Диссертация (785882), страница 42
Текст из файла (страница 42)
раздел 4.2.2):⎧⎨ M¨ + (G + C) ˙ + K = ,(5.1)⎩ НУ: ( ) = , ˙ ( ) = .0000Для решения такой системы уравнений существует целый ряд численных методов, каждый из которых обладает определёнными достоинствами и недостатками. В зависимости от выбранного метода исходнаясистема обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядказаменяется на эквивалентную задачу Коши для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка.Методы решения могут быть разделены на класс явных и класснеявных методов. Привлекательными являются безусловно устойчивыесхемы интегрирования.Явные методы не приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений на каждом временном шаге. Такие методы используют дифференциальное уравнение в момент времени для предсказаниярешения в момент ( + Δ).
Для большинства реальных систем требуется очень малый шаг по времени для получения устойчивого решенияс удовлетворительной точностью. Поэтому все явные методы являютсяусловно устойчивыми по отношению к размеру временного шага.2505.4. Моделирование роторной системыНеявные методы пытаются удовлетворять исходному дифференциальному уравнению в момент времени после получения решения длямомента ( − Δ). В этих методах необходимо решать систему линейныхалгебраических уравнений на каждом временном шаге. Однако неявные методы позволяют использовать более высокие шаги во времени посравнению с явными методами.
Неявные методы могут быть условно ибезусловно устойчивыми. В [271] приведены некоторые результаты поанализу явных и неявных схем интегрирования применительно к нелинейному анализу динамической системы «ротор–опоры–статор».Среди методов для прямого численного интегрирования уравненийдвижения вала может отметить численные методы из семейства методов Рунге-Кутта, методы Адамса, Ньюмарка, Хуболта и др.Широко распространенным классом методов для решения задачиКоши являются методы Рунге-Кутта.
Одним из недостатков данногокласса методов является необходимость вычисления правой части уравнения (т. е. силовых факторов, действующих на вал) в неузловых точках . Это приводит к значительному увеличению вычислительных затрат,если силовые факторы (например, реакции в подшипниках и уплотнениях) определяются с помощью других численных методов (случай связанной задачи). Проблемы с использованием методов Рунге-Кутта также могут возникать при решении жёстких систем уравнений.Методы Адамса-Башфорта относятся к подклассу явных методовсемейства многошаговых конечно-разностных методов Адамса. Однимиз преимуществ многошаговых методов является меньшее количествовычислений правых частей уравнений за один шаг интегрирования приодном и том же порядке метода. Основными недостатками данных методов являются невозможность самостартования (для первых несколькихточек решение задачи на начальные значения необходимо находитькаким-либо другим методом), а также трудности при реализации алгоритма для случая автоматического изменения шага интегрирования.Метод Хуболта является аналогом метода центральных разностей,в котором для аппроксимации скоростей и ускорений применяются конечно-разностные выражения в перемещениях [4].
В зависимости от номера итерации используются различные разностные формулы экстра2515.4. Моделирование роторной системыполяции, т. е. метод обладает возможностью самостартования.Метод НьюмаркаК настоящему времени семейство одношаговых методов, предложенное Ньюмарком, нашло широкое применение в динамическом анализе различных инженерных объектов. Многие работы посвящены модификациям и улучшению методов Ньюмарка [135; 354].В приложении метода Ньюмарка к ур. (5.1) выражения для определения перемещений, скоростей и ускорений узлов вала на новой итерации по времени имеют вид [379]:⎧⎪K +1 = ,⎪⎪⎨(5.2)˙ +1 = ˙ + 6 ¨ + 7 ¨+1 ,⎪⎪⎪⎩¨+1 = 0 (+1 − ) − 2 ˙ − 3 ¨ .Матрица K и вектор правой части в ур.
(5.2) вычисляютсяследующим образом:K = K + 0 M + 1 (G + C) ,(5.3) = + M (0 + 2 ˙ + 3 ¨ ) + (G + C) (1 + 4 ˙ + 5 ¨ ) ,где элементы в M, G, C, K, определяются при необходимости на каждой временной итерации.Значения коэффициентов рассчитываются как:111,=,=,=− 1,123Δ2ΔΔ2)︂(︂Δ 4 = − 1, 5 =− 1 , 6 = Δ(1 − ), 7 = Δ.2 0 =(5.4)Параметры и определяют устойчивость и точность алгоритма.
Использование значений = 1/4, = 1/2 делает метод безусловно устойчивым (для линейных систем) и не вносит в решение ошибок«численного демпфирования». При таких параметрах метод Ньюмаркатакже называют методом усреднения по ускорению [59].2525.4. Моделирование роторной системыВектор ускорения для начальной итерации определяется из следующей системы уравнений:M ¨0 = − (G + C) ˙ 0 − K 0 .(5.5)5.4.2. Пакеты MRACE, RACE и RACE3DПакет MRACEНабор программ MRACE реализован в системе научных и инженерных расчётов MATLAB.
В основе пакета MRACE лежит балочная модельроторной системы, описанная в разделе 4.2.2.Конфигурация и параметры роторной системы задаются в текстовом файле, который передаётся в программу MRACE. Файл содержит нижеследующие основные разделы.∙ Геометрия вала: число секций, осевые размеры секций, внутренниеи внешние радиусы сечений.∙ Свойства материала вала: плотность, модуль Юнга, коэффициентПуассона.∙ Информация о рабочих колёсах: число колёс, положение по оси вала, массово-инерционные характеристики (масса, моменты инерции), действующие силы (крутящий момент, гироскопический момент, сила дисбаланса), тип конечного элемента (точечный илижёсткий одномерный).∙ Информация об опорах: число опор, положение по оси вала, коэффициенты жёсткости и демпфирования.∙ Скорость вращения вала.В приложении Б приведены в качестве примеров, а также для иллюстрации используемой структуры и формата ввода данных, файлыдля роторной системы турбовинтового двигателя, рассмотренного в главе 4.2535.4.
Моделирование роторной системыПрограмма также поддерживает работу с многовальными системами (как отдельные роторные системы без связей, так и со связями, которые описываются дополнительными коэффициентами жёсткости). Параметры для конечно-элементного анализа (виды расчётов, тип балочного элемента, максимальная длина балочного элемента, длина векторачастот для построения диаграммы Кэмпбелла и проведения гармонического анализа, шаг по времени для прямого численного интегрированияуравнений движения и др.) задаются напрямую в отдельном блоке программы MRACE.Решение систем уравнений при проведении статического, модального и гармонического анализов выполняется с помощью встроенныхфункций MATLAB. Для решения задачи на собственные значения используются функции eig (обобщённая задача первого порядка) и polyeig(задача второго порядка). Конкретный алгоритм решения уравненийзависит от структуры конечно-элементных матриц.В качестве основного метода для выполнения моделирования переходного процесса в пакете MRACE используется собственная реализацияметода Ньюмарка.
Также имеется возможность использовать встроенные функции MATLAB (ode45, ode15s и др.).Все получаемые результаты сохраняются в отдельный файл. Пакет MRACE также содержит функции для анализа результатов: графическое представление балочной модели и форм колебаний, автоматическое определение критических частот из диаграммы Кэмпбелла, функции для анализа результатов прямого численного интегрирования, построение каскадных диаграмм, экспорт результатов для последующегоанализа и графического представления.Пакет RACEПрограмма RACE представляет собой набор скриптов для пакетаANSYS Mechanical, написанных на внутреннем языке APDL. Для вводаисходных данных роторной системы используется единый текстовыйфайл, формат которого описан выше. Прочие параметры, необходимыедля проведения расчётов, задаются в отдельном блоке пакета RACE.
Па-2545.4. Моделирование роторной системыкет RACE является альтернативой пакету MRACE и представляет базис длясравнения результатов динамического анализа роторных систем.Построение конечно-элементной модели роторной системы, выполнение различных расчётов и вывод результатов проводится в RACE в полностью автоматическом режиме. Все необходимые результаты сохраняются в текстовых файлах для последующего анализа.
Также есть возможность сохранять графические файлы с результатами (формы колебаний, диаграммы Кэмпбелла и т. д.).В пакете RACE реализована балочная модель роторной системы. Вкачестве балки используется конечный элемент BEAM189. Имеется возможность моделировать конические секции валов. Для описания опориспользуется элемент COMBI214. Диски описываются как точечные массы с помощью элемента MASS21. Жёсткие дисковые элементы создаютсяс помощью команды CERIG. Все типы расчётов выполняются в стационарной системе отсчёта с учётом эффекта Кориолиса.Для прямого численного интегрирования уравнений движения пакет ANSYS также использует метод Ньюмарка.Пакет RACE3DПрограмма RACE3D является расширением набора скриптов RACEдля пакета ANSYS Mechanical.В RACE3D вместо балочной модели строится трёхмерная симметричная модель роторной системы с эквивалентными дисковыми элементами (см.
раздел 4.2.3). Вал и диски моделируются с помощью трёхмерного конечного элемента SOLID272. Вначале скрипт создаёт сечение ротора, для которой генерируется двумерная сетка. Затем с использованием двумерной сетки определяются узлы для симметричных трёхмерныхэлементов с помощью команды NAXIS.Программа RACE3D позволяет проводить модальный анализ трёхмерной роторной системы и построить диаграмму Кэмпбелла.2555.4.
Моделирование роторной системы5.4.3. Анализ конечно-элементных моделейАдекватность описанных в главе 4 конечно-элементных моделей роторной системы была подтверждена сравнением с различными теоретическими и экспериментальными результатами, взятыми из [268; 362;363]. В разделе 4.3 приведён сравнительный анализ результатов, полученных с помощью пакетов MRACE, RACE и RACE3D для роторной системымалоразмерного турбовинтового двигателя.
В данном разделе приведены результаты дополнительного анализа конечно-элементных моделей.В табл. 5.10 показаны результаты по расчёту критических частотпростой роторной системы с тремя дисками, взятой из [362; 363]. Результаты, полученные с помощью пакета MRACE, демонстрируют удовлетворительное согласование с экспериментальными и расчётными данными,приведёнными в [362; 363].Также было проведено сравнение различных формулировок балочной модели роторной системы турбовинтового двигателя. Полученныерезультаты сведены в табл. 5.11 и табл. 5.12.Результаты, полученные для роторной системы свободной турбины,приведены в табл.
5.11. Все протестированные формулировки (диск какточечная масса 0D и диск как одномерный жёсткий элемент 1D, теория Тимошенко и теория Бернулли-Эйлер, программы MRACE и RACE)демонстрируют согласованные результаты для статического, модального и гармонического анализов. Отличия между результатами являютсянебольшими. Хорошее согласование между отдельными формулировками связано в первую очередь с тем, что диск свободной турбины имеетТаблица 5.10.
Критические скорости трёхдискового ротораКритическая скорость [об/мин]Измеренная [362; 363]Расчётная [362; 363]Расчётная MRACE1183019501819265166192636437542768678774нет данных84008940593001019498492565.4. Моделирование роторной системыТаблица 5.11. Влияние балочной модели на результаты анализа роторной системы свободной турбины [кг][мм]Диск 0DДиск 1DДиск 1D2.32489.7587.0140.27[МПа] [об/мин]Диск 0D90.33[МПа] [об/мин]MRACE Бернулли-Эйлер2.324 [МПа]MRACE ТимошенкоRACEДиск 0DДиск 1D2.32487.5640.2788.8840.36106.55106.06103.75104.25105.3914093343141453873399341482889993038915962987058996312230116681240711313125731208944853852017499145466847801489585599735983362346618576005160228685566962958659098598853268553471116001117601144401143801115181118311696070036968775366987094278998287790189327605804631592914924161571438916370157280.0090.0080.0090.0080.0100.009относительно малую длину в осевом направлении.Результаты сравнительного анализа различных формулировок балочной модели роторной системы газогенератора сведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
