1 (798211)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.⎧u t = a 2 u xx + bu x + cu + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0⎪⎨u ( x,0) = ϕ ( x)⎪< граничные условия >⎩<граничные условия> имеют вид:⎧u x (0, t ) = µ1 (t )⎧u (0, t ) = µ1 (t )⎧u (0, t ) = µ1 (t )(тип1) или ⎨(тип 2) или ⎨(тип 3) или⎨⎩u (l , t ) = µ 2 (t )⎩u x (l , t ) = µ 2 (t )⎩u x (l , t ) = µ 2 (t )⎧u x (0, t ) = µ1 (t )(тип 4)⎨⎩u (l , t ) = µ 2 (t )Решение:1. Замена – для типов 1,3,4 v = u + α (t ) x + β (t ) ; для типа 2 v = u + α (t ) x 2 + β (t ) x2. Если в правой части ещё осталась u x , делаем замену ω = ve αx⎧ω = a 2ω xx + cω + f ( x, t )⎪3. Имеем уравнение ⎨ω ( x,0) = 0⎪< граничные условия >⎩ω ( x, t ) = ∑ Tn (t ) X n ( x) , причём для типов 1-4 Xn(x) находится по формулам:n⎧ X n ( x) = sin λ n x⎪21.

⎨⎛π ⎞λ=n⎟ , n = 1,2,...⎪ n ⎜⎝l ⎠⎩⎧ X n ( x) = cos λ n x⎪22. ⎨⎛π ⎞λ=n⎟ , n = 0,1,...⎪ n ⎜⎝l ⎠⎩⎧ X n ( x) = sin λn x⎪23. ⎨⎛π ⎛1 ⎞⎞⎪λn = ⎜⎜ ⎜ n − ⎟ ⎟⎟ , n = 1,2,...2 ⎠⎠⎝l ⎝⎩⎧ X n ( x) = cos λn x⎪24. ⎨⎛π ⎛1 ⎞⎞⎪λn = ⎜⎜ ⎜ n − ⎟ ⎟⎟ , n = 1,2,...2 ⎠⎠⎝l ⎝⎩Tn(t) находится из системы⎧Tn′ + (λ n a 2 − c)Tn = f n (t ), где⎨=T(0)ϕn⎩ nlf n (t ) =2f ( x, t ) X n ( x)dxl ∫0l2ϕ n (t ) = ∫ ϕ ( x) X n ( x)dxl 012.

Уравнение теплопроводности на прямой⎧⎪u t = a 2 u xx + f ( x, t ), x ∈ (−∞;+∞)⎨⎪⎩u ( x,0) = ϕ ( x), u < cРешение:x k ( x) = e ikx , k ∈ R, λ = k 2+∞+∞ t−∞−∞ 0u ( x, t ) = ∫ G ( x, y, t )ϕ ( y )dy +G ( x, y , t ) =12a πte−∫ ∫ G( x, y, t − τ ) f ( y,τ )dτdy , где( x− y )24 a 2t- функция Грина, Φ ( z ) =2πz∫e−x2dx, Φ(+∞) = 102’. Задача на полупрямой⎧u t = a 2 u xx + f ( x, t ), x > 0, t > 0⎪⎨u (0, t ) = µ (t ) ( №1) или u x (0, t ) = µ (t ) ( № 2)⎪u ( x,0) = ϕ ( x)⎩⎧нечётное продолжение для 1 на (−∞,0)fˆ (ϕˆ ) = ⎨⎩чётное продолжение для 23.Уравнения Лапласа и Пуассона в круге/кольце∆0,,1),Ищем решение в виде,cossinСоответственно, если в граничном условии производная u, то эту формулу надо почленнопродифференцировать.Далее остаётся подставить в неё значение r=a и найти коэффициентыи .

Скорееимеет видsincos , поэтому эти коэффициенты находятсявсего,очевидным образом.∆0,,(граничные условия тоже могут быть в виде производных)2),Ищем решение в виде1,С lncossincossinПодставляем r=a, затем r=b и находим коэффициенты из полученной системы уравнений.4. Уравнения Лапласа и Пуассона1) Кольцевой сектор⎧∆u = 0, a < r < b, 0 < ϕ < α⎪u (r ,0) = µ (r )1⎪⎪⎨u (r , α ) = µ 2 (r )⎪u (a, ϕ ) = f (ϕ )1⎪⎩⎪u (b, ϕ ) = f 2 (ϕ )2Решение:α2πf in = ∫ f i (ϕ ) sin nϕdϕαα0ππn− n⎧αα+= f1nAaBa⎪ nn⎨ππ⎪ A b α n + B b −α n = fn2n⎩ nππ− n ⎞n⎛παα ⎟⎜u (r , ϕ ) = ∑ ⎜ An r + Bn rsin nϕ⎟n =1 ⎝⎠ α2) Круговой сектор⎧∆u = 0, 0 < r < a, 0 < ϕ < α⎪⎨u (r ,0) = u (r , α ) = 0⎪u (a, ϕ ) = f (ϕ )⎩∞Решение:πAn = a− n22απf (ϕ ) sin nϕdϕα∫α0∞πnu (r , ϕ ) = ∑ An r α sinn =1πnϕα3) Прямоугольник⎧∆u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b⎪u ( x,0) = ϕ ( x)1⎪⎪uxbϕ(,)=⎨2 ( x)⎪u (0, y ) = ψ ( y )1⎪⎪⎩u (a, y ) = ψ 2 ( y )Решение:Раскладываем u как u = u + uˆ , так что⎧∆uˆ = 0⎧∆u = 0⎪uˆ ( x,0) = ϕ ( x)⎪u ( x,0) = 01⎪⎪⎪⎪ˆuxbuxbϕ(,)=0=(,),⎨⎨2 ( x)⎪u (0, y ) = ψ ( y ) ⎪uˆ (0, y ) = 01⎪⎪⎪⎩u (a, y ) = ψ 2 ( y ) ⎪⎩uˆ (a, y ) = 0⎧ An + Bn = ψ 1n⎪ππ⎨− nana⎪⎩ An e b + Bn e b = ψ 2 nππ− nx ⎞nx⎛πb⎜u ( x, y ) = ∑ ⎜ An e + Bn e b ⎟⎟ sin nybn =1 ⎝⎠4) Полуполоса⎧∆u = 0, 0 < x < +∞, 0 < y < b⎪⎨u ( x,0) = u ( x, b) = 0⎪u (0, y ) = ψ ( y )1⎩∞Решение:32πψ 1 ( y ) sin nydy∫b0bbBn =∞u ( x, y ) = ∑ Bn en =1π− nxbsinπbnyNote: если граничные условия вида,0 ;, заданы в форме производных, то нужноопределить тип уравнения так же, как и в уравнении теплопроводности.

В результате всоответствующих интегралах и суммах sin может поменяться на cos , а – на.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы