Лекция №4-2018 (3сем) (805121)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Облакова Т.В. Лекции ТВиМС (3 семестр) 2018-19

Лекция №4

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Теорема 1 (неравенства Чебышева). Для любого имеют место неравенства:

Доказательство.

Второе неравенство получается из первого подстановкой вместо :

Следствие. .

Теорема 2 (закон больших чисел Чебышева). Пусть - независимые случайные величины и существует такая константа , что все ,

Тогда при любом

Доказательство. Если , то

. Следовательно,

Теорема 3. Если случайные величины - независимы, одинаково распределены и имеют конечные то

Следствие.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа для схемы Бернулли является частным случаем ЦПТ. В самом деле, число успехов в последовательности из испытанй можно рассматривать как сумму , где , если испытание закончилось успехом, и где , если в испытании произошла неудача.

При этом .

Иллюстрация.

Пусть случайные величины - независимы и равномерно распределены на . При этом

Рассмотрим последовательность случайных величин

Тогда их плотности имеют вид

,

поскольку

При

При

При

При

При

Рассмотрим также случайные величины

Пример 3. Складываются 300 независимых СВ , равномерно распределенных на отрезке . Найдите а) приближенное выражение плотности СВ ; б) вероятность события .

Решение.

По ЦПТ приближенный закон распределения СВ стандартный нормальный . Следовательно, то есть .

Далее, .

Основные распределения математической статистики

Отступление. Свойства гамма-функции ,

В частности,

1. Хи-квадрат распределение с степенями свободы

Пусть независимы и распределены по стандартному нормальному закону. Тогда случайная величина распределена по закону Хи-квадрат с степенями свободы, её плотность может быть найдена по индукции.

Замечание. В частности, – показательный закон с параметром

2. Распределение Стьюдента

Этот закон получится, если из независимых и распределенных по стандартному нормальному закону случайных величин , , составить случайную величину . Ее плотность также можно найти с помощью описанного выше алгоритма: .

3. Распределение Фишера-Снедекора получится, если из данных независимых и распределенных по стандартному нормальному закону случайных величин , , и , составить СВ . Приведем плотность распределения этой случайной величины

6

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций