1 (805341), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Так как длина вектора не может быть отViрицательной, то производная от длины пути тоже не можетбыть отрицательной – это значит, что длина пути не убывает.Построим график величины мгновенной скоростиt точки от времени на интервале (t1, t2). Рассмотрим малыйинтервал времени ∆ti∈(t1, t2). Величину скорости на этомt1t2∆tiинтервале можно считать постоянной и равной Vi. ТогдаVi ⋅ ∆ti - это площадь малого прямоугольника, а суммаL ≈ ∑ Vi ⋅ ∆ti будет примерно равна площади фигуры под графиком скорости от вреiмени на интервале (t1, t2).

При уменьшении промежутков разбиения max ( ∆ti ) → 0 поiлучим величину, которая совпадает с определённым интегралом от величины скорости на интервале (t1, t2): L = ∑ Li ≈ ∑ VСР.ПЕРЕМ_i ⋅ ∆tiii→max( ∆ti )→ 0t2L = ∫ V dtt1it2Таким образом, длина пути определяется соотношением L = ∫ V dt .t1Таким же образом получаем, что перемещение точки заинтервал времени (t1, t2) (в декартовой системе координат)t2t2t2t2t1t1t1t1∆R = ∫ vdt ⇔ ∆x = ∫ v x dt, ∆y = ∫ v y dt , ∆z = ∫ v z dt .Замечание. В дальнейшем будут рассматриватьсятолько гладкие траектории, а именно – такие траектории, укоторых в каждой точке можно провести касательную. Вэтом случае движение точки описывается непрерывно дифференцируемыми функциями.Ускорение.В общем случае вектор скорости V тоже зависит от времени, т.е.

его координаты являются функциями времени V = ( VX (t); VY (t); VZ (t) ) , следовательно, по аналогиис вышеизложенным можно ввести вектор среднего и мгновенного ускорений.Вектор, равный мгновенному изменению вектора скорости называется вектором ускорения a =dV ɺ= V . Его компоненты определяются равенствами ax = vɺ x ,dta y = vɺ y , az = vɺ z .Единицы измерения величины ускорения м/с2.1й курс. 2й семестр. Лекция 16Частные случаи движения1) Если величина вектора скорости точки не меняется (но направление можетменяться!), то траекторией точки является некоторая кривая линия. В этом случае, сt2учётом V = const длина пути вычисляется как L = ∫ V dt = V ⋅ ( t2 - t1 ) .t12) Пусть теперь постоянно только направление вектора скорости.

В этом случае траектория точки лежит на прямой линии. Всегда можно таким образом ввести систему координат, чтобы этой прямой являлась, например, ось Х. Тогда вовсе моменты времени остальные координаты Y=0 и Z=0. Вектор скорости долженкасаться траектории, поэтому он также лежит на этой прямой и для него такжеVY=0, VZ=0. Таким образом, при прямолинейном движении радиус-вектор описывается одной координатой Х(t), R = ( X(t); 0;0 ) ; вектор скорости одной координатойVX(t), V = ( VX (t);0; 0 ) и ускорение тоже одной координатой aX(t), a = ( aX (t); 0; 0 ) . Поэтому в данном случае можно не использовать векторное представление, а толькочисловое – рассматривая только соответствующую координату. О направлении вектора можно судить по знаку координаты - если координата соответствующего вектора положительная, то вектор направлен в положительном направлении оси Х.

Тогдаt2t2t1t1∆x = x2 − x1 = ∫ v x dt , ∆v x = v 2 x − v1x = ∫ ax dt .В частном случае равноускоренного (равнопеременного движения) ax = consta ⋅ ( t − t0 )x = x0 + v 0 x ⋅ ( t − t0 ) + x, v x = v 0 x + a x ⋅ ( t − t0 ) ,22где x0, v0x – значения координаты и скорости в начальный момент времени t=t0.3) В общем случае движения с постоянным ускорением можно записать для трёхосей декартовой системы координат аналогичные соотношенияa ⋅ ( t - t0 )vX=v0X + aX⋅(t-t0), x = x0 + v0 X ⋅ ( t - t0 ) + X,22aY ⋅ ( t - t0 )vY=v0Y + aY⋅(t-t0), y = y0 + v0Y ⋅ ( t - t0 ) +,22aZ ⋅ ( t - t0 )vZ=v0Z + aZ⋅(t-t0), z = z0 + v0 Z ⋅ ( t - t0 ) +.22или, в векторной форме( t - t0 ) ,R = R0 + v0 ⋅ ( t - t0 ) + a ⋅22v = v0 + a ⋅ ( t - t 0 ) .траекторией тела может быть прямая или парабола, в зависимости от начальных условий.Математические сведенияСкалярное произведение двух векторов a = ( ax ,a y ,az ) иab = ( bx ,by ,bz ) в декартовой системе координат определяется равен-αствомb1й курс.

2й семестр. Лекция 1( a,b ) = a bx x7+ a y by + a z bz .С другой стороны, в любой системе координат ( a,b ) = a ⋅ b cos α .Следствия из этих формул.1) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу.22) Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины ( a,a ) = a , откуда для длины вектора a = ( a,a ) .3) Определим единичный вектор направления для любого вектора b как векторτb =bb. Он не зависит от длины вектора b , а зависит только от его направления.Причем длина этого вектора равна единице: τb =b b ,ττ=( b b )  ,  = 1 .b bЧтобы найти проекцию вектора a на вектор b , надо найти проекцию на его направление( a )b =a ⋅ cos α =( a,b ) =  a, b  =bb ( a, τ ) .b4) Если вектор непрерывно меняется в зависимости от какого-то параметра, то этотвектор можно дифференцировать по этому параметру.

Пусть, например, координатывектора зависят от времени a = ( ax ( t ) ,a y ( t ) ,az ( t ) ) , тогда вектор c , координаты которого определяются равенствами cx =от вектора a , т.е. c =dadadax, c y = y , cx = y называется производнымdtdtdtda.dt5) Производная от скалярного произведения двух векторовdadbdadbdddadb  da   db a,b = ( ax bx + a y by + az bz ) = x bx + y by + z bz + ax x + a y y + az z =  ,b  +  a, dtdtdtdtdtdtdtdt  dt   dt dd2 da В частности,a = ( a,a ) = 2  ,a  .dtdt dt 6) Если длина вектора a = const не меняется, но сам вектор не постоянен a ≠ const , то( )( )получаем, что из условия a = const вытекает2тогональны друг другу:( )d2 da a =  ,a  = 0 , т.е.

эти векторы орdt dt da⊥ a . В этом случае конец вектора a описывает окружdtdaнаправлен по касательной к этой окружности в сторону поворотаdtdaa и, очевидно,⊥a.dtность, а вектор1й курс. 2й семестр. Лекция 18Движение точки на плоскости.Если траектория точки лежит в плоскости, то такое движение называется«плоским». В этом случае векторы скорости и ускорения также лежат в этой плоскости для любого момента времени.Вектор ускорения можно представить в виде суммы двух векторов - вектораa t , параллельного вектору скорости и вектора an , перпендикулярного вектору скоростиa = at + an .Вектор ускорения at называется тангенциальным или касательным ускорением, авектор ускорения an называется нормальным (перпендикулярным) ускорением.Введем единичный вектор для направления скорости τv =v.

Этот вектор наvправлен по касательной к траектории в ту же сторону, что и вектор скорости. Тогдадля ускорения должно бытьd va = vɺ =τv + v τɺ v .dtВ этом выражении первое слагаемое определяет вектор, параллельный вектору скорости, а второе – перпендикулярный (так как τv ⊥ τɺ v ), поэтому at =Вектор at =d vτv и an = v τɺ v .dtd vτv (тангенциальное или касательное ускорение) отвечает за изdtменение модуля вектора скорости. Проекция на направление скорости( at )v = ( at , τv ) =d vdt( τv , τv ) =d vdt.Если модуль (длина) вектора скорости увеличивается, то величина проекцииускорения на направление вектора скорости положительная и at направлен в ту жесторону, что и вектор скорости v .

И наоборот - если модуль вектора скоростиуменьшается, то вектор касательного ускорения направлен против вектора скорости.Вектор нормального ускорения an = v τɺ v направлен в ту же сторону, что и вектор τɺ v , т.е. в сторону поворота вектора скорости, следовательно, он отвечает за изменение направления вектора скорости.an ⋅ dtτvvat ⋅ dtdv = ( at + an ) ⋅ dtv + dvatτɺ vanЗамечание. К любой гладкой кривой на плоскости в каждой её точке можно построить касательную прямую, которая определяется первой производной от радиусвектора по некоторому параметру. Подобным же образом можно построить каса-1й курс.

2й семестр. Лекция 19тельную окружность, которая определяется второй производной от радиус-вектора.Поэтому весьма полезным является рассмотрение движения точки по окружности.Для того чтобы получить явную формулу для величиныyнормального ускорения рассмотрим движение точки по окружvности радиуса R. Пусть окружность лежит в плоскости z=0. РаRдиус-вектор точки на окружности R = ( R cos α ,R sin α , 0 ) . Векторαскорости точки v = Rɺ = ( −αɺ ⋅ R sin α ,αɺ ⋅ R cos α ,0 ) , вектор ускоренияточки a = vɺ = ( −αɺɺ ⋅ R sin α − αɺ 2 ⋅ R cos α ,αɺɺ ⋅ R cos α − αɺ 2 ⋅ R sin α ,0 )xВведем обозначения: угол α называется угловой координатой,dαназывается угловой скоростью (единица измерения 1/с),dtd 2α- величина ε = 2 называется угловым ускорением (единица измерения 1/с2).dtТогда v = ( −ωR sin α ,ωR cos α ,0 ) и величина скорости равна v = ω R .- величина ω =Рассмотрим проекцию вектора ускорения на единичный векторτR =R= ( cos α ,sin α , 0 )RТак как ( a, τR ) = ( aτ + an , τR ) = ( an , τR ) , где( a , τ ) = ( −αɺɺ ⋅ R sin α − αɺ ⋅ R cos α ) cos α + ( αɺɺ ⋅ R cos α − αɺ ⋅ R sin α ) sin α( a , τ ) = −αɺ ⋅ R cos α cos α − αɺ ⋅ R sin α sin α = −ω ⋅ R , то2nRnR2222an = ω ⋅ R =2v2R.Так как вектор скорости поворачивается к центру окружности, то вектор нормального ускорения направлен перпендикулярно вектору скорости также к центру окружности (поэтому его часто называют центростремительным ускорением).Найдем величину касательного ускорения.

Так как τv =v ω= ( − sin α ,cos α ,0 ) иv ωaτ = ( a, τv ) = ( aτ + an , τv ) = ( aτ , τv ) , тоaτ =ωωsin α ( ε ⋅ R sin α + ω2 ⋅ R cos α ) + ( ε ⋅ R cos α − ω2 ⋅ R sin α ) cos α или aτ = ε ⋅ R , поэтомуωω()aτ = ε ⋅ R .RК любой гладкой кривой можно в каждой точке построитьне только единственную касательную прямую, но и единственнуюкасательную окружность. Поэтому при произвольном плоскомдвижении точки вектор нормального ускорения направлен к центру этой касательной окружности.

Для модуля вектора нормального ускорения можно написать формулу:v2an =.RЗдесь v2 – квадрат модуля вектора скорости, R – радиус кривизны траектории в данной точке (радиус окружности, которая касается траектории в данной точке).1й курс. 2й семестр. Лекция 110Замечание.

Характеристики

Список файлов лекций