3 (810787)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3. Микроканонический ансамбль.«Законы термодинамики легко можно получить изпринципов статистической механики, неполнымвыражением которых она является.»Дж.У. Гиббс.1. Число состояний, плотность числа состояний. Статистический вес. 2. Принцип равной априорной вероятности. 3. Энтропия вмикроканоническом ансамбле. 4.

Два примера, иллюстрирующиеТермодинамический предел и логарифмическую точность. 5. Весьобъём многомерного апельсина - в его корке. 6. Насколько велика макроскопическая система. 7. Рецепт (схема) вычислений в микроканоническом ансамбле.1. Число состояний, плотность числа состояний. Статистический вес.Замкнутая макроскопическая система гамильтонова, тоесть у нее заданы E,V , N . Но энергия E задана не в механическом, а в новом, статистическом смысле. А именно,энергия E задана для всего ансамбля, каждая же конкретнаякопия в фазовом пространстве находится в слое изоэнергетических поверхностей от E до E  E . Определенный такансамбль называется микроканоническим.

Сразу бросается вглаза, что при таком определении неясно, из каких соображений выбрать величину E . Ниже мы поговорим о Eподробнее. Квантовые состояния макроскопической системыбудем весьма условно и сугубо символически представлятьсебе точками в фазовом пространстве. Таким образом, данное макросостояние E,V , N реализуют все микросостояниясистемы, попавшие в слой E  H (r, p)  E  E . Сколькоих там, в этом слое? Введём ( E )  число состояний макро1скопическойсистемы с энергией, меньшей E и( E ) / E  плотность числа состояний с энергией E .

То-гда, в выделенном нами пока «произвольно» слое будет E состояний, гдеE E  H ( r ,p )  E EdrdpN !(2 )3 N(3.1)Принято говорить, что   статистический вес состояниясистемы. Популярная мнемоническая считалочка такова: статистический вес − это число микросостояний, реализующихданное макросостояние с E,V , N .2. Принцип равной априорной вероятности.Гиббс предположил, что функция распределения постоянна в этом слое E  H (r, p)  E  E фазового пространства, что все микросостояния равновероятны, раз ониреализуют одно макросостояние E,V , N . Фактически, этопростейшее (оно же единственное) предположение, котороемы можем сделать: все микросостояния равноправны, никакое не выделено, а точка, изображающая систему из ансамбля, в ходе своего сложного и запутанного движения в слоеE  H (r, p)  E  E абсолютно случайно оказывается то водном, то в другом микросостоянии и равномерно посещаетвсе места этого слоя.

Это похоже на распределение «игральной кости» с  гранями. Вывести это предположение измеханики, естественно, невозможно, оно оправдывается блестящим соответствием всех его следствий эксперименту.Итак, микроканоническое распределение имеет вид: 1 в слоеE  H (r, p)  E  E (r, p)  0,вне этого слоя2(3.2)Учитывая чрезвычайную малость толщины слоя, впределе E  0 (в классике этот переход очевиден, а вквантовой статистике легко оправдывается огромной величиной N ) получаем, естественно,  - функцию Дирака. Стой же точностью, микроканоническое распределение можнопредставить в виде:1   (r, p)     ( H (r, p)  E ) E (3.3)Коэффициент пропорциональности микроканонического распределения   c ( H  E ) легко вычислить, записав условие его нормировки и перейдя от интегрирования понормированным элементам фазового объема к интегрированию по изоэнергетическим слоям (3.1).

Таким образом, вмикроканоническом ансамбле всё определяется одной главной функцией - числом состояний ( E,V , N ) .3. Энтропия в микроканоническом ансамбле. ПринципБольцмана.Итак, пора бы уже нам сказать что-нибудь о термодинамике микроканонического ансамбля, то есть связать наши«умственные построения» с жизнью. В микроканоническомансамбле это делается через энтропию. Надо ввести энтропию макроскопической системы. Как это сделать? При релаксации к равновесию система стремится прийти в наиболеевероятное состояние из всех возможных. Эта вероятность wпропорциональна числу «благоприятных исходов», то есть,статистическому весу  .

В этом и заключается «принципБольцмана», по сути эквивалентный Аксиоме 3 : системастремится к наиболее вероятному состоянию. Поскольку втермодинамике удобнее иметь дело не с мультипликативными, а с аддитивными величинами, то в качестве меры этоостремления к упорядоченности следует рассмотреть лога3рифм статистического веса. Это и будет энтропия по Больцману (больцмановская энтропия, хотя придумал её тожеГиббс)(3.4)ln   S  ln  .Первый способ выгравирован на могиле ЛюдвигаБольцмана.

Он покончил с собой в результате тяжелой депрессии, вызванной резкой критикой оппонентов его трактовки принципов статистической физики. Второй способудобен при рассмотрения систем с квазинепрерывным спектром. Если обратить соотношение (3.4), то получим эквивалентную формулировку «принципа Больцмана» w  eS , играющую важную роль в теории флуктуаций.4.

Два примера, иллюстрирующие определение энтропии.«При изучении наук примеры важнее общих правил»сэр Исаак НьютонВозникает вопрос, какой из этих двух способов определения энтропии правильный. Рассмотрим два примера.Пример, иллюстрирующий первое определение. Рассмотрим систему невзаимодействующих двухуровневыхатомов и сосчитаем статистический вес  .

Если из N атомов возбуждены M , то энергия газа есть E   M . Статистический вес такого состояния – это число способов, которыми из N атомов можно выбрать M :  CNM N!M !( N  M )!Тогда,если мы введем долю возбужденныхn  M N , энтропия S  ln  есть:S   N (n ln n  (1  n) ln(1  n))4(3.5)атомов(3.6)Термодинамика системы определяется соотношением междуэнтропией и температурой1 dS 1 1 1  n,  lnT dE T n(3.7)то есть число возбужденных атомов и энергияn  E  (1  e T )1 ,(3.8)ограничены сверху, а температура может быть отрицательной.Пример, иллюстрирующий второе определение.

Рассмотрим идеальный больцмановский газ и сосчитаем полноечисло состояний (фазовый интеграл) системыdrdpN !(2 )3 NпомногомернойN раз по объемусосуда Vсферерадиуса2 mE,(3.9)3N2VNv3 N (2mE )N !(2 )3 Nгде учтено, что объём n - мерной сферы радиуса R есть:( )n 2Vn  vn R n , vn ,(3.10)(n 2)!а факториал любого (даже нецелого) числа − это просто интеграл n !  x n e  x dx . Энтропия газа есть0S  ln   N ln V 3N ln E  ...2(3.11)где многоточие обозначает все остальные параметры задачи,которые нам сейчас не понадобятся.

Термодинамика газаопределяется соотношениями 1/ T  S / E  3N / 2E иТакимобразом,получаемP / T  S / V  N / V .E  3NT / 2 − «закон равнораспределения по степеням сво5боды» и PV  NT − «уравнение Менделеева - Клапейрона»,которое в школе любят записывать в виде PV  mRT /  .5. Термодинамический предел и логарифмическая точность.Что же иллюстрируют эти примеры? Мы приходим ксенсационному заключению: в термодинамическом пределеоба выражения (3.4) равны.S  ln Терм.пределln Терм .пределlnE(3.12)Действительно, для идеального газа, например:EТогда:3N2, 3 N 32N 13 N 32N EEE,  E22Eln   ln   ...ln N  ...(3.13)(3.14)Первые два члена этого равенства пропорциональны числучастиц N , и мы можем пренебречь остальными членами,поскольку N  ln N , или, что тоже самое ln N  1 .

Значит, в термодинамическом пределе зависимость от E фактически отсутствует. Это обстоятельство раскрывает тайнувыбора толщины энергетического слоя E . Совершенно неважен конкретный способ его выбора, ответы от этого не зависят. В качестве E мы можем взять характерное расстояние En 1  En между энергиями соседних квантовых состояний (расщепление по энергии) или величину флуктуацииэнергии макроскопической системы. В термодинамическомпределе все эти выражения приведут к одинаковой энтропии.Поэтому, мы можем воспользоваться тем определением энтропии, которое удобно в данной задаче. Если спектр системы явно, отчетливо дискретен, то удобнее комбинаторика истатистический вес  .

Если спектр квазинепрерывен, тоудобнее фазовый интеграл  .66. Весь объём многомерного апельсина – в его корке.Всё это выглядит очень странно и непонятно, и остается легкое ощущение, что нас обманывают. Как это «часть» может быть равна «целому»  ? Разгадка кроется в фантастически высокой размерности задачи. В пространствахстоль высокой размерности интуиция, основанная на здравомсмысле, часто отказывается служить. Это всё фокусы многомерности, которые приводят к странному результату: весьобъём многомерного апельсина сидит в его корке. Действительно, если корка апельсина радиуса R имеет толщинуR , то в ней сидит доляVn R  1  1 VnR n(3.15)от общего объёма Vn  vn R n .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций