2 (810786)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2. Принципы статистической физики. Метод Гиббса.«Сними обувь твою с ног твоих,ибо место, на котором ты стоишь,есть земля святая»Ветхий завет.Исход. Гл. 3:51. Статистическая физика – микроскопическая теория, решающаясвои задачи «из первых принципов». 2. Закон больших чисел. Термодинамический предел. Статистическая независимость. 3. Уравнениядвижения. Фазовое пространство состояний. 4. Метод ансамблейГиббса. Эргодическая гипотеза.

5. Теорема Лиувилля, эргодичностьраспределения. 6. Квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фонНеймана).1. Статистическая физика – микроскопическая теория,решающая свои проблемы «из первых принципов».Термодинамика устанавливает соотношения междутермодинамическими величинами, но не дает способа их вычисления. Эту задачу решает статистическая физика. Статистическая физика – микроскопическая теория, решающаясвои проблемы «из первых принципов».

Статистическая физика сначала решает микроскопическую задачу о состояниидвижения отдельной частицы методами квантовой механикиили теории поля, а затем решает задачу о поведении макросистемы таких частиц методами теории вероятностей и статистики.

При этом в нашем контексте слово «состояние»имеет три различных смысла: собственное квантовое состояние одной частицы в поле ее окружения, собственное (чистое) квантовое состояние всей системы в целом и, наконец,1термодинамическое (смешанное) состояние – статистическоесреднее состояний по ансамблю.2. «Закон больших чисел». Статистическая независимость.Макроскопическая замкнутая система из N частицописывается 6N их координатами и импульсами.

Оправдается ли наша надежда описывать её всего несколькими термодинамическими величинами? Эта надежда усиливаетсяустановлением «закона больших чисел».Рассмотрим аддитивную термодинамическую величину, которая с точки зрения статистической физики являетсясуммой:A  a1  a2  ...  aN ,(2.1)Макроскопическая характеристика всего тела является суммой микроскопических характеристик составляющих его частиц. Под действием случайных воздействий, эти величиныиспытывают флуктуации (для простоты – одинаковые) ai  a ,  ai 2  a 2 . Тогда  A  Na и, с учетомстатистической независимости частиц  ai ak  0 получаем  A  N a .

Это соотношение и выражает содержание «закона больших чисел»22 A2 1, AN(2.2)Получается, что относительная флуктуация аддитивнойвеличины макроскопической системы фантастически мала N 1/2 . Физически этот закон полностью эквивалентен «закону блуждания пьяного» и движению броуновской частицы.То же самое заключение можно сделать и о макроскопическом теле, состоящем из макроскопических же подси2стем. Их статистическая независимость так же необходимадля обеспечения аддитивности термодинамических величин.Из «закона больших чисел» вытекает несколько важных следствий. Во-первых, результаты статистической физики могут быть сформулированы только в термодинамическом пределе, когда E,V , N   , а E / N , V / N  const .

Втермодинамике физические величины не флуктуируют. Поэтому, в пренебрежении флуктуациями, при расчетах в статистической физике мы имеем право сохранять только старший член разложения  N . Это связано с тем, что для обеспечения аддитивности макроскопических систем нужно пренебрегать влиянием поверхностных слоев подсистем в них (сточностью  N 1/3 ), а для обеспечения статистической независимости подсистем нужно иметь возможность пренебрегать их флуктуациями и корреляциями (с точностью N 1/2 ). Во-вторых, для предсказания с огромной точностью результата измерения любой термодинамической величины в статистической физике достаточно вычислить еёсреднее значение.3.

Уравнения движения. Фазовое пространство состояний.Замкнутая система N частиц не подвергается воздействиям извне, значит, она гамильтоноваrHH, prp(2.3)Здесь H (r, p) - гамильтониан системы, состояние которойизображается точкой r  r1 , r2 ,...rN p  p1 , p 2 ,...p N , движущейся в 6N -мерном фазовом пространстве. Решить системууравнений (2.3) – совершенно безнадежная задача, поэтомугамильтоновы уравнения ничего не могут сказать о макро3скопических свойствах системы, то есть о временных средних ее величин A(r, p)1 A(r, p) врем  limT  TT A(r(t ), p(t ))dt ,(2.4)0Это и есть термодинамические величины системы. Такимобразом, предсказательная сила уравнений Гамильтона (2.3)для вычисления термодинамических величин макроскопической системы (2.4) практически равна нулю.4.

Метод ансамблей Гиббса. Эргодическая гипотеза.«Мы можем представить себе большое число систем одинаковой природы, но различных по конфигурациям и скоростям, которыми ониобладают в данный момент. При этом мы можем поставить себезадачей не прослеживать определенную систему через всю последовательность ее конфигураций, а установить, как будет распределено всечисло систем между различными конфигурациями и скоростями»Дж.У.

Гиббс.Изображающая точка системы (r, p) бегает по 6N мерному пространству. Размерность этого пространствабезумно высока, поэтому задача вычисления средних по времени  A(r, p) врем представляется совершенно безнадежной. Однако, остроумный человек Джозайа Виллард Гиббспридумал способ, как обойти эту трудность. Вообразим себе,что существует огромное число копий нашей системы, идентичных исходной по внешним макроскопическим условиям,но с немного варьирующимися начальными условиями. Этои есть ансамбль Гиббса. Ансамбль (фр. «вместе») состоит избольшого числа одинаковым образом «устроенных» копийнашей системы.

Тогда в 6N -мерном фазовом пространствевозникает «марево» изображающих эти копии точек и их об4лако будет как-то упорядоченно распределено по пространству.Возникает надежда из физических соображений определить плотность этого облака точек, которая, будет пропорциональна плотности вероятности  (r, p) найти нашу систему в данном элементе фазового пространства drdpdw   (r, p)Нормировка dw  1drdp,(2 )3 N N !(2.5)выбрана так, чтобы  , по определе-нию, была бы равна вероятности системе находится в квантовом состоянии – одном из тех, что попали в drdp ; или, чтотоже самое,  является функцией распределения по состояниям с энергией H (r, p) .

Действительно, в квазиклассике наодно квантовое состояние приходится фазовый объем(2 )3 N . Кроме того, следует учесть, что в квантовой механике частицы тождественны, значит перестановка двух из Nне меняет состояния всей системы. Поскольку число перестановок N ! , то элемент фазового объема мы еще поделилина N ! .Введение функции распределения в фазовом пространстве доставляет нам новый способ вычисления среднего отлюбой физической величины, зависящей от координат и импульсов частиц системы. Среднее значение такой величиныможно вычислить как фазовое среднее A(r, p)  анс   A(r, p)  (r, p)drdp,(2 )3 N N !(2.6)Таким образом, фазовое среднее можно понимать (и удобнопредставлять себе), как среднее по ансамблю.

Наша вера вто, что среднее по времени равно среднему по ансамблю A(r (t ), p(t ))  врем  A(r (t ), p(t ))  анс ,5(2.7)называется эргодической гипотезой. Её доказательство представляет собой сложную и до конца не решенную проблему,составляющую целый раздел математики под названием «эргодическая теория». Взгляд теоретической физики на эту запутанную проблему прагматичен, и, поэтому, предельнопрост. Метод ансамблей Гиббса не вызывает никаких сомнений потому, что все основные выводы статистической физики получают полное и всестороннее экспериментальное подтверждение. Следовательно, мы можем сразу считать первичными не временные средние, а средние по ансамблю.5.

Теорема Лиувилля.Возможность введения функции распределения какплотности вероятности в фазовом пространстве основана начисто механической теореме. Каждая точка, изображающаясистему ансамбля движется в фазовом 6N -мерном пространстве. Поскольку число таких точек сохраняется, ихплотность удовлетворяет уравнению непрерывности в этомпространстве:( r) (  p)  0 ,t rp(2.8)В стационарном случае жидкость не сжимаема, т.е. ее фазовый объем сохраняется.

Капля жидкости причудливо меняетформу, но сохраняет свой объем. Раскрывая производные в(2.8) мы получаем четыре слагаемых. Два из них «убивают»друг друга, а подстановка в оставшиеся два уравнений Гамильтона (2.3) дает скобку Пуассона. В итоге, получаемуравнение Лиувилля: { , H }PB  0 ,t(2.9)Наши уравнения (2.8), (2.9) были записаны в эйлеровых переменных. Видно, что левая часть уравнения (2.9)6представляет собой полную (лагранжеву) производную повремениd0,dt(2.10)Таким образом, главный вывод из теоремы Лиувилля можносформулировать двумя способами. Во-первых, в стационарных условиях  / t  0 фазовый объем сохраняется: фазовая жидкость несжимаема и капля фазового объема течет,причудливо изменяя со временем свою форму, но сохраняяобъем.

Во-вторых, плотность фазовой жидкости (≡ функцияраспределения) постоянна вдоль траектории движения изображающих точек d  / dt  0 .Из второй формулировки следует, что плотность вероятности (≡ функция распределения) есть функция интеграловдвижения гамильтоновой системы уравнений (2.3), коих6 N  1 штук. Это сложные, неоднозначные, «ноздреватые»такие функции огромного количества фазовых переменных,а, главное, неаддитивные. Аддитивных же из них всего 7:гамильтониан, полный импульс и полный момент системы,так что    (Энергия, Импульс, Момент) . Будем дляпростоты считать, что наше макроскопическое тело (термодинамическая система) не движется и не вращается.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций