1 ДЗ (815201)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ТП №1 по теории вероятности Вариант 15

Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 11-30 найти вероятность того, что произведение выпавших очков: 1) равно k; 2) меньше k+1; 3) больше k-1; 4) заключена в промежутке [α; β]. K=8; α=10; β=13.

Решение. В качестве пространства элементарных исходов данного эксперимента будем использовать множество упорядоченных пар: Ω = {ω = (i, j), i=1, …,6), j=1, …,6} (здесь i и j – число очков, выпавших соответственно на первой и второй кости). Таким образом, общее число элементарных исходов N = 36. В рамках классической схемы вероятность любого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Элементарные исходы, благоприятные для каждого из интересующих событий нас событий отмечены на диаграммах.

1) Произведение равно 8 2) Произведение меньше 9

3) Произведение больше 7 4) Произведение в промежутке [10;13]

Рис. 1-4. Диаграммы благоприятных элементарных исходов.

Таким образом, p1=2/36; p2= 16/36; p3=22/36; p4=6/36.

Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение Т минут. Время обслуживания 1- ой заявки τ₁ минут, 2-ой τ₂ минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т она обслуживается.

Найти вероятность того, что: 1)А - обе заявки будут обслужены; 2)B - будет обслужена ровно одна заявка.

Т=150; τ₁ =15; τ₂=35;

Решение. X – время поступления 1-ой заявки: 0≤ X≤ Т, Y - время поступления 2-ой заявки: 0≤ Y≤ Т. В качестве элементарных исходов данного эксперимента будем рассматривать точки квадрата со стороной Т: Ω = {ω = (X; Y), 0≤ X≤ Т, 0≤ Y≤ Т}. Элементарные исходы в данном опыте (опыт состоит в фиксации времени поступления заявок на обслуживающее устройство) изобразятся точками (X, Y) квадрата со стороной Т = 150 мин, т. е. Ω = {ω = (X; Y), 0≤ X≤ 150, 0≤ Y≤ 150}.

Событие А={обе заявки будут обслужены } (т.е. множество благоприятных исходов: А={Y>X+ τ₁} U {X>Y+ τ₂} наступит тогда и только тогда, когда 2-я заявка поступит на обслуживающее устройство спустя 15 минут или больше после обслуживания 1-ой заявки, либо начнётся обслуживание 1-ой заявки спустя 35 минут и более минут после обслуживания 2-ой заявки, т.е. должно выполниться одно из условий:

Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область А, заштрихованную на рисунке.

Площадь А равна: S(А) = [(Т- τ₂)² + (T-τ₁)²] = [(150- 35)² + (150-15)²] = 15725

Площадь квадрата Ω равна: S(Ω) = 150² =22500

Таким образом:

Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие A̅_i — отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы: P(A_i) = 0.95, i = 1,3,5; P(A_j) = 0.9, j = 2,4.

Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события А_i независимы в совокупности). Требуется: 1) выразить событие А через А_i и А̅_i (i=1, …,5); 2) найти вероятность P(A) безотказной работы системы.

Решение.

B = {Безотказная работа узлов A₁, A₂}

C = {Безотказная работа узлов A₃, A₄, A₅}

P(A) = P(B) + P(C)

P(B) = P(A₁+A₂) = 1 – P(A̅_1*A̅₂) – по формуле де Моргана = *

P(B) = 1 – 0.05*0.1 = 0.995

Проверка: P(B) = P(A₁+A₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁*A₂) = 0.95 + 0.9 – 0.95*0.9 = 0.995

P(С) = P(A₃+A₄₊A₅) = 1 – P(A̅_3*A̅_4*A̅₅) – по формуле де Моргана

P(С) = 1 – 0.05*0.1*0.05 = 0.99975

Проверка: P(С) = P(A₃+A₄+A₅) = P(A₃) + P(A₄) + P(A₅) – P(A₃*A₄) – P(A₃*A₅) – P(A₄*A₅) + P(A₃*A₄*A₅) = 0.95 + 0.9 +0.95 – 0.95*0.9 – 0.95*0.95 -0.9*0.95 +0.95*0.9+0.95 = 0.99975

Таким образом:

P(A) = P(B+C) = 1 – P(B̅*C̅) = P(B) + P(C) – P(B*C)

1 – P(B̅*C̅) = 1 - P(A̅_1*A̅₂) * P(A̅_3*A̅_4*A̅₅) = 0.99999875

P(B) + P(C) – P(B*C) = [P(A₁) + P(A₂) – P(A₁*A₂)] + [P(A₃) + P(A₄) + P(A₅) – P(A₃*A₄) – P(A₃*A₅) – P(A₄*A₅) + P(A₃*A₄*A₅)] - P(B*C) = 0.99999875

Задача 4. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k - высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно l изделий высшего сорта при условии, что выборка производится: 1) c возвращением (выбранное изделие возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).

n=12; k=9; m=6; l=4.

Решение.

Ω = {n = 12 – кол-во изделий, из которых k = 9 высшего сорта}

Рассмотрим случай с возвращением:

Так как мы извлекаем 6 изделий и должны получить 4 высшего сорта, найдем кол-во возможных комбинаций.

Формула количества сочетаний:

Все сочетания попарно несовместные, значит вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов домашнего задания