Диссертация (785882), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Конечно-элементные модели роторной системыконечных элементов (МКЭ). В рамках данного метода исходные дифференциальные уравнения в частных производных аппроксимируются наконечном элементе с использованием различных формулировок (например, с использованием вариационных методов или метода взвешенныхневязок в комбинации с методом Галёркина).Результатом пространственной дискретизации исходных уравненийдвижения ротора является система обыкновенных дифференциальныхуравнений (ОДУ) второго порядка, которая в матричной форме можетбыть записана в виде (см., например, [230; 268; 371]):M¨ + (G + C) ˙ + K = ,(4.7)где – степени свободы системы, M – матрица массы, G – гироскопическая матрица, C – матрица демпфирования, K – матрица жёсткости, – вектор силовых факторов.В зависимости от решаемых задач общее уравнение движения (4.7)преобразуется на основе ряда допущений к специальному виду для проведения статического, модального или гармонического анализа.
Модифицированные уравнения приведены в соответствующих разделах данной главы. Анализ переходных процессов осуществляется путём прямого численного интегрирования уравнений движения в общем виде.Структура элементарных матриц, входящих в уравнение движения, зависит от используемой конечно-элементной формулировки.
Выбрав тип конечного элемента и базовые функции, описывающие его поведение, можно получить выражения для элементарных матриц жёсткости, демпфирования, гироскопических эффектов и массы.В качестве основной конечно-элементной формулировки в работеиспользуется балочная модель вала.Балочный элементЭлементарный сегмент вала в базовой модели описывается двухузловым одномерным балочным элементом с десятью степенями свободы.Схема балочного элемента показана на рис. 4.4. Осевые перемещенияузлов балки не рассматриваются.1634.2.
Конечно-элементные модели роторной системыРис. 4.4. Балочный элемент с десятью степенями свободыИспользуемый балочный элемент постоянного цилиндрического сечения характеризуется длиной, внутренним и внешним диаметрами сечения, свойствами материала (плотность, модуль Юнга, коэффициентПуассона), а также скоростью вращения.Параметры поперечного сечения балки рассчитываются как:(︀)︀ = 2 − 2 , = ,(4.8))︀)︀ (︀ 4 (︀ 242 = − , = + , = ,422где – площадь поперечного сечения, – удельная масса, – геометрический момент инерции сечения, – момент инерции относительнооси вращения (полярный момент инерции), – диаметральный (экваториальный) момент инерции.Выражения для конечно-элементных матриц выводятся для выбранного конечного элемента с помощью балочной теории БернуллиЭйлера или балочной теории Тимошенко [59].Теория Тимошенко уточняет формулировку балки Бернулли-Эйлера, включая инерцию поворота сечения и поперечный сдвиг.
Данныеэффекты могут оказывать значительное влияние на результаты расчётабалок с большим отношением диаметра сечения к длине балки. В теории Тимошенко вводится коэффициент поперечного сдвига , который1644.2. Конечно-элементные модели роторной системывходит в матрицы жёсткости и массы (см., также, ур. (4.5)):12 = 2, (4.9)где является коэффициентом, учитывающим форму поперечного сечения, который равен 0.89 и 0.53 для круглого и кольцевого поперечногосечения соответственно [230].Крутильные эффекты для цилиндрической полой балки учитываются с помощью крутильной жёсткости и крутильной массы :2 =,2 =.3(4.10)Локальные конечно-элементные матрицы, выведенные для двухузлового балочного элемента с десятью степенями свободы на основе балочных теорий Бернулли-Эйлера и Тимошенко, приведены в приложении А (см.
[230; 371]). Порядок компонент в векторе степеней свободыбалочного элемента показан на рис. 4.4.Массовый элементРабочие колёса в балочной модели роторной системы полагаются,как правило, абсолютно жёсткими и описываются с помощью одноузлового массового элемента 0D (точечная масса). Центр масс колеса расположен на упругой линии вала. Данный элемент характеризуется массойи моментами инерции. Локальные массовая и гироскопическая матрицымассового элемента имеют следующий вид:⎡⎤⎡⎤ 0 0 0 00 0 0 0 0⎢⎥⎢⎥⎢ 0 0 0 0⎥⎢0 0 0 0 0⎥⎢⎥⎢⎥⎥,⎢⎥.m = ⎢g=(4.11)00000000⎢⎥⎢⎥⎢ 0 0 0 0⎥⎢0 0 − ⎥⎣⎦⎣ 0 0⎦0 0 0 0 00 0 0 0 0В ряде случаев, например, при значительных осевых размерах колеса, необходимо использовать двухузловой массовый элемент 1D.
Данный элемент также полагается абсолютно жёстким, но имеющим длинупо оси вала. Для двух узлов элемента вводятся кинематические связи,1654.2. Конечно-элементные модели роторной системыт. е. проводится дополнительное преобразование соответствующих конечно-элементных матриц системы [230].Упруго-демпферный элементРадиальные подшипники, уплотнения, демпферы, жёсткие основания описываются с помощью упруго-демпферного элемента с двумя степенями свободы. Поведение данного элемента в общем случае характеризуется матрицами динамических коэффициентов жёсткости, демпфирования и инерции, которые задаются в двух направлениях.Динамические коэффициенты описывают в приближённом виде реакции упруго-демпферного элемента.
Концепция динамических коэффициентов более подробно описана в разделе 4.4. Конечно-элементныематрицы жёсткости и демпфирования для упруго-демпферного элемента имеют вид:⎡⎤⎡⎤11 12 0 0 011 12 0 0 0⎢⎥⎢⎥⎢21 22 0 0 0⎥⎢21 22 0 0 0⎥⎢⎥⎢⎥⎥,⎢⎥.k = ⎢c=(4.12)0000000000⎢⎥⎢⎥⎢ 0⎥⎢⎥0 0 0 0⎦0 0 0 0⎦⎣⎣ 000 0 0 000 0 0 0Ансамблирование матриц и граничные условияПроцесс ансамблирования заключается в сборке из локальных (элементарных) конечно-элементных матриц и векторов с внешними силами, определённых для каждого конечного элемента, глобальной системы уравнений для последующего численного решения. Коэффициентыглобальной матрицы при неизвестном значении степени свободы представляют собой сумму из соответствующих компонент локальных матриц балочных элементов, включающих данную степень свободы.Также для каждого узла идет проверка наличия диска или опоры.При их обнаружении коэффициенты глобальных матриц дополняютсясоответствующими компонентами локальных матриц таких элементов.Процесс ансамблирования глобальной системы уравнений завершается учётом оставшихся граничных условий.
Простые граничные усло1664.2. Конечно-элементные модели роторной системывия, полностью запрещающие определённые степени свободы соответствующих узлов, применяются для моделирования абсолютно жёсткихопор (например, заделка или шарнир). При использовании в моделиупруго-демпферных элементов дополнительные граничные условия впростейшем случае не требуются, т. к. поведение элемента уже напрямую включено в глобальные конечно-элементные матрицы.Необходимые граничные условия также зависят от вида проводимого расчёта. Например, при выполнении статического расчёта с цельюопределения напряжений кручения в вале роторной системы необходимо запретить соответствующую степень свободы для одного узла.4.2.3. Трёхмерная модель роторной системыИсследование роторных систем также проводится с помощью трёхмерных конечно-элементных моделей.В трёхмерном подходе, используемом для выполнения модального анализа, сегменты вала и диски моделируются с помощью трёхмерных осесимметричных конечных элементов, заданных в неподвижнойсистеме координат.
Процедура генерации модели начинается с создания контура ротора (сечение ротора в осевом направлении) с помощьюдвумерных областей. Затем контур разбивается на двумерные конечныеэлементы. После этого создаются дополнительные узлы для генерацииосесимметричных трёхмерных элементов. Опоры, демпферы и уплотнения моделируются с помощью упруго-демпферного элемента, описанного выше.Реальная геометрия роторной системы часто не является осесимметричной (например, из-за геометрии рабочих колес, которые имеютциклическую симметрию). В этом случае при использовании данногоподхода необходимо создать эквивалентную трёхмерную модель роторной системы. Несимметричные диски представляются с помощью эквивалентных цилиндрических сегментов.
Плотность материала и внешнийрадиус эквивалентных сегментов устанавливаются таким образом, чтобы иметь массово-инерционные характеристики, аналогичные реальной1674.2. Конечно-элементные модели роторной системыгеометрии. Для этого решается следующая оптимизационная задача:( , ) ,Минимизировать = −с ограничениями , = , ( , ) ,(4.13) > ,где индекс 2 соответствует эквивалентному сегменту в модели, а индекс 2 соответствует реальному диску.Данная оптимизационная задача заключается в минимизации абсолютной разницы массы реального рабочего колеса и эквивалентногоцилиндрического сегмента.Ограничение-равенство накладывается на момент инерции, который должен быть равен значению для реального колеса.Дополнительное ограничение-неравенство накладывается на величину внешнего радиуса эквивалентного сегмента в модели, который неможет принимать значения, меньшие, чем значение посадочного радиуса (внешний радиус сегмента вала где находится рабочее колесо).Поставленная задача представляет собой задачу математическогопрограммирования, которая может быть решена с помощью любого подходящего метода.4.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
