saveliev2 (797914), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Так как по мере увеличения заряда на проводнике потенциал его растет, при перемещении каждой последующей порции заряда Ьд должна совершаться все большая по величине работа С (28. 1) где ф — потенциал проводника, обусловленный уже имеющимся на нем зарядом д, С вЂ” емкость проводника. Работа (28.!) идет на увеличение энергии проводника. Поэтому, переходя к дифференциалам, имеем С ч 1 откуда получается выражение для энергии: ч' В' = — + сопз(.
2С Естественно считать энергию незаряженного проводника равной нулю. Тогда сопз$ также обращается в нуль. Учтя соотношение (24.2) между емкостью, зарядом и потенциалом проводника, можно написать 5' ч чр С 2С 2 2 (28.2) Формулу (28.2) можно получить также на основании следующих соображений. Поверхность проводника является эквипотенциальной, поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды Лд, одина- ковы и равны потенциалу ~р проводника. Применяя к сй стеме зарядов Ьд формулу (27.4), получим ! %~ ! %» 1 2»!»' '» я!рз~4 '» 2 что совпадает с 128.2).
9 29. Энергия заряженного конденсатора Процесс возникновения иа обкладках конденсатора зарядов +д н †можно представить так, что от од-. ной обкладки последовательно отнимаются очень ма. лые порции заряда Ьд и перемешаются на другую об. кладку, Работа переноса очередной порции равна ЬА= Ьч(ч!! — ч>г) = Ьч»»» где У вЂ” напряжение на конденсаторе. Заменяя с! в соответствии с (25.!) и переходи к дифференциалам, получим ЛР = (А = У (д — с (9 Наконец, интегрируя последнее выражение, приходим к формуле для энергии заряженного конденсатора ч ч!! со' 2С 2 2 (29.1) Формулы (29.1) отличаются от формул (28.2) только заменой <р на (».
Тот же результат для энергии конденсатора можно получить с помощь!о формулы (27.4). Каждый из элементарных зарядов, на которые можно мысленно разделить заряд +д, находится в точке с потенциалом а каждый из заридов, на которые можно разделить — д, — в точках с потенциалом»гь Следовательно, энергия такой системы зарядов равна 1)г= » И+ ~1М+( г))г!э)= *» 9(!Р ч»Э= » г!(7 ! ! 1 что совпадает с (29.1). С помощью выражения для энергии можно .найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга.
Для этого предположим, что расстояние между пластинами может меняться. Подставим в формулу (29Л) выражение (25.2) для емкости плоского конденсатора, обозначив переменный зазор между обкладками через х (вместо д) да Еа (г' = — = х. 2С 2еаез Теперь воспользуемся соотношением, связывающим потенциальную энергию и силу, причем будем считать заряд на обкладках постоянным (конденсатор Ъ'. отключен от источника напряжений): дяде еа (29.2) дк 2еаеЗ (знак « — » указывает на,то, что сила стремится уменьшить х, т. е. является силой притяжения). Попытаемся вычислить силу притяжения между обкладками плоского конденсатора как произведение напряженности поля, создаваемого одной из обкладок. на заряд, сосредоточенный на другой.
По формуле (8.5) напряженность поля, создаваемого одной обкладкой, равна К 1 Е=2 2 з (29.3) Рес. 52. ( Š— создается зарядами обеих обкладок). о е, Диэлектрик ослабляет поле в зазоре в е раз, но это имеет место только внутри диэлектрика (см. формулу ((б:!7) и связанный с нею текст~. Заряды на обкладках располагаются вне »диэлектрика и поэтому находятся под действием поля напряженности (29.3). Умножив заряд обкладки д иа эту напряженность, получим е ~~ = — — и = —— г,л " 2«аЗ (29.4) 100 (знак « — » обусловлен тем, что заряд, создающий поле, и заряд, на который это поле действует, имеют разные знаки).
Формулы (29.2) и (29.4) не совпадают. Опыт согласуется со значением силы (29.2), получающимся из выражения для энергии. Это объясняется тем, что кроме «электрической» силы (29.4) на обкладки действуют со стороны диэлектрика механические силы, стремящиеся их раздвинуть (см.
$18). У края обкладок имеется рассеянное поле, убывающее по величине при удалении от краев. Молекулы диэлектрика, обладая дипольным моментом, испытывают действие силы (рис. 52) „ втягивающей нх в область более сильного поля (см. формулу (14.5)). В результате давление между обкладками повышается и появляется сила, ослабляющая действие силы (29.4) в е раз.
9 30. Энергия электрического поля (30.1) Формула (29.1) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (30.1) —, с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локалнзованв (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии — заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн.
Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию, В частности, энергия, за счет кото'- рой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными (световыми) волнами, энергия, 101 Энергию конденсатора (29.1) можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора, Подставим в (29.1) выражение (25,2) для емкости, тогда СЮ еаеИ/а еае l 0 ее Ф.' = — = э и =э1л) 0 Согласно (11.8) — = Е; произведение Яд представаг ляет собой объем У, занимаемый полем.
Таким обра зом, можно написать еаеЕа 2 заставляющая звучать радиоприемник, приносится от передающей станции электромагнитными волнами и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле. Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью га, равной энергии поля, деленной на заполняеммй полем объем. Следовательно, согласно (30.1) плотность энергии поля плоского конденсатора (30.2) Формула (30.2) справедлива и для нерднородного поля.
Учтя соотношение (16.9), ее можно записать в виде И=— ЕР (30.3) или И га =— 2еое ' В изотропном диэлектрике направления векторов Е н Р совпадают. Поэтому формуле (30.3) можно придать внд е)э 2 Заменив в втой формуле 0 его значением (16А), получим для га следующее выражение: Е (едЕ+ Р) еоЕ~ ЕР га = — +— 2 2 2 Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Второе слагаемое, как мы сейчас докажем, представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.
Поляризация диэлектрика состоит в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов д„ на величины дтпл равна дА= Х аэЕйг„=ЕЛ~ ~~."~ д„г„) г 1г ! (для простоты мы считаем, что поле Е однородно). Согласно формуле (13.3) Д Чаге равна дипольному моменту единицы объема, который по определению есть вектор поляризации диэлектрика Р. Следовательно, дЛ = Е дР. (30.6) В соответствии с формулой (15,2) Р = хеоЕ, откуда г(Р = кеог(Е.
Подставив это значение с(Р в (30.6), получим для с1А выражение ЛЛ =ив.Е~Е = 1(";~') = 1( — '2'). Наконец, произведя интегрирование, найдем для работы, затрачиваемой на поляризацию единицы объема диэлектрика, выражение Л= —, ИР 2 которое совпадает со вторым слагаемым в формуле (30.5). Таким образом, выражения (30.2), (30.3) и (30.4) для плотности энергии включают в себя, кроме веЕа ЕР собственно энергии поля †'„ , еше и энергию затрачиваемую при создании поля на поляризацию диэлектрика.
Н гауссовой системе выражения для плотности энергии элек триэеского поля имеют следующий вид: еЕэ Е0 !Ээ ТЮ (80.7) зя 8л 8лв ' Вычислим энергию поля заряженного шара радиуса К, полгешейного в однородный безграничный диэлектрик. Напряженность поля в этом случае является функцией только от г: Ч Е= — —. вгг ' Разобьем окружающее шар пространство на концентрические шаровые слои толщиной дг. Объем слоя равен д)г = 4нгэ дг.
В нем заключена энергия с(11г"= таг()7 = — '! — —,) 4нг юг=в вое г 1 д та я ! 4' ггг 2 т4пее ег') 2 4пеое га ' Энергия поля (р= ~ (иг= — — ~ — =— де Г «~г 1 О* Ч' 2 4««еее ) г' 2 4яеее««2С я [согласно (24.4) 4пеое)г равно емкости шара). Полученное нами выражение совпадает с найденным ранее выражением (28.2) для энергии заряженного проводника. Сообщим обкладкам плоского конденсатора с воздушным зазором заряды +(( и — д.
Относительная диэлектрическая проницаемость воздуха практически равна единице. Поэтому емкость конденсатора можно считать равной Се = †„ , а энергию е,Ф ч« В'о †. Теперь погрузим обкладки частично в жидкий диэлектрик (рис. Ф'( 53). В этом случае конденсатор можно рассматривать как два параллельно включенных конденсатора, один из Рес.
5З. которых имеет площадь обкладки, равную х5 (х — относительная часть зазора, заполненная жидкостью), и заполнен диэлектриком с е > 1, второй с воздушным зазором имеет площадь обкладки, равную (1 — х)3. Вычисляя емкость по формуле (26.1), получаем С =С +С,= "3(1-'1+ "еЗ" =Со+ щ('-!13 х>с,. о д« Энергия же (г" = — будет меньше, чем (У'о. Следо- 2С вательно, заполнение зазора диэлектриком оказывается энергетически выгодным, Поэтому диэлектрик втягивается в конденсатор и уровень его в зазоре поднимается.
Это в свою очеред«« приводрт к возрастанию потенциальной энергии диэлектрика в.пбле сил тяжести. В конечном итоге уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимуму суммарной энергии (электрического поля и обусловленной силами тяжести). Это явление сходно с капиллярным поднятием жидкости в узком зазоре между пластинками (см. т. 1, $146).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
