Круглов В.В., Борисов В.В. - Искусственные нейронные сети (ИНС) Теория и практика (778918), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(Х, У) -+ [О, 1), которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, у) е Х н У величину рл(х, у) е [О, 1). Обозначение: нечеткое отношение на Х н У записывается в виде: х е Х, у е У. х й у. В случае, когда Х = У, т. е. Х и У совпадают, нечеткое отношение й Х к Х -+ [О, 1) называется нечетким отношением на множестве Х Пример 1. Пусть Х = (хь хг, хз), У = (уь уг, уз, ук), М = [О, 1) Нечеткое отношение й = Х й У может быть задано, например, табп. 3.2. Таблица 3 2 Задание нечеткого отношения 107 Пример 2. Пусть Х = У = (-з, »), т. е. множество всех действительных чисел. Отношение х» у можно задать функцией принадлежности О, если х <у, 1 л я 1 если у > х. 1+ (х — у) Пример 3. Отношение г1, для которого ля(х, у) = е и ~~, при достаточно больших )г можно интерпретировать так: «х и у близкие друг к другу числа» Операции над нечеткими отношениями Объединение Объединение двух отношений обозначается В! !г гхг и опре- деляется выражением: Ля!.яг(х У) = г!я1(х, У) ч Ии(х У) Пересечение ПеРесечение ДвУх отношений 1х! и гхг обозначаетсЯ гх! - 1«2 и определяется выражением: Ляз-яг(х, у) = Лю (х, у) г! Ляг(х, у).
Алгебраическое произведение Алгебраическое произведение двух отношений г!! и 1хг обо- значается гх! г'хг и определяется выражением: Ля! я2(х, У) = ф«1(х, У) . /1йг(х, У). Алгебраическая сумма Алгебраическая сумма двух отношений г!! и 1зг обозначается Й! + гхг и определяется выражением: Ля!Хяг(х, У) = Ля!(х, У) + Ляг(х, У) — Ря!(х, У) Ляг(х, У). Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности Й1 ! ! (Яг~-~ Йз) — (Н1Г! !зг) ! 1(!з! гз гзз), !'! '-'(!.г' ' ~з) — (~! '-' ~г) ' ' (й! '-! ~з), %1 Я21-/ Яз) = (Й1 гХ2) г (г11 Йз), ~! ' (~2 ! ! ~~з) (~1 ~2) ! ! (Й! Йз), %1'! (%2'-' пз) = (о1'! ог) '-' (о1+ ('з), н!" (~2 ~ ! Вз) = (й1+ Йг) ! ! (Й1» Йз).
Дополнение отношения Дополнение отношения й обозначается гх и определяется функцией принадлежности: 108 ид(х,у)= 1 -Иг(х, у) Дизъюнктиеная сумма Дизъюнктивная сумма двух отношений Я1 и гтг обозначается )1(1®Я2 и определяется выражением: ~1® 'лг (~1 ~ '~2 ) '-~ ( ~1~ ' ~2). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому Пусть г1 — нечеткое отношение с функцией принадлежности )г (х, у).
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается гх и определяется выражением: О, если р„(х,у)<0,5, ря(х,у)= 1, если ия(х,у)>0,5, 0 или 1, если ия(х,у) =0,5. По договоренности принимают рк(х, у) = 0 при кк(х, у) = 0,5. Композиция (свертка) Пусть гх1 — нечеткое отношение гх1 (Х к У) — ~ [О, 1) между Х и У, и г12 — нечеткое отношение г12 (У к 7) -+ [О, 1] между У и 7. Нечеткое отношение между Х и 7, обозначаемое й1 ° гхг, определенное через й1 и гхг выражением: ггк1,яг (к, 2) = Ч [,ья1 (х, у) л ря1(у, 3)], х называется (гпах-п21п)-композицией ((птах-пт1п)-сверткой) отношений Й1 и Йг. Пример. Пусть Тогда При этом ик1,яг(Х1, з1) = [ль1(Х1, у,) л ляг(у1, з1)] ч ч [/гк1(К1 уг) л,икг(уг, 21Н~ [йя1(К1 уз) л ляг(уз, К1)]— = (0,1 л 0,9) ч (0,7 л 0,3)ч (0,4 л 0,1) = 0,1 ~ 0,3 ч 0,1 = 0,3; Ля1.яг(Х1,зг) = (0,1 л 0) » (0,7 л 0,6)ч (0,4 л 1) = 0 ч 0,6 ч 0,4 = 0,6; 109 ,ия1.
2(х1, зз) = 0,1, ия1.«г(хг, гз) = 0,5 Замечание В этом примере сначала использован «аналити- ческий» способ композиЦии отношений Й, и Йг, т е 1-Я стРока Й, «умножается» на)-й столбец Йг с использованием операции п, за- тем полученный результат «свертывается» с использованием опе- рации ! в и(х„~,) Свойства тах-тгп композиции Операция (птах-пз1п)-композиции ассоциативна, т е Йз» (Й2» Й1) (Йз» Й2)» Й1 дистрибутивна относительно обьединения, но недистрибутивна относительно пересечения ЙЗ ° (Й2!1Й1) = (ЙЗ ° Й2)11(ЙЗ ° Й1), Йз ° (Й2! ! Й1) 1 (Йз ° Й2) г ' (Йз ° Й!) кроме того, для (гпах-гп1п)-композиции выполняется сле- дующее важное свойство если Й, с Йг, то Йз ° Й, с Й, ° Йг (гаа- )-композиция В выражении 22«1.«2(х, г) = Ч [ия1(х, у) л,цяг(у, г)] для У (гпах-пкп)-композиции отношений Й, и Йг операцию л можно заме- нить любой другой, для которой выполняются те же ограничения что и для и ассоциативность и монотонность (в смысле неубыва- ния) по каждому аргументу Тогда 21»1,«г(х, г) = 1) [»Ф1(х у)»»Фг(у, е)] У В частности, операция и может быть заменена алгебраиче- ским умножением, тогда говорят о (гпах-ргоо)-композиции 3.2.
Нечеткий логический вывод Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида ПЗ если х есть А1, то у есть Вь Пг еслих есть Аг, то уесть В,, П, если х есть А„то у есть В„ где х — входная переменная (имя для известных значений данных) у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет 110 вычислено), А и  — функции принадлежности, определенные соответственно на х и у Приведем более детальное пояснение Знание эксперта А -+ В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозначить через В Я = А -+ В, где « — »» называют нечеткой имппикацией Отношение Я можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х х У полного множества предпосылок Х и заключений У Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В' с использованием данного наблюдения А' и знания А -+ В можно представить в виде композиционного правила нечеткий «тог)из ропепз» В' = А' ° Я = А' ° (А -+ В), где ««» — введенная выше операция свертки Как операцию композиции, так и операцию имппикации в алгебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом будет отличаться и получаемый результат), но в любом случае общий логический вывод осуществляется за следующие четыре этапа 1) Введение нечеткости (фаззификаиия, гитйса(юл) Функции принадлежности, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила 2) Логический вывод Вычисленное значение истинности дпя предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила В качестве правил логического вывода обычно используются только операции гпмнп (МИНИМУМ) или ргод (УМНОЖЕНИЕ) В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежности вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И») В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила 3) Композиция Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для всех переменных вывода При подобном объединении обычно используются операции тах (МАКСИМУМ) или вит (СУММА) При 111 композиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого подмножества конструируется как поточечный максимум по всем нечетким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ») При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества формируется как поточечная сумма по всем нечетким подмножествам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода 4) Приведение к четкости (дефаээификация, деГигъйсаЬол) используется, если требуется преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число Существует большее количество методов приведения к четкости, некоторые иэ которых рассмотрены ниже Пример Пусть некоторая система описывается следующими нечеткими правилами П, если х есть А, то»к есть О, П» если у есть В, то в есть Е, П, если г есть С, то»т есть Р, где х, у и г — имена входных переменных, в — имя переменной вывода, а А, В, С, О, Е, à — заданные функции принадлежности (треугольной формы) Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис 3 9 Предполагается, что заданы конкретные (четкие) значения входных переменных х», у» и го На первом этапе на основании данных значений и, исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности а(хо), с(уо) и а(г») для предпосылок каждого из трех приведенных правил На втором этапе происходит «отсекание» функций принадлежности заключений правил (О, Е, Е) на уровнях а(хо).
о(уо), а(зо) На третьем этапе рассматриваются функции принадлежности, усеченные на предыдущем этапе, и производится их обьединение с использованием операции тах, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмножество, описываемое функцией принадлежности к,(в) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной»к Наконец, на четвертом этапе находится, при необходимости четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой д.
(и~) )'«к к,(»к)ди ) дэ (»к)г(»к 112 Правило 1 я 1 У уо ка Композиция и приведение к четкости гч (четкая ееличино Рис 3 9 Иллюстрация процедуры логического вывода Рассмотрим следующие наиболее употребительные модификации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида П, если хестьА, иуесть Вц тохесть Сц П, еслихестьА,иуесть Вг тозесть С,, где х и у — имена входных переменных, г — имя переменной вывода, Ац А,, Ви В,, Сц Са — некоторые заданные функции принадлежности При этом четкое значение гс необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений хс и ус 113 Ялаоритм Матс(ал/ Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис 39 В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом 1) Введение нечеткости Находятся степени истинности дпя предпосылок каждого правила А,(хо), Аг(хо), В<(уо) Вг(уо) 2) Логический вывод Находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (с использованием операции МИ НИМУМ) а< = А,(хо) л В<(уо), аг = Аг(хо) л Вг(уо), где через «л» обозначена операция логического минимума (т<п) Затем находятся «усеченные» функции принадлежности С'<(з) = (а, л С<(г)), С г(г) = (аг л Сг(г)) 3) Композиция Производится объединение найденных усе- ченных функций с использованием операции МАКСИМУМ (гпах далее обозначаемой как «<»), что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для переменной выхода с функцией при- надлежности '<гг(г) = С(г) = С<(х) г Сг(г) = (а< л С<(г))«(аг л Сг(г)) 4) Приведение к четкости Проводится для нахождения г, например, центроидным методом Алгоритм Таийато(о Исходные посылки — как у предыдущего алгоритма, но здесь предполагается, что функции С<(з), С,(г) являются монотонными 1) Введение нечеткости (как в алгоритме Маго<)ап<) 2) Нечеткий вывод Сначала находятся уровни «отсечения» а< и аг (как в алгоритме Мат<гап<), а затем решением уравнений а< = С<(г<), а, = Сг(гг) определяются четкие значения (г, и г,) для каждого исходного правила 3) Определяется четкое значение переменной вывода (как взвешенное среднее г, и г,) '<<г< + аггг го = а< <.аг в общем случае (дискретный вариант центроидного метода) г.а<г< го= ~а< 114 Правило т г =8 1 У В Е Правило 2 у 2,=4 Уо «О Рис 3 тв Иллюстрация к алгоритму тац«алюго Пример Пусть заданы А,(хо) = 0,7, Яг(хо) = 0,6, В1(уо) = 0,3, Вг(уо) = 0,8, соответствующие уровни отсечения аг = ггцп(А1(хо), Вг(уа)) = пт~п(0,7, 0,3) = 0,3, аг = пг)п(Аг(хо), Вг(Уоо = пып(0,6, 0,8) = 0 б и значения г, = 8 и гг = 4, найденные в результате решения урав- нений (рис 310) С1(гг) = 0,3, Сг(г,) = 0,6 При этом четкое значение переменной вывода го = (8 0,3+ 4 0,6) l(0,3 + 0,6) = 6 Алгоритм Видело Видепо и Такад~ использовали набор правил в следующей форме (как и ранее, приведем пример двух правил) П, если х есть Я, и у есть Вн то г, = а,х + Ь,у, Пг если х есть Я, и у есть Вг, то г, = а,х+Ь,у Представпение алгоритма (рис 3 11) 1) Введение нечеткости (как в алгоритме олаптоап~) 2) Нечеткий вывод Находятся аг = Я1(хо) л В1(уо), аг Аг(х,) л Вг(уо) и индивидуальные выходы правил г, = а,хо+ Ь1УО, г 2 = д2«О + Ь2УО 115 Правило 1 г*, = а„хо + Ь Уо У Е Правило 2 Уо хо г гхо гус Рис 3 11 Иппюстрации к аппоритму Зодепо 3) Определяется четкое значение переменной вывода а,з, к-аггг го= а, маг Алгоритм ( аггел В алгоритме ~агзеп нечеткая импликация моделируется с использованием оператора умножения Описание алгоритма (рис 3 12) 1) Введение нечеткости (как в алгоритме Маптс)ап1) 2) Нечеткий вывод Сначала, как в алгоритме Магпс(ап1, находятся значения а1 = А,(хо) л В1(уо), аг = Аг(хо) л Вг(уо), а затем определяются частные нечеткие подмножества а1 С1(г) агСг(г) 3) Находится итоговое нечеткое подмножество р,(г) = С(г) = (а,С1(г)) м ( агСг(з)) и (в общем случае и правил уг,(г) = с(г) = 1у (а,с,(г)) 116 Правило т Правило 2 «О Ус У Рис 3 12 Иллюстрации к апгоритму сагаеп 4) При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах) Упрощенный алгоритм нечеткого вывода Исходные правила в данном случае задаются в виде П, если «есть А1 и у есть В, то 2, = с„ П, если «есть Я, и у есть Вг, то гг = сь где с, и сг — некоторые четкие числа Описание алгоритма (рис 3 13) 1) Введение нечеткости (как в алгоритме Матдап~) 2) Нечеткий вывод Находятся числа а, = А,(«а) и В|(уо), аг = Аг(«с) л Вг(ус) 3) Определяется четкое значение выходной переменной а,с, +агсг гс = сг1 + иг (в общем случае и правил гс = '-' 2.а, 1=1 Правило 1 уг 1 С1 иг У В Й Правило 2 х уо хо У с, иг Рис 3 т 3 Иллюстрация к упрощенному алгоритму нечеткого логического вывода Методы приведения к четкости 1) Выше уже был рассмотрен один из данных методов— центроидный Приведем соответствующие формулы еще раз В общем случае )3 Сг,г)г)з ') С(,гУ)з о для дискретного варианта л Ха,зг =1 гс = — „ 2;а, ~-г 2) Первый максимум (гсггзг-ог-Махгта) Четкая величина вывода находится как наименьшее значение при котором достигается максимум итогового нечеткого множества (рис 3 14, а) зс = пт~п(з ) Сгз) = тах С(и)) ч 118 зо ~о а) Рис 3 14 Иллюстрация к методам приведения к четкости а- первый максимум б-средний максимум 3) Средний максимум (М1бб!е-оРМак1та) Четкое значение находится по формуле )гбг 6 го = —, 6 где 6 — подмножество элементов, максимизирующих С (рис 314 б) Для дискретного варианта (С дискретно) и П,.1 ' 4) Критерий максимума (Мах-Сп(впоп) Четкое значение выбирается произвольно среди множества элементов, для которых С достигает максимума го е (з ( С(г) = птах С(иО и 5) Высотная дефаззификаиия (Не1д(1( бе(изгибсавоп) Элементы области определения г2 для которых значения функции принадлежности меньше, чем некоторый уровень а в расчет не принимаются и четкое значение рассчитывается в соответствии с выражением ') з С(г)бг Са ) С(г)бз Са где С,— нечеткое множество а-уровня (см выше) 119 Иисходящие нечеткие логические выводы Ранее рассмотренные нечеткие логические выводы являются восходящими выводами от предпосылок к заключениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
