8 (810779)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7. Магнетизм электронного газа.«Суть же метода, мной примененного тут,Объяснить я подробней готов,Если есть у вас пара свободных минутИ хотя бы крупица мозгов.»Льюис Кэрролл «Охота на Снарка»1. Отсутствие магнетизма в классической статистике. ТеоремаБора – ван Леевен. 2.

Парамагнетизм и диамагнетизм в квантовойтеории. 3. Высокотемпературное приближение. Закон Кюри. 4. Низкотемпературное приближение. Случай слабых магнитных полей. 5.Низкотемпературное приближение. Квантующее магнитное поле.Эффект де-Гааза – ван Альфена.1. Отсутствие магнетизма в системе, подчиняющейсяклассической механике и классической статистике.Теорема Бора – ван Леевен (1911).Система частиц, подчиняющихся классической механике и классической статистике, лишена магнетизма. Этотфакт был доказан в 1909 г.

Г.А. Лоренцом, поэтому и называется теоремой Бора – ван Леевен. Как и прежде обозначимкоординаты и импульсы частиц как r  r1 , r2 ,...rN ,p  p1 , p 2 ,...p N . Тогда гамильтониан и статистическая суммаво внешнем магнитном поле естьH (r, p) 1 Ne(pi  A(ri ))  U (r ) ,2m i 1cH ( r ,p )drdpZ e T .N !(2 )3 N(7.1)(7.2)Статистическая сумма выглядит устрашающе, но если поменять порядок интегрирования, то не всё так безнадежно3U (r )  p1  A ( r1 ) drT Z edp1e 2 mT  c3NN !(2 )1 e2N(7.3)Поскольку пределы интегрирования бесконечны, ясно, что,замена p eA (r )  p исключает магнитное поле из статиcстической суммы.

Соответственно, магнитный момент системы, равный производной свободной энергии по полю,взятой со знаком минус, обращается в ноль. Физическийсмысл полученного результата ясен. У классической системычастиц нет парамагнетизма, потому что у них нет «собственного» магнитного момента. Любая стационарная токоваяконфигурация, создающая такой момент, неустойчива по отношению к излучению. Диамагнетизм же отсутствует из-заточной компенсации вклада в магнитный момент объёмных иповерхностных ларморовских токов.2. Парамагнетизм и диамагнетизм в квантовой теории.Учёт квантовых эффектов позволяет объяснить и парамагнетизм и диамагнетизм.

Парамагнетизм появляется из-заспина (и его магнитного момента), а диамагнетизм – из-зауровней Ландау. Будем говорить, для определенности, обэлектронном газе. Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимыхчастей: из парамагнитной намагниченности, связанной с собственным спиновым магнитным моментом электронов (парамагнетизм Паули, 1927) и из диамагнитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электронов поперёк поля (диамагнетизм Ландау, 1930).3.

Высокотемпературное приближение. Закон Кюри.4Поскольку в высокотемпературном приближении электронный газ больцмановский, статистическая сумма факторизуется, и достаточно вычислить её для одной частицы вполе B . Парамагнетизм связан с наличием у электрона собственного магнитного момента  B , так что его энергия в поле есть   BB . Вводя для удобства x   BB / T , получаем врасчете на один электронB BB Bze e T  2 ch x ,f  T ln z  T ln(2ch x) , f m     B ln(2 ch x)   B th x .x B T(7.4)(7.5)(7.6)В нулевом поле температура «размешивает» моментыпо направлениям, и магнитный момент отсутствует. При небольших полях наведённый магнитный момент линеен пополю, и удобно ввести восприимчивость (в расчете на однучастицу) m    B .

При дальнейшем увеличении поля происходит «насыщение» магнитного момента, когда все магнитные моменты (спины) электронов выстраиваются по(против) поля. Для этого необходимо, чтобы зеемановскаяэнергия была много больше температуры  BB  T . Всёвышеизложенное легко обобщается на случай частиц с любым спином s . Тогда статистическая сумма (7.4) будет содержать не два, а 2s  1 слагаемых и, вместо гиперболического тангенса, получится функция Бриллюэнаm   B g s s  s ( x) ,(7.7)где x   B g s sB / T , g s – фактор Ланде, а функция Бриллюэнаs1  1 1x( x)  1   cth 1   x  cth2s2s 2s   2s 5(7.8)имеет следующие асимптотики.

Она линейна при малыхx  1 и переходит в функцию Ланжевена ( x) при больших s  1ss 1x  ...3s1 cth x   ( x)x( x) при x  1 ,(7.9)при s  1 .(7.10)Для магнитных восприимчивостей получаетсяs  B2 g s2 s ( s  1)3T кл23T,,(7.11)(7.12)где  кл2   B2 g s2 s 2 - магнитный момент атома в классическомпределе. Например, для электронов B2 m . пара  (7.13) B  B 0 TЭта зависимость   T 1 называется законом Кюри,который показывает, что в классическом пределе T  Tвырмагнетизм исчезает в полном соответствии с теоремой Бора –ван Леевен. Кроме положительной парамагнитной, существует еще отрицательная диамагнитная восприимчивость.Диамагнетизм возникает из-за дискретности уровней Ландауэнергии электронов  n   (n  1/ 2) с кратностью вырождения g L  BS /  0 . Здесь  2  BB − циклотронная ча-стота, а  0  2 c / e - квант потока, так что кратность вырождения уровня Ландау g L – это просто число квантов потока  /  0 , проходящего через створ образца.

Тогда одночастичная статсумма6z  gL  eгде учтено, что x 2T 1 n T  2n 0 BBTgL.2sh x(7.14). Далее,x ... .sh xx1 f m     B  cth x   .   B lnx sh xx B f  T ln z  T ln(7.15)(7.16)– функция Ланжевена, а диамагнитная восприимчивость B2 m  диа  3T B  B 0(7.17)- в три раза меньше парамагнитной. Таким образом, в целомэлектронный газ парамагнитен.Откуда берутся уровни Ландау, и почему у них такаякратность вырождения? Уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле B в точности такие же каку гармонического осциллятора.

«Упругая пружинка» у однородного магнитного поля запрятана в векторном потенциалеA  (0, B  x,0) . После его подстановки в удлинённые производные у гамильтониана (7.1) и появляется квадратичныйпотенциал. А вырожденность уровней Ландау связана с сохранением общего числа одночастичных состояний привключении поля. Без поля одночастичные состояния на плоскости поперечного импульса расположены «густым», квадратно-гнездовым образом, с площадью клетки импульса(2 ) 2 / L2 .

После включения поля уровням Ландау соответствуют круги, идущие «редко», через равную площадь импульса 2 e B / c . Это значит, что к каждому кругу относится одно и то же число состояний g L , равное отношению потокачерезобразец  B  L27кквантупотока 0  2 c / e  4 107 Гс  см 2 . В теории сверхпроводимости (Лекция 12) тоже используется квант потока, но в два раза меньший. Это связано с тем, что ток там переносят неэлектроны, а куперовские пары.4. Низкотемпературное приближение. Слабые магнитные поля.Теперь рассмотрим магнитные свойства вырожденногоэлектронного газа.

При низких температурах магнетизм также складывается из парамагнетизма (Паули, 1927) и диамагнетизма (Ландау, 1930), но для их вычисления уже нельзявоспользоваться такими простыми приемами, как (7.4) и(7.15). Числа заполнения вырожденного газа не малы, и статистическая сумма не факторизуется. Электроны мешаютдруг другу рассаживаться по состояниям независимо. Длявычисления восприимчивости в этом случае воспользуемсявсей мощью большого канонического распределения Гиббса.Начнем с парамагнетизма Паули. Для типичных параметров магнитного поля и электронного газа в металле характерна ситуация  BB  T   F . Это значит, что газ вырожден, а поле слабое. Когда поля нет вовсе, то у половиныэлектронов спин направлен по полю, а у второй половины –против.

После включения поля электроны приобретают дополнительную спиновую энергию   BB , что эквивалентнозамене  на    BB . Поэтому, пока связанные с полем изменения малы, омега-потенциал можно записать в виде(  ) 11 0 (    BB )   0 (    BB )22(7.18)где  0 (  ) − омега-потенциал в отсутствие поля. Произведяразложение81 2 2  2 0(  )   0 (  )   B B(7.19)2 2для намагниченности M  и восприимчивости с учёBтом N  получаем: N   T ,V P   B2  (7.20)Полное вырождение электронного газа и слабость поля позволяет в этом же приближении положить   F  (3 )N 2m  V 22 2323(7.21)что позволяет выразить восприимчивость через плотностьсостояний на поверхности Ферми P   B2 3N  B2  g ( F )2 F(7.22)Эта восприимчивость относится ко всем N частицам,а не к одной, как в предыдущем параграфе.Таким образом, парамагнитная магнитная восприимчивость вырожденного электронного газа не зависит от температуры и пропорциональна плотности состояний на поверхности Ферми.

Этот результат имеет ясный физическийсмысл. Включение слабого магнитного поля приводит к тому, что электронов с магнитными спиновыми моментами«по» полю становится больше, чем электронов со спиновымимагнитными моментами «против» поля на g ( F )  BB штук.Этоприводитквозникновениюнамагниченности2M   B  g ( F )  B , что и даёт паулиевскую восприимчивость(7.22). Эта формула разрешила загадку чрезвычайно низкого9экспериментального значения восприимчивости по сравнению с предсказанием закона Кюри (7.13).Теперь рассмотрим диамагнетизм Ландау.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций