405 (810507)
Текст из файла
Московский физико-технический институт(государственный университет)ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ОПТИКЕЛабораторная работа № 405В работе используются: гелий-неоновый лазер, кассета с наборомсеток разного периода, щель с микрометрическим винтом, линзы,экран, линейка.Анализ сложного волнового поля во многих случаях целесообразно проводить, разлагая его на простейшие составляющие, например,представляя его в виде разложения по плоским волнам. При этом оказывается, что если мы рассматриваем поле, полученное после прохождения плоской монохроматической волны через предмет или транспарант (изображение предмета на фотоплёнке или стеклянной пластинке)с функцией пропускания t(x), то разложение по плоским волнам соответствует преобразованию Фурье от этой функции. Если за предметомпоставить линзу, то каждая плоская волна сфокусируется в свою точкув задней фокальной плоскости линзы.
Таким образом, картина, наблюдаемая в фокальной плоскости линзы, даёт нам представление о спектре плоских волн падающего на линзу волнового поля. Поэтому можноутверждать, что с помощью линзы в оптике осуществляется пространственное преобразование Фурье.Спектр функции пропускания амплитудной синусоидальной решёткиРассмотрим вначале простой пример: дифракцию плоской монохроматической волны на синусоидальной амплитудной решётке. Пусть решётка с периодом d расположена в плоскости Z = 0, а её штрихи ориентированы вдоль оси Y .
Функция пропускания такой решётки имеетвидeiux + e−iux(1)t(x) = β + α cos(ux) = β + α2с постоянными α, β и u (u = 2π/d — пространственная частота).Если на решётку падает плоская монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль оси Z,E(~r, t) = E0 e−i(ωt−kz) ,(2)где ω — круговая частота, k — волновой вектор (k = 2π/λ), E0 — амплитуда, то на выходе из решётки мы получим три плоских волны:E1 = βE0 e−i(ωt−kz) ;√α22E0 e−i(ωt−ux− k −u ·z) ;2√α22E3 = E0 e−i(ωt+ux− k −u ·z) .2E2 =МОСКВА 20053(3)Действительно, легко видеть, что в плоскости Z = 0 амплитуда колебаний, создаваемая суммой этих волн, описывается функцией (1), а фазаколебаний постоянна.
Таким образом, в силу единственности решенияволнового уравнения при заданных граничных условиях мы нашли искомую суперпозицию плоских волн. Каждая из этих трёх плоских волнфокусируется линзой в точку в задней фокальной плоскости.Волна E1 = βE0 e−i(ωt−kz) , распространяющаяся вдоль оси линзы(оси Z), фокусируется в начало координат, а волны E2 и E3 , распространяющиеся в направлении sin θ = ±(u/k), фокусируются в точкахx1−2 = ±F u/k = ±F λ/d (F — фокусное расстояние линзы).Функция t(x) с самого начала задана в виде суммы гармоническихсоставляющих, т. е. в виде ряда Фурье.
Каждой гармонической составляющей мы поставили в соответствие с (3) плоскую волну, собираемуюлинзой в точку в задней фокальной плоскости (её обычно называют фурье-плоскостью). Проводя аналогию с «временно́й» координатой, мыможем заключить, что спектр функции t(x) представлен в фурье-плоскости тремя пространственными частотами: 0, +u, −u; с амплитудамисоответственно: β, α/2, α/2.Теорема Фурье, доказываемая в курсе математического анализа,утверждает, что широкий класс периодических функций t(x) можетбыть представлен в виде суммы бесконечного множества гармонических составляющих, имеющих кратные частоты, т. е. в виде рядаФурье. В комплексной форме этот ряд имеет видt(x) =∞XCn einux .(4)n=−∞Рассуждая так же, как в случае амплитудной синусоидальной решётки, мы придём к выводу, что картина, наблюдаемая в фурье-плоскости,представляет собой эквидистантный набор точек с координатамиFuFλxn =n=nkdи амплитудами, пропорциональными Cn . Таким образом, с помощьюлинзы в оптике осуществляется пространственное преобразование Фурье: при освещении транспаранта плоской монохроматической волнойкартина, наблюдаемая в задней фокальной плоскости линзы, установленной за транспарантом, представляет собой фурье-образ функции пропускания транспаранта.Последнее утверждение нуждается в уточнении.
Распределение светав задней фокальной плоскости линзы будет воспроизводить распределение амплитуд плоских волн, продифрагировавших на транспаранте, но4фазовые соотношения при этом, вообще говоря, оказываются искажёнными и не соответствуют аргументам комплексных амплитуд в выражении (4).
При изменении расстояния между транспарантом и линзойфазовые соотношения изменяются. Можно доказать, что если транспарант установлен в передней фокальной плоскости линзы, то в её заднейфокальной плоскости восстанавливаются и амплитудные, и фазовые соотношения между плоскими волнами, и таким образом строго осуществляется комплексное фурье-преобразование (4).Во многих практически важных случаях функция пропускания транспаранта чисто амплитудная, как, например, в случае амплитудной синусоидальной решётки (1). Тогда для того, чтобы найти фурье-образ функции пропускания транспаранта, достаточно определить только пространственные частоты и соотношение между амплитудами плоских волн навыходе из транспаранта.
Для амплитудной синусоидальной решётки мыполучили три плоских волны с пространственными частотами 0, +u, −uи амплитудами, пропорциональными β, α/2, α/2. В соответствии с (1)мы можем утверждать, что нашли пространственный фурье-образ функции пропускания амплитудной синусоидальной решётки.Интересно заметить, что наблюдаемая визуально картина фраунгоферовой дифракции в задней фокальной плоскости линзы не зависит отрасстояния между транспарантом и линзой, так как глаз не реагирует нафазу волны, а регистрирует только интенсивность (усреднённый по времени квадрат амплитуды поля). Условия наблюдения дифракции Фраунгофера можно выполнить и без применения линзы, если наблюдатьдифракционную картину на достаточно удалённом экране.
Таким образом, пространственное преобразование Фурье может осуществляться ив свободном пространстве при наблюдении дифракции Фраунгофера.Спектр функции пропускания щелевой диафрагмы и периодической последовательности таких функцийКартина дифракции Фраунгофера на щели и на дифракционной решётке, имеющей вид периодического набора щелей, хорошо известна изкурса оптики. Спектр дифракционной решётки представлен на рис. 1.Если размеры дифракционной решётки неограничены, то дифракционные максимумы в спектре бесконечно узки. Чем меньше размер решётки(полное число щелей), тем шире каждый отдельный максимум.Направление на главные максимумы θn = un/k = λn/d (n — целоечисло) определяется периодом решётки d, а распределение амплитуд вспектре (огибающая) — фурье-образом функции пропускания отдельно5g1 (x)а)G1 (u)б)6D62πD-- d 00 2πxdОтсюда видно, что направление на первый минимум θ1 в огибающейспектра пропускания дифракционной решётки определяется ширинойфункции пропускания отдельного штриха: θ1 = u/k = λ/D.
Если ввестипонятия протяжённости функции пропускания транспаранта по координате (∆x) и ширины её спектра (∆u), тоsin(uD/2)uD/2∼4πD6πD-u4πdго штриха:g2 (x) =при − D/2 ≤ x ≤ D/2;при − D/2 > x > D/2.10(5)Так как функция g2 (x) непериодична, её фурье-образ представляетсянепрерывным множеством точек и определяется интегральным преобразованием Фурье:∞Z1g(x) =G(u) eiux du,2πG(u) =−∞∞Z(6)g(x) e−iux dx.(7)∆u · ∆x = const.Рис.
1. а) g1 (x) — функция пропускания дифракционной решётки (последовательности прозрачных и непрозрачных полос);б) G1 (u) — спектр функции пропускания дифракционной решёткиДля частного случая функции пропускания щелевой диафрагмы,определяя ширину её спектра по первому нулю функции sin(uD/2)uD/2 , получаем2π∆u · ∆x =· D = 2π.DСоотношение (7) в волновой физике играет чрезвычайно важную роль.Его называют соотношением неопределённости.Измерив на удалённом экране расстояния между максимумами илиминимумами в спектре пропускания щели (рис. 2б) или решётки (рис. 1б),можно рассчитать размер щели или период решётки.Размер малого объекта можно рассчитать, если получить его изображение, увеличенное с помощью линзы.Метод Аббе−∞Говорят, что в таком виде g(x) и G(u) представляют собой пару преобразований Фурье: G(u) — спектр или фурье-образ функции g(x).Спектр функции g2 (x) хорошо известен, он соответствует картинедифракции Фраунгофера на щели и описывается функцией вида sinx x(рис.
2).а)g2 (x)G2 (u)б)66D- -2πDx0∼0-uРис. 2. а) g2 (x) — функция пропускания щелевой диафрагмы;б) G2 (u) — спектр функции пропускания щелевой диафрагмыПолучим спектр G2 (u) ещё раз с помощью преобразования Фурье:G2 (u) =∞Z−∞g2 (x) e−iuxD/2Zdx =−D/26e−iux dx = Dsin(uD/2).uD/2?FP16πDФ6-sin(uD/2)uD/24πDЛ1P2Рис.
3. Схема, поясняющая метод Аббе построения изображенияРассмотрим кратко схему образования изображения (рис. 3). Пустьпредмет расположен в плоскости P1 на расстоянии от линзы большем,чем фокусное. Тогда существует сопряжённая предметной плоскости P1плоскость P2 , где образуется изображение предмета-щели.Аббе предложил рассматривать схему прохождения лучей от предмета к изображению в два этапа. Сначала рассматривается изображениеспектр в задней фокальной плоскости Ф линзы Л1 (это изображениеАббе назвал первичным).7G2 (x)Затем это изображение расλ)6 ∼ sin(πDx/FπDx/F λсматривается как источник волн,а)λFсоздающий изображение предDмета в плоскости P2 (вторичное изображение).
Такой под0xход опирается на принцип ГюйФ(x)б)генса–Френеля, согласно которо6му любой участок волновогофронта можно рассматриватькак источник излучения.0xG1 (x)Картина, наблюдаемая в плос6кости P2 , зависит от распределев)λFDния амплитуды и фазы в плоскости Ф — в первичном изобλFx0ражении. Если плоскость P2 соdпряжена с предметной плоскоРис. 4. а) G2 (x) — спектр функции простью P1 , то фазовые соотнопускания щелевой диафрагмы; x — координаты в задней фокальной плоскошения в первичном изображести линзы; б) Φ(x) — функция пропуснии оказываются именно такикания решётки, установленной в фурьеми, что в плоскости P2 мы наплоскости линзы; в) G1 (x) — отфильблюдаем соответственно увелитрованный спектр щелевой диафрагмы(ср.
с рис. 1)ченное или уменьшенное изображение предмета. Поэтому иногда говорят, что линза дважды осуществляет преобразование Фурье:сначала в задней фокальной плоскости Ф линзы получается световоеполе, соответствующее фурье-образу функции пропускания предмета (сточностью до фазы), а затем на промежутке между фокальной плоскостью Ф и плоскостью изображений P2 осуществляется обратное преобразование Фурье, и в плоскости P2 восстанавливается таким образомизображение предмета.амплитуде, ни по фазе от спектра периодической последовательности щелевых диафрагм, и в плоскости P2 мы получим вместо изображения одиночной щели изображение периодической последовательности щелей.Эти рассуждения можно повторить и для предмета с произвольнымспектром, необходимо только, чтобы период решётки был заметно меньше ширины спектра (точное соотношение можно получить из теоремыКотельникова).
Таким образом, установив в задней фокальной плоскости линзы решётку, мы вместо изображения одиночного предмета получим эквидистантный набор изображений таких предметов, т. е. осуществим мультипликацию изображения предмета (увидим изображениенесуществующей «фиктивной» решётки).Поменяв местами сетку и щель, можно проследить влияние размеращели на изображение сетки.Экспериментальная установка. Схема установки представлена нарис. 5. Щель переменной ширины D, снабжённая микрометрическимвинтом В, освещается параллельным пучком света, излучаемым He-Neлазером (радиус кривизны фронта волны велик по сравнению с фокусными расстояниями используемых в схеме линз).Увеличенное изображение щели с помощью линзы Л1 проецируетсяна экран Э.
Величина изображения D1 зависит от расстояний от линзыдо предмета — a1 и до изображения — b1 , т. е. от увеличения Г системы:Γ=D1b1= .Da1(8)Изображение спектра щели образуется в задней фокальной плоскости Ф линзы Л1 . Размещая в плоскости Ф двумерные решётки-сетки,можно влиять на первичное изображение и получать мультиплицированное изображение щели.Убрав линзу, можно наблюдать на экране спектр щели (рис. 6), а если заменить щель решёткой — спектр решётки. Крупные решётки даютна экране очень мелкую картину спектра, которую трудно промерить.В этом случае используют две линзы (рис. 7): первая (длиннофокусная) формирует первичное изображение — спектр, вторая (короткофокусная) — проецирует на экран увеличенное изображение спектра.Мультипликация изображения предметаРассмотрим, что произойдёт с изображением предмета, если мы установим в задней фокальной плоскости линзы решётку. Сопоставим вначале спектры щелевой диафрагмы (рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
