Диссертация (786079), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В отличие от теории сред Коссера в ней за дополнительныепараметры состояния выбраны не свободные повороты ωi2 , а вихриперемещенийωi1 = − Rm, n Эmni / 2 .Доказано[4],чтоеслипостулироватьпропорциональность свободных поворотов вихрям перемещений (гипотезуАэро-Кувшинского), теория сред Аэро-Кувшинского является строгимследствием теории Коссера. С другой стороны, теория сред АэроКувшинского может рассматриваться как некая альтернатива теорииДжеремилло. Действительно, если градиентная часть потенциальной энергиив теории Джеремилло содержит только градиенты симметричной частиградиента перемещений (тензор стесненных деформаций), то градиентнаячастьвтеорииАэро-Кувшинскогосодержиттолькоградиентыантисимметричной части градиента перемещений (тензор стесненныхповоротов или псевдовектор стесненных поворотов). Лагранжиан L теориисред Аэро-Кувшинского может быть представлен в следующем виде:L = A − ∫∫∫ U V dVAK111+ 4C pkqlε ij1 ε mnω 1p , k ω q1, l ] / 2U V = [CijmnИз факта существования плотности потенциальной энергии следует, чтотензоры модулей обладают следующим свойством симметрии:1111Cijmn= CmnijAKAKCijmn= CmnijПричем при формулировке теории заранее требовалась такая симметриятензора «моментных» модулей, чтобы выражение объёмной плотностипотенциальной энергии содержало только градиенты вихрей перемещений.AK, выражение объёмнойДействительно, при выбранной структуре тензора Cijmnплотности потенциальной энергии приводится к виду:18AK4C pkqlω1p , kωq1,l / 2 =AKAK= 4C pkql(− Ri , jk Эijp / 2)(− Rm , nl Эmnq / 2) / 2 = (C pkqlЭijp Эmnq ) Ri , jk Rm , nl / 2 =AK= CijkmnlRi , jk Rm , nl / 2Кроме того, так как псевдотензор второго ранга ω1p ,k имеет нулевой след,AKAKδ pk и C pkqlδ ql , содержащие один и тот же «моментный» модуль, несвертки C pkqlAKвойдут в выражение потенциальной энергии CijkmnlRi , jk Rm , nl / 2 , и его можно безущерба для общности положить равными нулю.

Отсюда:11= λ11δ ij δ mn + µ 11 (δ imδ jn + δ inδ jm )CijmnAKAK= C pkqlCijkmnlЭijp ЭmnqAK= (C1AK + C 2AK )δ pqδ kl + (C1AK − C 2AK )δ pl δ kqC pkqlОтметим, что кинематическая модель теории сред Аэро-Кувшинскогоявляется классической и определяется независимыми кинематическимипеременными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и даютуравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij =∂U V11Rm, n= Cijmn∂Ri , jmij =∂U VAK= 4Cijmnω m1 , n1∂ωi , jТакимобразом,существованиевсредетеориясредследующихАэро-Кувшинскоговнутреннихсимметричного тензора напряжений σ ijсиловыхдопускаетфакторов:и псевдотензора моментныхнапряжений mij .Вариационное уравнение теории сред Аэро-Кувшинского получено изусловия стационарности лагранжиана:19δL = δA − ∫∫∫ [σ ijδRi , j + mijδωi1, j ]dV =∫∫∫ (σ + m+ ∫∫ {[ P − (σ− ∑ ∫ (m n Э=ij , jpq , qjFiji+ m pq , q Эijp / 2)n j − (m pq nqδ *jk Эijp / 2), k ]δRi + (m pq nq Эijp / 2)n jδRi }dF −ijppq qЭijp / 2 + PiV )δRi dV +/ 2)v jδRi ds = 0Здесь точкой над переменной обозначена нормальная к поверхностипроизводная Ri = Ri , j n j .

δ *jk = δ jk − n j nk - «плоский» тензор Кронекера, v j - орткриволинейной ортогональной системы координат, связанной с ребромкусочно-гладкой поверхности, ограничивающей тело si v j nk Эijk = 1 , si - орткасательной к ребру, fi = (m pq nq Эijp / 2)v j - «реберные» силы.В кинематических переменных (перемещениях) вариационное уравнениеимеет вид:δL = ∫∫∫ [(2 µ 11 + λ11 ) Rk , ki + µ 11 ( Ri , jj − R j ,ij ) − (C1AK + C2AK )( Ri , jj − R j ,ij ), qq + PiV ]δRi dV ++ ∫∫ {Pi F − λ11Rk , k ni − µ 11 ( Ri , j + R j ,i )n j + (C1AK + C2AK )( Ri , j − R j ,i ), qq n j ++ [(C1AK + C2AK ) Rm , nq nqδ *jk Эmnp Эijp + (C1AK − C2AK ) Rm , np nqδ *jk Эmnq Эijp ], k }δRi dF −− [(C1AK + C2AK ) Rm , nq Эmnp + (C1AK − C2AK ) Rm , np Эmnq ]nq n j ЭijpδRi }dF −− ∑ ∫ [(C1AK + C2AK )nk v j Эmnp Эijp + (C1AK − C2AK )nq v j Эmnq Эijk ]Rm , nkδRi ds = 0Таким образом, формулировка теории сред Аэро-Кувшинского определяетсятремя дифференциальными уравнениями повышенного (четвертого) порядкаспециального вида.

Специальный вид определен тем, что из двух векторов,которыевозможнопостроитьизвектораперемещенийпутемчетырехкратного дифференцирования, в уравнениях фигурирует только однаихлинейнаяграничнымикомбинация. Спектр краевыхусловиямивкаждойзадач определеннеособеннойточкепятьюповерхности.Действительно, при выделении из δRi её проекции по нормали к поверхности,можноубедиться,тождественноравенчтосоответствующийнулюзасчет«статический»сверткиантисимметричного Эijp тензоров по индексам i, j :20множительсимметричногоni n jи(m pq nq Эijp / 2)n jδRi = (m pq nq Эijp / 2)n jδR k (δ ik* + ni nk ) == (m pq nq Эijp / 2)n jδ ( R kδ ik* ) + (m pq nq / 2)(ni n j Эijp )δ ( R k nk ) = (m pq nq Эijp / 2)n jδ ( R kδ ik* )Характерной особенностью теории является наличие условий на ребрах:∑∫f iδRi ds = 0Условия на ребрах можно трактовать как условия непрерывности (припереходе по поверхности через ребро) вектора перемещений Ri и вектора«реберных» сил f i .1.4.Теория сред Миндлина (1964год).Теория сред Миндлина [5] является наиболее общей неклассическоймоделью сплошной среды.

В отличие от теории Коссера в ней учитываютсяне только антисимметичная часть тензора свободной дисторсии (свободныеповороты), а все компоненты тензора свободной дисторсии Dij2 . Так же неделается никаких предположений о структуре тензора моментных модулей.Лагранжиан L теории Миндлина может быть представлен в следующемвиде:L = A − ∫∫∫ U V dVA = ∫∫∫ PiV Ri dV + ∫∫ Pi F Ri dF11122222M2U V = [CijmnRi , j Rm, n + 2CijmnRi , j Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ CijkmnlDij2, k Dmn,l ] / 2Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, чтотензоры модулей обладают следующим свойством симметрии:pqqpCijmn= Cmnijp, q = 1,2MM= CmnlijkCijkmnlОтсюда:pq= λ pqδ ij δ mn + ( µ pq + χ pq )δ imδ jn + ( µ pq − χ pq )δ inδ jmCijmn21MСijkmnl== С1M (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + С2M (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) ++ С3M (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + С4M (δ inδ jlδ km + δ mjδ nkδ li ) ++ С5M δ ijδ klδ mn + С6M δ ikδ jnδ ml + С7M δ imδ jkδ nl + С8M δ imδ jnδ kl ++ С9M δ imδ jlδ nk + С10M δ inδ mjδ kl + С11M δ ilδ jnδ mkОтметим, что кинематическая модель теории сред Миндлина являетсянаиболее сложной из всех общепризнанных теорий и определяетсянезависимыми кинематическими переменными Ri и Dij2 .

В отличие от теорииКоссера, каждая точка среды Миндлина ведет себя не как абсолютно твердоетело, а как упругое тело. Соответственно, независимыми степенями свободыявляются не только вектор перемещений Ri и псевдовектор свободных2поворотов ωi2 = − DmnЭmni / 2 (что свойственно средам Коссера), но и тензорсвободных (несовместных) деформаций ε ij2 = ( Dij2 + D 2ji ) / 2 .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии U Vследуют формулы Грина, которые определяют силовую модель теории, идают уравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij1 =∂U V11122= CijmnRm, n + CijmnDmn∂Ri , jσ ij2 =∂U V21222= CijmnRm, n + CijmnDmn2∂Dijmijk =∂U VM2= CijkmnlDmn,l2∂Dij , kТаким образом, теория сред Миндлина допускает существование всредеследующихвнутреннихсиловыхфакторов:вобщемслучаенесимметричных тензоров напряжений σ ij1 и σ ij2 второго ранга и тензорамоментных напряжений mijk третьего ранга.Вариационное уравнение теории сред Миндлина получено из условиястационарности лагранжиана:δL = δA − ∫∫∫ [σ ij1δRi , j + σ ij2δDij2 + mijk δDij2,k ]dV == ∫∫∫ [(σ ij1 , j + PiV )δRi + (mijk ,k − σ ij2 )δDij2 ]dV + ∫∫ {( Pi F − σ ij1 n j )δRi + (−mijk nk )δDij2 }dF = 022В кинематических переменных (перемещениях и свободных дисторсиях)вариационное уравнение имеет вид:222221221211MVDmnRm ,nj + CijmnδL = ∫∫∫ [(Cijmn, j + Pi )δRi + (Cijkmnl Dmn ,lk − Cijmn Rm , n − Cijmn Dmn )δDij ]dV +122211M)δDij2 }dF = 0)n j ]δRi + (−Cijkmnl+ ∫∫ {[ Pi F − (Cijmnnk DmnDmnRm ,n + CijmnТаким образом, формулировка теории сред Миндлина определяетсядвенадцатью дифференциальными уравнениями второго порядка.

Спектркраевых задач определен двенадцатью граничными условиями в каждойнеособенной точке поверхности.1.5.Теория сред Тупина (1964год).Теория сред Тупина [6] является одной из наиболее популярныхнеклассических моделей сплошной среды. В отличие от теории АэроКувшинскогоитеорииДжеремилловнейнеделаетсяникакихпредположений о структуре тензора моментных модулей. Лагранжиан Lтеории Тупина может быть представлен в следующем виде:L = A − ∫∫∫ U V dV11TU V = [CijmnRi , j Rm , n + CijkmnlRi , jk Rm , nl ] / 2Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, чтотензоры модулей обладают следующим свойством симметрии:1111= CmnijCijmnTT= CmnlijkCijkmnlКроме того, в силу симметрии тензоров стесненных кривизн Ri , jk и Rm, nlTтак жеотносительно перестановок индексов j, k и n, l , тензор Тупина Cijkmnlдолжен быть симметричным при перестановках в этих парах индексов.Отсюда следует:23TCijkmnl== C1T (δ ij δ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ ml δ niδ jk ) ++ C 2T (δ ij δ knδ ml + δ mnδ lj δ ik + δ ij δ kl δ mn + δ ik δ jnδ ml ) ++ C3T (δ inδ jl δ km + δ mj δ nk δ li + δ inδ mj δ kl + δ il δ jnδ mk ) ++ C 4T (δ imδ jnδ kl + δ imδ jl δ nk ) ++ C5T δ imδ jk δ nlОтметим, что кинематическая модель теории сред Тупина, так же, как ив теориях Аэро-Кувшинского и Джеремилло, является классической иопределяется независимыми кинематическими переменными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии U Vследуют формулы Грина, которые определяют силовую модель теории, идают уравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij =mijk =∂U V11Rm, n= Cijmn∂Ri , j∂U VTRm, nl= Cijkmnl∂Ri , jkТаким образом, теория сред Тупина допускает существование в средеследующихвнутреннихсиловыхфакторов:симметричноготензоранапряжений σ ij второго ранга и тензора моментных напряжений mijk третьегоранга.Вариационное уравнение теории сред Тупина получено из условиястационарности лагранжиана:δL = δA − ∫∫∫ [σ ijδRi , j + mijkδRi , jk ]dV == δA − ∫∫∫ (σ ij − mijk , k )δRi , j dV − ∫∫ mijk nkδRi , j dF == ∫∫∫ (σ ij , j − mijk , jk + PiV )δRi dV + ∫∫ {[ Pi F − (σ ij − mijk , k )n j ]δRi − mijk nkδRi , p (δ pj* + n p n j )}dF == ∫∫∫ (σ ij , j − mijk , jk + PiV )δRi dV ++ ∫∫ {[ Pi F − (σ ij − mijk , k )n j + (mijk δ pj* nk ), p ]δRi − mijk n j nkδRi }dF − ∑ ∫ mijk v j nkδRi ds = 0Отметим,чтоформулировкитеорийТупина,Аэро-КувшинскогоиДжеремилло в «напряжениях» совпадают, а в перемещениях отличаются в24TAKсилу различной структуры тензоров моментных модулей Cmnlijk, Cmnlijkи,J.соответственно, CmnlijkВ кинематических переменных (перемещениях) вариационное уравнениеимеет вид:11TδL = ∫∫∫ (CijmnRm , nj − CijkmnlRm , nlkj + PiV )δRi dV +11TTT+ ∫∫ {[ Pi F − (CijmnRm , n − CijkmnlRm , nlk )n j + (Cijkmnlδ pj* nk Rm , nl ), p ]δRi − Cijkmnln j nk Rm , nlδRi }dF −T− ∑ ∫ Cijkmnlv j nk Rm , nlδRi ds = 0Таким образом, формулировка теории сред Тупина определяется тремядифференциальными уравнениями четвертого порядка.

Характеристики

Список файлов диссертации