6 (805346)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1й курс. 2й семестр. Лекция 61Лекция 6. «Колебания» (продолжение).Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент колебаний. Вынужденные колебания. Установившиеся вынужденные колебания.Механический резонанс.mРассмотрим движение тела в вязкой среде под действием кваХ зиупругой силы вблизи положения равновесия (например,движение поршня на невесомой пружине). Будем считать, чтосила сопротивления пропорциональна скорости тела:FСОПР = − r ⋅ v , где r – коэффициент сопротивления (Н⋅с/м)Уравнение движения поршня можно записать в виде ma = −kx − rv илиɺɺx + 2β xɺ + ω20 x = 0rkгде введены обозначения 2β = , ω02 = . Это уравнение называется уравнениемmmсвободных затухающих колебаний.

Если r = 0, то получаем уравнение свободных2πнезатухающих колебаний ɺɺx + ω02 x = 0 с периодом T0 = .ω0Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергийWМЕХ2 xɺ 2mv 2 kx 22 x =+= m  + ω0  .222 2Для затухающих колебаний механическая энергия не остаётся постоянной а убывает:dWMEX d   xɺ 2x 2  ɺɺɺ + ω02 xxɺ ) = mxɺ ( ɺɺ= m  + ω02   = m ( xxx + ω02 x ) = mxɺ ( −2β xɺ ) = − rxɺ 2 < 0 .dtdt   22  Будем искать решение уравнения свободных затухающих колебаний в видеx = e . Подставив в уравнение и, сокращая, получаем характеристическое уравнениеλ 2 + 2β ⋅ λ + ω02 = 0 .Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4 β 2 − 4ω02 ,λt−2 β ± 4 β 2 − 4ω02значения корней λ1,2 == − β ± β 2 − ω02 .2Поэтому решение уравнения должно иметь видλ1tx = C1e + C2 eλ2t(− β +=Ce1)β 2 −ω02 t(−β −+C e2)β 2 −ω02 t(= e− β t C1et β 2 −ω02+ C2 e− t β 2 −ω02),где С1 и С2 – постоянные коэффициенты.Воспользуемся формулой Эйлера: eiωt = cos (ωt ) + i sin (ωt ) , где i = −1 .При β 2 − ω02 > 0 решение не описывает колебания.Колебания будут наблюдаться, если β 2 − ω02 < 0 .

Введем обозначение ω 2 = ω02 − β 2 .Тогда β 2 − ω02 = −ω 2 = i ⋅ ω и решение уравнения примет видx = A0 e − β t sin ( ωt + ϕ ) .1й курс. 2й семестр. Лекция 62Оно описывает свободные колебания циклической частоты ω, затухающие с течением времени. Циклическая частота затухающих колебаний ω = ω02 − β2 , периодT=2π2π=.ωω02 − β2Необходимым условием колебательного движения является неравенство β < ω0 .Величина A = A0 e−βt является амплитудой затухающих колебаний.

С течением времени амплитуда убывает – говорят, что колебания затухают. Временем затухания (временем релаксации) называется время τ, за которое амплитуда убывает в еразA (t )A (t + τ)=A0 e −βtA0 e−β( t +τ )= e , eβτ = e , откуда τ =1.βxtЧисло полных колебаний, совершаемое системой за это время N e =τ1=.T βTДекремент затухания – отношение амплитуд колебаний спустя период∆=A(t )A0 e −βt== eβ T .−β( t +T )A ( t + T ) A0 e1δЛогарифмический декремент затухания δ = ln ∆ = βT .

Поэтому N e = .πназывается добротностью колебательной системы.δkA2 kA0 2 e −2βtЭнергию колебаний в момент времени t можно определить как W ==.22−2 β t +TkA 2 e −2βt kA0 2 e ( ) kA0 2 e−2βtУбыль энергии за один период W1 − W2 = 0−=1 − e −2βT ) .(222Величина Q = πN e =Рассмотрим отношение запасенной энергии к убыли энергии за один периодколебанийW1=.W1 − W2 1 − e −2βT1й курс. 2й семестр. Лекция 63При малом логарифмическом декременте затухания δ = βT << 1 воспользуемся разложением1 − e −2βT = 1 − (1 − 2β T + ...) ≈ 2β T .

Т.к, T =2π, ω = ω02 − β2 и при малых β можно приωближенно считать ω ≈ ω0 , тоW11ωQ====.2πW1 − W2 2β T 2β2β2π 2πωДля затухающих свободных колебаний добротность характеризует скорость убывания энергии при малых затуханиях.Фазовый портрет свободных затухающих колебаний.Пусть задан закон колебательного движенияx = A0 e −βt sin ( ωt + α ) .Тогда скорость при колебанияхpxvx = xɺ = −β A0 e−βt sin ( ωt + α ) + ωA0 e −βt cos ( ωt + α ) .0Импульсpx = mvx = − mβ A0 e −βt sin ( ωt + α ) + mωA0 e−βt cos ( ωt + α ) .xТак как sin ( ωt + α ) =p + mβxxи cos ( ωt + α ) = x, то−β tA0 emωA0 e −βt22 x   px + mβ x sin ( ωt + α ) + cos ( ωt + α ) = +=1.−β t −β t  A0 e   mωA0 e 22Фазовая траектория представляет собой сужающуюся к нулевой точке спираль(т.к. с течением времени значения x и px стремятся к нулю).

Вращение происходитпо часовой стрелке.Вынужденные колебания.Рассмотрим движение тела в вязкой среде вблизи положения равновесияпод действием квазиупругой силы и некоторой периодической силыF ( t ) = F0 cos ( Ωt + α ) .Второй закон Ньютона ma = −kx − rv + F ( t ) перепишем в видеɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )где введены обозначения 2β =Frk, ω02 = , f 0 = 0 .

Это уравнение называется уравmmmнением вынужденных колебаний. Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнений.Однородное уравнениеɺɺx + 2β xɺ + ω20 x = 0является уравнением свободных затухающих колебаний.Частное решение неоднородного уравненияɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α )1й курс. 2й семестр.

Лекция 64будем искать в виде xB = AB cos ( ωB t + α B ) . Изобразим это уравнение на амплитудновекторной диаграмме, на которой величинеYf0 Ωt+αω02 xB = ω02 AB cos ( ωB t + α B ) соответствует вектор AB1 , такойчто AB1 = ω02 AB .AB2ABπωBt+αB Так как xɺB = −ωB AB sin ( ωB t + α B ) = ωB AB cos  ωB t + α B +  , то0XAB32πвеличине 2βxɺB = 2βωB AB cos  ωB t + α B +  соответствует2вектор AB 2 , повернутый относительно вектора AB1 на уголπ, длина которого2AB 2 = 2βωB AB .Величине ɺɺxB = −ωB 2 AB cos ( ωB t + α B ) = ωB 2 AB cos ( ωB t + α B + π ) соответствует вектор AB 3 ,повернутый на угол π относительно вектора AB1 и AB 3 = ωB 2 AB .В правой части уравнения величине f 0 cos ( Ωt + α ) соответствует вектор f0 .Уравнению ɺɺx + 2βxɺ + ω02 x = f 0 cos ( Ωt + α ) будет соответствовать векторная суммаAB1 + AB 2 + AB 3 = f 0 .Так как длины векторов не меняются, то это равенствоYвозможно только для случая ωB = Ω .

Таким образом,AB3 AB2вынужденные колебания происходят с частотой выθнуждающей силы.f0ABИз диаграммы следует, что при этом должно выполΩt+αωBt+αB няться равенство f 02 = ( AB1 − AB 3 )2 + AB2 2 , поэтому получаем0f 02 = ( ω20 AB − Ω 2 AB ) + ( 2βΩAB ) .2X2Откуда находим амплитуду вынужденных колебаний:AB =f0(ω20−Ω)2 2+ 4β Ω2.2Обозначим θ = α − α B - разность фаз вынуждающей силы и вынужденных колебаний.Из диаграммы следует, что tg θ =AB 22βωB AB2βΩ, т.е.

tg θ = 2= 2.2AB1 − AB 3ω0 AB − ωB AB ω0 − Ω 2Таким образом, при ω0 > Ω получаем, что θ>0 – вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, а при ω0 < Ω - вынужденные колебанияопережают по фазе вынуждающую силу.Следствие. Под действием периодической силы тело совершает два вида колебаний - свободные затухающие с собственной частотой ω, и вынужденные – с частотой вынуждающей силы Ω. Затухающие колебания с течением времени прекратятся и останутся только вынужденные колебания – их называют установившимися.1й курс.

2й семестр. Лекция 65Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды установившихся колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной резонанснойчастоте системы.Найдем, при какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденныхколебаний будет иметь максимальное значение. Для этого найдем экстремум амплитуды:∂AB= 0,∂Ω()222∂AB1 f 0 2 ( −2Ω ) ( ω0 − Ω ) + 8β Ω=−=32∂Ω222 22 2( ω0 − Ω ) + 4β Ω)(f 0 Ω ( ω02 − Ω 2 − 2β2 )((ω − Ω ) + 4β Ω )2 220232=0.2Первое решение Ω=0 соответствует постоянной сдвигающей силе и отсутствиювынужденных колебаний.Второе (ограниченное) решение Ω REZ = ω02 − 2β2 называется резонансной частотой системы.

Отсюда вытекает условие возникновения резонанса β <ω02.Амплитуда колебаний при резонансеAB _ REZ =f0(ω20− ω + 2β20)2 2+ 4β ( ω − 2β2202)=f04β ω − 4β2204=f02β ω02 − 2β2.Предельное значение амплитуды вынужденных колебаний при постоянной(сдвигающей) силе (когда Ω=0) – это статическое отклонение на величинуA0 B =f0.ω20AB1=.A0 B2 22 Ω β2  Ω 1 −    + 4 2    ω0  ω0  ω0 A1При резонансе оно примет вид B _ REZ =.A0 Bββ221− 2 2ω0ω0ΩОбозначим x =и построим графики зависимости амплитуды от частоты дляω0Рассмотрим отношениеразличных значений параметров.

(График зависимости амплитуды вынужденныхколебаний от частоты называется резонансной кривой.).Зависимость резонансной частоты и резонансной амплитуды от параметразатухания0,040,070,10,20,30,4β/ω00,998398710,995088 0,989949 0,959166 0,905539 0,824621Ω/ω08AB _ REZ12,52004817,178117 5,050763 2,60643 1,840525 1,515848A0 B31й курс.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций