Статистика (3сем. лекция №5) (805124)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Облакова Т.В. Лекция №5 (статистика) 2017 (Э2-31,2, Э4-32,3, Э10-31,2)

Лекция №5. Первоначальная обработка статистических данных.

Определение. Все значения, которые может принимать случайная величина , называют выборочным пространством, или генеральной совокупностью.

Выборкой объема называют возможных значений случайной величины: - реализации случайной величины.

Определение. Статистикой, называется любая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения.

Определение. Если выборку упорядочить по возрастанию, то получим вариационный ряд: ;

при этом - -ая порядковая статистика (функция от выборки)

Примеры статистик.

1) - выборочное среднее

2) – выборочная дисперсия

3) - размах выборки

Определение 4. Выборочной функцией распределения называется

, , ,

То есть , если ровно наблюденных значений меньше .

- статистика (при каждом ), то есть функция от выборки

Пример. Рассмотрим выборку: 1,3,4,6,3,1,7,2,3,7

Строим вариационный ряд: статистический ряд :

- неповторяющиеся значения;

- количество элементов выборки, равных ;

Находим эмпирическую функцию распределения:

Свойства эмпирической функции распределения.

1.

2. ,

3. не убывает

4. непрерывна слева

Теорема 1. Если взята независимая выборка объема из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения то дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

,

Доказательство. При каждом индикаторы – независимые случайные величины с законом распределения:

Следовательно, –распределена по закону Бернулли, то есть

.

Следствия.

1.

2.

Теорема 2 (Гливенко-Кантелли (б/д)) Если – независимая выборка неограниченного объема, то при с вероятностью 1.

Группировка выборки

Определение. Группированной выборкой называется выборка, разбитая на интервалы следующим образом:

Здесь , , , - количество элементов выборки, попадающих в интервал , при этом

Для группированной выборки также находят характеристики

- выборочное среднее,

где - середина -го интервала

- выборочная дисперсия

Для группированной выборки также можно ввести выборочную функцию распределения:

Определение. Гистограммой относительных частот называется совокупность прямоугольников со сторонами и .

При этом площадь каждого прямоугольника равна

- статистическая вероятность принять значение в интервале .

Суммарная площадь фигуры естественно равна 1

Таким образом, для абсолютно непрерывных случайных величин гистограмма служит приближением графика плотности вероятностей

Метод моментов.

Пусть –неизвестный параметр для известного закона распределения.

Вычисляются эмпирических и теоретических моментов и решается система из уравнений с неизвестными.

Примеры. 1. Пуассоновский закон с неизвестным параметром .

Тогда – математическое ожидание (первый теоретический момент)

- выборочное среднее (первый эмпирический момент)

Следовательно, – оценка параметра , построенная по выборке

2. Пусть –выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами и .

Теоретические моменты: ,

Приравниваем к эмпирическим моментам и находим оценки:

Задача 1. Первоначальная обработка статистических данных

По данной выборке

1. Найдите крайние члены вариационного ряда и размах выборки

2. Осуществите группировку данных (количество интервалов находим по правилу Стерджеса)

3. По сгруппированным данным постройте гистограмму относительных частот

4. Найдите эмпирическую функцию распределения и постройте ее график

5. Вычислите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Демонстрационный вариант:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций