1 (805341), страница 2

Файл №805341 1 (Лекции в PDF) 2 страница1 (805341) страница 22020-06-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Так как длина вектора не может быть отViрицательной, то производная от длины пути тоже не можетбыть отрицательной – это значит, что длина пути не убывает.Построим график величины мгновенной скоростиt точки от времени на интервале (t1, t2). Рассмотрим малыйинтервал времени ∆ti∈(t1, t2). Величину скорости на этомt1t2∆tiинтервале можно считать постоянной и равной Vi. ТогдаVi ⋅ ∆ti - это площадь малого прямоугольника, а суммаL ≈ ∑ Vi ⋅ ∆ti будет примерно равна площади фигуры под графиком скорости от вреiмени на интервале (t1, t2).

При уменьшении промежутков разбиения max ( ∆ti ) → 0 поiлучим величину, которая совпадает с определённым интегралом от величины скорости на интервале (t1, t2): L = ∑ Li ≈ ∑ VСР.ПЕРЕМ_i ⋅ ∆tiii→max( ∆ti )→ 0t2L = ∫ V dtt1it2Таким образом, длина пути определяется соотношением L = ∫ V dt .t1Таким же образом получаем, что перемещение точки заинтервал времени (t1, t2) (в декартовой системе координат)t2t2t2t2t1t1t1t1∆R = ∫ vdt ⇔ ∆x = ∫ v x dt, ∆y = ∫ v y dt , ∆z = ∫ v z dt .Замечание. В дальнейшем будут рассматриватьсятолько гладкие траектории, а именно – такие траектории, укоторых в каждой точке можно провести касательную. Вэтом случае движение точки описывается непрерывно дифференцируемыми функциями.Ускорение.В общем случае вектор скорости V тоже зависит от времени, т.е.

его координаты являются функциями времени V = ( VX (t); VY (t); VZ (t) ) , следовательно, по аналогиис вышеизложенным можно ввести вектор среднего и мгновенного ускорений.Вектор, равный мгновенному изменению вектора скорости называется вектором ускорения a =dV ɺ= V . Его компоненты определяются равенствами ax = vɺ x ,dta y = vɺ y , az = vɺ z .Единицы измерения величины ускорения м/с2.1й курс. 2й семестр. Лекция 16Частные случаи движения1) Если величина вектора скорости точки не меняется (но направление можетменяться!), то траекторией точки является некоторая кривая линия. В этом случае, сt2учётом V = const длина пути вычисляется как L = ∫ V dt = V ⋅ ( t2 - t1 ) .t12) Пусть теперь постоянно только направление вектора скорости.

В этом случае траектория точки лежит на прямой линии. Всегда можно таким образом ввести систему координат, чтобы этой прямой являлась, например, ось Х. Тогда вовсе моменты времени остальные координаты Y=0 и Z=0. Вектор скорости долженкасаться траектории, поэтому он также лежит на этой прямой и для него такжеVY=0, VZ=0. Таким образом, при прямолинейном движении радиус-вектор описывается одной координатой Х(t), R = ( X(t); 0;0 ) ; вектор скорости одной координатойVX(t), V = ( VX (t);0; 0 ) и ускорение тоже одной координатой aX(t), a = ( aX (t); 0; 0 ) . Поэтому в данном случае можно не использовать векторное представление, а толькочисловое – рассматривая только соответствующую координату. О направлении вектора можно судить по знаку координаты - если координата соответствующего вектора положительная, то вектор направлен в положительном направлении оси Х.

Тогдаt2t2t1t1∆x = x2 − x1 = ∫ v x dt , ∆v x = v 2 x − v1x = ∫ ax dt .В частном случае равноускоренного (равнопеременного движения) ax = consta ⋅ ( t − t0 )x = x0 + v 0 x ⋅ ( t − t0 ) + x, v x = v 0 x + a x ⋅ ( t − t0 ) ,22где x0, v0x – значения координаты и скорости в начальный момент времени t=t0.3) В общем случае движения с постоянным ускорением можно записать для трёхосей декартовой системы координат аналогичные соотношенияa ⋅ ( t - t0 )vX=v0X + aX⋅(t-t0), x = x0 + v0 X ⋅ ( t - t0 ) + X,22aY ⋅ ( t - t0 )vY=v0Y + aY⋅(t-t0), y = y0 + v0Y ⋅ ( t - t0 ) +,22aZ ⋅ ( t - t0 )vZ=v0Z + aZ⋅(t-t0), z = z0 + v0 Z ⋅ ( t - t0 ) +.22или, в векторной форме( t - t0 ) ,R = R0 + v0 ⋅ ( t - t0 ) + a ⋅22v = v0 + a ⋅ ( t - t 0 ) .траекторией тела может быть прямая или парабола, в зависимости от начальных условий.Математические сведенияСкалярное произведение двух векторов a = ( ax ,a y ,az ) иab = ( bx ,by ,bz ) в декартовой системе координат определяется равен-αствомb1й курс.

2й семестр. Лекция 1( a,b ) = a bx x7+ a y by + a z bz .С другой стороны, в любой системе координат ( a,b ) = a ⋅ b cos α .Следствия из этих формул.1) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу.22) Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины ( a,a ) = a , откуда для длины вектора a = ( a,a ) .3) Определим единичный вектор направления для любого вектора b как векторτb =bb. Он не зависит от длины вектора b , а зависит только от его направления.Причем длина этого вектора равна единице: τb =b b ,ττ=( b b )  ,  = 1 .b bЧтобы найти проекцию вектора a на вектор b , надо найти проекцию на его направление( a )b =a ⋅ cos α =( a,b ) =  a, b  =bb ( a, τ ) .b4) Если вектор непрерывно меняется в зависимости от какого-то параметра, то этотвектор можно дифференцировать по этому параметру.

Пусть, например, координатывектора зависят от времени a = ( ax ( t ) ,a y ( t ) ,az ( t ) ) , тогда вектор c , координаты которого определяются равенствами cx =от вектора a , т.е. c =dadadax, c y = y , cx = y называется производнымdtdtdtda.dt5) Производная от скалярного произведения двух векторовdadbdadbdddadb  da   db a,b = ( ax bx + a y by + az bz ) = x bx + y by + z bz + ax x + a y y + az z =  ,b  +  a, dtdtdtdtdtdtdtdt  dt   dt dd2 da В частности,a = ( a,a ) = 2  ,a  .dtdt dt 6) Если длина вектора a = const не меняется, но сам вектор не постоянен a ≠ const , то( )( )получаем, что из условия a = const вытекает2тогональны друг другу:( )d2 da a =  ,a  = 0 , т.е.

эти векторы орdt dt da⊥ a . В этом случае конец вектора a описывает окружdtdaнаправлен по касательной к этой окружности в сторону поворотаdtdaa и, очевидно,⊥a.dtность, а вектор1й курс. 2й семестр. Лекция 18Движение точки на плоскости.Если траектория точки лежит в плоскости, то такое движение называется«плоским». В этом случае векторы скорости и ускорения также лежат в этой плоскости для любого момента времени.Вектор ускорения можно представить в виде суммы двух векторов - вектораa t , параллельного вектору скорости и вектора an , перпендикулярного вектору скоростиa = at + an .Вектор ускорения at называется тангенциальным или касательным ускорением, авектор ускорения an называется нормальным (перпендикулярным) ускорением.Введем единичный вектор для направления скорости τv =v.

Этот вектор наvправлен по касательной к траектории в ту же сторону, что и вектор скорости. Тогдадля ускорения должно бытьd va = vɺ =τv + v τɺ v .dtВ этом выражении первое слагаемое определяет вектор, параллельный вектору скорости, а второе – перпендикулярный (так как τv ⊥ τɺ v ), поэтому at =Вектор at =d vτv и an = v τɺ v .dtd vτv (тангенциальное или касательное ускорение) отвечает за изdtменение модуля вектора скорости. Проекция на направление скорости( at )v = ( at , τv ) =d vdt( τv , τv ) =d vdt.Если модуль (длина) вектора скорости увеличивается, то величина проекцииускорения на направление вектора скорости положительная и at направлен в ту жесторону, что и вектор скорости v .

И наоборот - если модуль вектора скоростиуменьшается, то вектор касательного ускорения направлен против вектора скорости.Вектор нормального ускорения an = v τɺ v направлен в ту же сторону, что и вектор τɺ v , т.е. в сторону поворота вектора скорости, следовательно, он отвечает за изменение направления вектора скорости.an ⋅ dtτvvat ⋅ dtdv = ( at + an ) ⋅ dtv + dvatτɺ vanЗамечание. К любой гладкой кривой на плоскости в каждой её точке можно построить касательную прямую, которая определяется первой производной от радиусвектора по некоторому параметру. Подобным же образом можно построить каса-1й курс.

2й семестр. Лекция 19тельную окружность, которая определяется второй производной от радиус-вектора.Поэтому весьма полезным является рассмотрение движения точки по окружности.Для того чтобы получить явную формулу для величиныyнормального ускорения рассмотрим движение точки по окружvности радиуса R. Пусть окружность лежит в плоскости z=0. РаRдиус-вектор точки на окружности R = ( R cos α ,R sin α , 0 ) . Векторαскорости точки v = Rɺ = ( −αɺ ⋅ R sin α ,αɺ ⋅ R cos α ,0 ) , вектор ускоренияточки a = vɺ = ( −αɺɺ ⋅ R sin α − αɺ 2 ⋅ R cos α ,αɺɺ ⋅ R cos α − αɺ 2 ⋅ R sin α ,0 )xВведем обозначения: угол α называется угловой координатой,dαназывается угловой скоростью (единица измерения 1/с),dtd 2α- величина ε = 2 называется угловым ускорением (единица измерения 1/с2).dtТогда v = ( −ωR sin α ,ωR cos α ,0 ) и величина скорости равна v = ω R .- величина ω =Рассмотрим проекцию вектора ускорения на единичный векторτR =R= ( cos α ,sin α , 0 )RТак как ( a, τR ) = ( aτ + an , τR ) = ( an , τR ) , где( a , τ ) = ( −αɺɺ ⋅ R sin α − αɺ ⋅ R cos α ) cos α + ( αɺɺ ⋅ R cos α − αɺ ⋅ R sin α ) sin α( a , τ ) = −αɺ ⋅ R cos α cos α − αɺ ⋅ R sin α sin α = −ω ⋅ R , то2nRnR2222an = ω ⋅ R =2v2R.Так как вектор скорости поворачивается к центру окружности, то вектор нормального ускорения направлен перпендикулярно вектору скорости также к центру окружности (поэтому его часто называют центростремительным ускорением).Найдем величину касательного ускорения.

Так как τv =v ω= ( − sin α ,cos α ,0 ) иv ωaτ = ( a, τv ) = ( aτ + an , τv ) = ( aτ , τv ) , тоaτ =ωωsin α ( ε ⋅ R sin α + ω2 ⋅ R cos α ) + ( ε ⋅ R cos α − ω2 ⋅ R sin α ) cos α или aτ = ε ⋅ R , поэтомуωω()aτ = ε ⋅ R .RК любой гладкой кривой можно в каждой точке построитьне только единственную касательную прямую, но и единственнуюкасательную окружность. Поэтому при произвольном плоскомдвижении точки вектор нормального ускорения направлен к центру этой касательной окружности.

Для модуля вектора нормального ускорения можно написать формулу:v2an =.RЗдесь v2 – квадрат модуля вектора скорости, R – радиус кривизны траектории в данной точке (радиус окружности, которая касается траектории в данной точке).1й курс. 2й семестр. Лекция 110Замечание.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
453,26 Kb
Материал
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее