = 0,37.14Пример 9. Плотность распределения вероятностей случайной(Ъс, хе[0;1,Случайная веливеличины & имеет вид /Лх) = <[ 0, гг[0;1чина г) связана с ^ функциональной зависимостью Г|-4^ 2 -7.Найти: 1) константу &; 2) математическое ожидание и дисперсиюслучайной величины т), используя плотность распределения вероятностей случайной величины &; 3) функцию распределения и15плотность распределения вероятностей случайной величины ц ипостроить их графики; 4) математическое ожидание и дисперсиюслучайной величины г), используя найденную плотность распределения вероятностей.Решение.
Константу /с найдем из условия нормировки5 (х)с/д: = 1. Получим0.О,л:<0,-/Л, 0<*<1,5, =д: > 1,5,Далее ищем функцию распределения случайной величины г|:< -7;О,Следовательно, /с = —.Для вычисления математического ожидания случайной величиныг|воспользуемсяформулойА/(Г|) = А/(§-(!;)) =*• ПолУчим>2,1,ХО,1.51,5Дисперсиял: < -7,- О,1,5—6-у"91 6Л"252856 4Л4-уI-7 < д: < 2, =49 2Д2V1,5!2_5 _ 2 7х > 2,По определению плотности распределения случайной величины имеем4 " 4'9»Х€Ч' ]'Найдем функцию распределения случайной величины1617Таким образом, случайная величина г] имеет равномерное распределение на отрезке [-7; 2]. Графики ее плотности и функциираспределения изображены на рис.
7.циент корреляции г^ц; 4) условные распределенияРешение. Найдем законы распределения случайных величини л- Пусть ри = Р({, = х„к] = У]], I = 1,2,3 у = 1,2, 3, 4. Тогда1/9-702л.0-72хРис. 1. Функция распределения и плотность случайной величиныНайдем числовые характеристики случайной величины т], используя ее плотность распределения. Для математического ожидания получим-7х,А1350,30,40,3У./Р!_10140,450,150,250,15Найдем числовые характеристики случайных величин:5^-7Простые вычисления дают законы распределения случайных величин <; и г) .Сведем полученные вероятности в таблицы:2',^= 1-0,3 + 3-0,4 + 5 -0,3 = 3;Аналогично, находим дисперсию случайной величины т\:-7т25 _ 274 ~ 4 'М(л) -=(-!)• 0,45 + 0 -0,15 + 2 • 0,25 + 4 • 0,1 5 = 0,65;=1-0,3 + 9 -0,4 + 25 • 0,3 - 9 = 2,4;Убеждаемся в том, что результаты подсчета числовых характеристик различными способами совпадают.X,135-100,10,150,200,150у±240,1500,10,050,10Пример 10.
Дана система двух дискретных случайных величин (<^,,Ц), закон распределения которой задан таблицей. Найти:1) законы распределения случайных величин 5, и л; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин ^ и л; 3) коэффи18= 1-0,45 + 0-0,1 5 + 4 - 0,25 + 1 6 - 0,15 -0,4225 = 1,9775.Для подсчета коэффициента корреляции случайных величини г) сначала найдем их ковариацию:'719= 1 • (-1) • 0,1 +1 • 2 • 0,15 +1 • 4 • 0,05 + 3 • (-1) • 0,15 + 3 • 4 • 0,1 ++ 5-(-1)-0,2 + 5-2-0,1-3-0,65 = 0,7.Коэффициент корреляцииЛ)0,7.-«0,23.72,4-1,9775Далее найдем условные законы распределения по формулам=- 2-п >РзР V Хх1)-^\УА1Е 'Рз135%(*М0,600,4У,~\02412^*л (У.,2/301/30оо^Пример 11.
Дана система двух непрерывных случайных величин (%, п) с совместной плотностью распределения /(х,у) =[С, (х,у)еО,сРешение.1. Константа С определяется из условия нормировкиСведем полученные вероятности в таблицы:X,Рис. 8. Область О, на которой заданораспределение (^, п)Область О ограничена кривыми х = \, у = 0, у =5) условные плотности распределения /Лх|И и / (у х\; 6) ус-3-^Отсюда получим С = 3/2. Область В уже показана на рис. 8.2.
Плотность /с (х) случайной величины 2, определяется интегрированием совместной плотности /(х,у) по всем возможнымпри данном ^ = х значениям случайной величины г\ (из рис. 8 непосредственно видно, что 0<г|<2л:2 ). Имеем= 2л:2 (рис. 8).Найти: 1) совместную плотность распределения /(х, у),предварительно построив область П; 2) плотности вероятностислучайных величин ^ и г|; 3) математические ожидания и дисперсии случайных величин Е, и л; 4) коэффициент корреляции г^ц;1Сз0<х<\.Совершенно аналогично/00== 1 -ловные математические ожидания М(^|^], М(г)|х), уравнениялиний регрессии и построить их графики.203.
Математические ожидания и дисперсии каждой величины^, т] определяются согласно формулам для вычисления моментовскалярных случайных величин (см. пример 8). Имеем:215 . Условные плотности распределенияоп-ределяются по формуламЛ 002 23/2(1-7^72)1-Необходимо обратить внимание на то, что возможные значенияаргумента х здесь зависят от у и меняются в пределах ( л [ у / 2 ; 1].3Переменная _у здесь играет роль параметра и может принимать любое значение в промежутке [0; 2]. Рассуждая аналогично, получимдля /л (_у| х] выражение4'_9_3725 ~ 1 7 5 '2 36. Общие формулы для условных математических ожиданий, М(т]|х) имеют вид М(^\у)= { х/^(х\(у)с1х, М(ц\х) =_9_ = 3^16~ 5А = _116~80'4. Коэффициент корреляции г^л вычисляется по формуле-.
В этом выражении неизвестен только- I У /г\(У\х)<Зу- Учитывая замечание предыдущего пункта о возможных значениях случайной величины при фиксированном значении другой случайной величины, получимсмешанный момент второго порядка\_1 1ОоТоТогда2(!-2-41- я220;56_,У_22г.2 Л4т 4= X23Графики условных математических ожиданий показаны нарис. 9.б) Так как ^ > О, л > 0, площадь прямоугольника 5ПрощевсеговычислитьсреднеезначениеМ8 =, л) + М^Мг\ = 0,5.Рис. 9. Графики условных математических ожиданийПример 12. а) Найти математическое ожидание и дисперсиюРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
